安徽省皖北协作区2018届高三联考数学文答案 8页

1 2018 年皖北协作区高三年级联考试卷 文科数学答案 一、选择题（每题 5 分共 60 分） 1.复数 z 满足 ii  )1(z （ i为虚数单位），则 z 的虚部为（ B ） A. 2 1 B. 2 1 C. i 2 1 D. i 2 1 2.设全集 RU  ，集合  0)2(  xxxP ，  0ln  xxQ ，则图中阴影部分表示 的集合为（ D ） A. ]2,1[ B. ),2[  C. ]1,( D. ]1,0( 3.在等比数列 na 中， 542  aa ， 1053  aa ，则 7a （ C ） A.8 B.16 C.32 D.64 4.设 Rx ，向量 )1,(xm  ， )2,4( n ，若 nm // ，则  nm （ C ） A.1 B. 53 C. 5 D.5 5.已知直线l 的方程为 01  ayax ，曲线C 的方程为 0422  xyx ，则直线 l 与曲线C 的位置关系为（ B ） A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交 6.中国古代伟大的数学家秦九韶提出了一种将一元 n 次多项式的求值问题转化为 n 个一次式的算法，数学 上称之为秦九韶算法。如图所示的程序框图给出了利 用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入 xn, 的 值分别为4，3. 则输出v 的值为（ A ） A.121 B.40 C.13 D.4 7.已知角 终边上一点 P 的坐标为 )2,1( ，则 2cos （ D ） A. 5 4 B. 5 4 C. 5 3 D. 5 3 2 8.如图黑色粗线条是某几何体的三视图，已知小正方形的边长为 1，则该几何体 的最长棱的长为（ C ） A. 52 B. 22 C. 32 D.3 9.函数 xxxf 2sin)(  的大致图象为（ A ） A B C D 10. 已 知 命 题 :p ),0( x 使 得 2ln  xx ； 命 题 q ： ),0( x ， 0)12lg( 2  xx ，则下列命题是假命题的是（ D ） A. qp  B.   qp  C.  qp  D.  qp  11.已知函数 x xxf ln)(  则关于 x 的方程 0)()]([ 2  xfxfe （其中e 为自然对数的 底）的解集为（ C ） A. ),1( e B. ),( e C. ),(),1( ee  D. ),1(  12. P 为双曲线 122  myx 一点， 21, FF 为其左右焦点， O 为坐标原点，已知 7OP ，  6021PFF ，则双曲线的离心率为（ B ） A. 21 B. 3 C. 2 D. 5 二、填空题（每题 5 分共 20 分） 13.某班数学老师对周末学生做作业的时间进行 了调查，已知所有学生做作业的时间都位于 h2 ~ h12 之间，其频率分布直方图如图所示。若该 班共有学生 60 人，则周末做作业的时间在 h6 ~ h8 的有 25 人. 3 14.已知实数 yx, 满足不等式组       062 03 013 yx yx yx ，则 12  yx 的最小值是 5 . 15.在平面四边形 ABCD 中， 2 BCAB , 6 CDAD ,  90ABC ,现将 ACD 沿 AC 折起，将点 D 折到 D 处，当四面体 DABC  的体积最大时，其外接 球的表面积为 9 . 16.在锐角 ABC 中，角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ,, ，已知 Babc cos2 ，则函 数 BBxf 2cos2)62sin()(   的值域为 )2 5,12 3(  . 三、解答题 17. （本小题满分 12 分）已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，满足 1 31,S 9a   ，且 数列{ }nS n 是等差数列 (Ⅰ)求{ }na 的通项公式； (Ⅱ)设 12 n n n a ab  ，求数列{b }n 的前n 项和 nT . 解：(Ⅰ)设数列{ }nS n 的公差是 d ,由题可得 3 1S S- =2 23 1 d  , 1d  …… 2 分 1 ( 1) ,nS n n n Nn       , 2 ,nS n n N    ……4 分 1 2 1( 1),n n na S S n n      经验证 1n  时满足该公式 因此 2 1,n Nna n    ; ……6 分 (Ⅱ) 2 1,4n n nb n N    , ……8 分  2 3 1 3 5 2n-1+4 4 4 4n nT    …  ……9 分 2 3 4 1 1 1 3 5 2n-1+4 4 4 4 4n nT    …  ……10 分 -得 5 6 5 ,9 9 4n n nT n N     ……12 分 18. （本小题满分 12 分）随着我国医疗卫生和各种服务条件的改善，老龄人口 在逐年攀升，下表是我国从 2006 年至 2015 年的老龄人口数据（注：结果全部精 4 确到 0.1） 年份代 码 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人口 y （百万） 104 106 110 113 119 123 127 132 138 144 (Ⅰ)利用表中数据求人口 y 与年份代码 x 之间的回归直线方程 ˆ ˆy bx a  ； (Ⅱ)利用(Ⅰ)中方程预测 2030 