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- 2021-04-16 发布
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河北省承德市联校2017-2018学年高二上学期期末（文）
考卷
考试范围：算法、常用逻辑用语、解析几何、概率统计、导数.考试时间：120分钟
【名师解读】本卷难度中等，全卷梯度设置合理．命题内容符合考试说明命题要求，全卷涵盖了高中数学的算法、常用逻辑用语、解析几何、概率统计、导数等内容，仿高考试卷命制无偏难怪出现，命题所占比例基本符合教章所占比例，重点内容重点考查.
一、单选题
1．命题“， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2．函数从1到4的平均变化率为（ ）
A. B. C. 1 D. 3
3．已知函数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．某单位有员工147人，其中女员工有63人.为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为21的样本，则男员工应选取的人数是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
5．直线与曲线相切，则切点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6．抛物线上一点到其焦点的距离（ ）
A. 5 B. 4 C. 8 D. 7
7．设命题若方程表示双曲线，则.
命题若为双曲线右支上一点， ， 分别为左、右焦点，且，则
.那么，下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
8．已知直线，圆，圆，则（ ）
A. 必与圆相切，不可能与圆相交
B. 必与圆相交，不可能与圆相切
C. 必与圆相切，不可能与圆相切
D. 必与圆相交，不可能与圆相离
9．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的（ ）
A. -4 B. -7 C. -22 D. -32
10．已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，则的斜率为（ ）
A. B. C. D.
11．11．11．如图，在菱形中， ， ，以4个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在该菱形中任意选取一点，该点落在阴影部分的概率为，则圆周率的近似值为（ ）
A. B. C. D.
12．过双曲线的右焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点， 为左顶点，设，双曲线的离心率为，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
13．若是集合中任意选取的一个元素，则椭圆的焦距为整数的概率为________．
14．某单位收集了甲、乙两人最近五年年度体检的血压值数据，绘制了下面的折线图.根据图表对比，可以看出甲、乙两人这五年年度体检的血压值的方差__________ （填甲或乙）更大．
15．若曲线上存在垂直于直线的切线，则的取值范围为__________．
16．若抛物线上一点到焦点的距离为5，以为圆心且过点的圆与轴交于两点，则__________．
三、解答题
17．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，计算的导数.
18．对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（1）求出表中及图中的值；
（2）若该校高一学生有800人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间内的人数.
19．已知圆的圆心在直线上，且圆经过点与点.
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求切线所在的直线的方程.
20．某小型企业甲产品生产的投入成本（单位：万元）与产品销售收入（单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次产品的相关数据.
（投入成本）
7
10
11
15
17
（销售收入）
19
22
25
30
34
（1）求关于的线性回归方程；
（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本20万元的毛利率更大还是投入成本24万元的毛利率更大（）？
相关公式： ， .
21．已知椭圆的一个焦点为.设椭圆的焦点恰为椭圆短轴的顶点，且椭圆过点.
（1）求的方程及离心率；
（2）若直线与椭圆交于两点，求.
22．已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与抛物线交于
两点，过这两点分别作抛物线的切线，且这两条切线相交于点.
（1）若的坐标为，求的值；
（2）设线段的中点为，点的坐标为，过的直线与线段为直径的圆相切，切点为，且直线与抛物线交于两点，证明： .
1．C【解析】特称命题的否定是全称命题，所以是“， ”，故选C。
2．A【解析】，故选A。
5．A【解析】，得，所以代入曲线得，故选A。
6．A【解析】由题意， ，焦点，准线，
所以，故选A。
7．C【解析】，所以，为真命题，
，则，又，则，则
为真命题，
故为真命题，故选C。
8．D【解析】直线的过定点，代入圆，得，即点在圆的内部，故必与圆相交，而点到圆
的圆心的距离等于圆的半径3 ，故点在圆上，即不可能与圆相离.
故选D
9．D【解析】（1）， ，
（2）， ，
（3）， ，
（4）， ，
（5），输出，
则，故选D。
点睛：本题考查程序框图的循环结构和判断结构。由题意， 循环进行，根据具体的判断规格，得到，当时，则输出，则，解得答案。
11．C【解析】因为菱形的内角和为360°，
所以阴影部分的面积为半径为1的圆的面积，
故由几何概型可知，
解得.选C。
12．A【解析】当时，则，则，则离心率，
当时，则，则，则离心率，
所以，故选A。
点睛：本题考查双曲线的离心率问题，画出题目的示意图，得直角三角形，且由题意可知，由本题的两个值，利用三角函数的关系，求出两个离心率，解得答案。
13．【解析】由题意， 或为整数，则，
所以概率为。
16．6【解析】由题意， ，得，则。
点睛：本题考查抛物线。由点到焦点的距离为5，利用抛物线的几何定义，得，解得，又作圆得，弦长利用垂径定理，可得。抛物线题型要学会几何定义的应用。
17．（1）.（2）.
【解析】试题分析：（1）由导数的基本定义就出斜率，根据点斜式写出切线方程；（2）， .
试题解析：
（1），则，
又，∴所求切线方程为，即.
（2）， .
18．（1）， ， ；（2）人.
【解析】试题分析：（1）由题意， 内的频数是10，频率是0.25知， ，所以，则， .（2）高一学生有800人，分组内的频率是，人数为人.
（2）因为该校高一学生有800人，分组内的频率是，
所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人.
19．（1）；（2）或.
【解析】试题分析：（1）求出线段的中点，进而得到线段的垂直平分线为，与联立得交点，∴.则圆的方程可求
（2）当切线斜率不存在时，可知切线方程为.
当切线斜率存在时，设切线方程为，由到此直线的距离为，解得，即可到切线所在直线的方程.
试题解析：（（1）设 线段的中点为，∵，
∴线段的垂直平分线为，与联立得交点，
∴.
∴圆的方程为.
（2）当切线斜率不存在时，切线方程为.
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则到此直线的距离为，解得，∴切线方程为.
故满足条件的切线方程为或.
【点睛】本题考查圆的方程的求法，圆的切线，中点弦等问题，解题的关键是利用圆的特性，利用点到直线的距离公式求解．
20．（1）.（2）投入成本20万元的毛利率更大.
【解析】试题分析：（1）由回归公式，解得线性回归方程为；（2）当时， ，对应的毛利率为，当时， ，对应的毛利率为，故投入成本20万元的毛利率更大。
试题解析：
（1）， ，
， ，故关于的线性回归方程为.
21．（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）的方程为，离心率.（2）联立方程得到韦达定理， ， ， .
试题解析：
（1）设的方程为，
则，
又，
解得， ∴的方程为.
∴的离心率.
∴，
∵， ，
∴
.
点睛：本题考查直线和椭圆的位置关系。在综合题型中，先学会分析题目，要求解的值，得，可知要利用韦达定理，所以联系方程组得到韦达定理，代入解得答案。
22．(1) (2)
【解析】试题分析：
（1）由题意可得抛物线的方程为，设切线的方程为，将其代入抛物线方程可得
，根据判别式为零可得，验证可得。（2）由条件得以线段为直径的圆为圆，只考虑斜率为正数的直线，因为为直线与圆的切点，所以， ，故。又直线的方程为，将其代入抛物线方程由代数法可得弦长，从而可得结论成立。学*科网
试题解析：
（1）由抛物线的焦点到准线的距离为，得，
所以抛物线的方程为.
设切线的方程为，
由消去整理得，
由得，
当时，可得的横坐标为，则，
当时，同理可得.
综上可得。
所以，
所以，
所以直线的方程为，
由消去整理得，
因为直线与抛物线交于两点，
所以，
设，
则
所以，
所以。
点睛：
（1）抛物线和的切线问题可通过判别式求解，同时也可利用导数的几何意义求解，解题时可选择合适的方法。
（2）解决圆锥曲线中的证明问题时，可将证明的问题转化为长度或角度问题，然后利用代数方法，经过运算进行证明。