年我国老龄人口数. （参考数据： 10 1 7058i i i y    ， 10 1 1216i i y   ， 10 2 1 385 i i   参考公式： 1 1 2 2 2 1 1 ( )(y ) , ( ) n n i i i i i i n n i i i i x x y x y nx y b a y bx x x x nx                   ) 解：(Ⅰ)由题可得 55 5.510x   ， 1216 121.610y   ， 10 2 1 385 i i   ……3 分 2 7058 10 5.5 121.6 4.5385 10 5.5b       ， 96.9a y bx   ……7 分 ˆ ˆ4.5 96.9y x   ……8 分 (Ⅱ)由 2030 对应年份代码是 25，因此带入(Ⅰ)中回归方程可得 4.5 25 96.9 209.4y     （百万） 所以预测 2030 年我国老龄人口数是 209.4 百万. ……12 分 19. （本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 111 CBAABC  与四棱锥 CCAAD 11 中， 111 // CBDA , 1 1 1 12 ,A D B C AD DC= 、 所确定的平面交 1BB 于点 E (Ⅰ)证明：直线 1 1 1DCAE A B、 、 交于一点； (Ⅱ)若三棱柱 111 CBAABC  的体积为 18，求四棱锥 EBCC1A  的体积. 解：(Ⅰ) 1 1 1B C / / A D ，且 1 1 12A D B C= 设 1 1A B 与 1DC 交于一点O，则O 是 1 1 1ADC E ABB A平面 和平面 的交点……3 分 又 1 1 1ADC E ABB A AE平面 与平面 交于直线 O AE 在直线 上 ,故直线 1 1 1DCAE A B、 、 交于一点……6 分 A B C 1A 1B 1C DE 5 （Ⅱ）由（Ⅰ）结论可知 1 1 1 1 1 1 1 B C OB EB 1= = =A D OA AA 2 ……8 分 设 1 1 1,EB C a B b  ， 1A 到平面 1 1BCC B 的距离是h ，得 1AA =2b 1 1 1 1 2 182ABC A B CV a h b     ，得 18abh  ……10 分 而 1 1 32 2 2BCC ES ab ab ab   ……11 分  1A 1 3V 93 2BCC E ab h     ……12 分 20.（本 小 题 满 分 12 分 ）如 图 所 示 ， 已 知 圆 0: 22  xyxG 经 过 抛 物 线 )0(22  ppxy 的焦点，直 线l 交抛物线于 A、B 两点且与 x 轴交于点 M（m，0） （m>0）。 （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）若点 M 关于原点的对称点为 N，求证 BNOANO  。 解析：（Ⅰ）把抛物线的焦点 )0,2( p 代入圆 G 的方程得 2p 故抛物线的方程为 xy 42  . .....4 分 （Ⅱ）设 )0,(),0,(),,(),,( 2211 mNmMyxByxA  直线l 的方程为 mtyx  由      xy mtyx 42 得 0442  mtyy 所以 myytyy 4,4 2121  ......6 分 则  BNAN kk 6 0 ))(( 88 ))(( )(22 ))(( )( 21 21 2121 21 211221 2 2 1 1        mxmx mttm mxmx yymyty mxmx yymxyxy mx y mx y 所以 BNAN Kk  所以 BNOANO  ...................12 分。 21.（本小题满分 12 分）已知函数 xbxaaxxf ln2)2(2 1)( 2  ，若曲线 )(xf 在  )1(,1 f 处的切线的斜率为 0。 (Ⅰ)求 )(xf 的单调区间 (Ⅱ)设 ee xxg x 1)(  ，若任意  1,01 x 都存在  1,02 x 使    21 xgxf  成立， 求 a 的取值范围。 解析（Ⅰ）、 )0(2)2()(  xx baaxxf 则 022)1(  baaf 则 1b x xax x xaax x baaxxf )1)(2( 2)2(2)2()( 2   ......2 分 ①当 0a  时， 02,0  axx 在区间 )1,0( 上 ( ) 0f x  ，在区间 ),1(  上 ( ) 0f x  故 ( )f x 的单调递增区间是 )1,0( ，单调递减区间是 ),1(  。 ②当 20  a 时， 12  a ， ( )f x 的单调递增区间是 ),2(),1,0(  a ，单调递减区间是 )2,1( a ； ③当 2a 时， 0)(  xf ， ( )f x 的单调递增区间是 ),0(  ； ④ 当 2a 时 ， 12  a ， ( )f x 的 单 调 递 增 区 间 是 ),1(),2,0(  a ， 单 调 递 减 区 间 是 )1,2(a 。......7 分 （Ⅱ）、由已知，在  1,0 上有 max max( ) ( )f x g x 由 01)(  xe xxg 得 )(xg 在  1,0 上单调递增， 0)1()( max  gxg 所以 0)( max xf 7 由（Ⅰ）知当 2a 时 ( )f x 在  1,0 上单调递增， 022 1)1()( max  afxf 得 4a ， 故 24  a 当 2a 时 aaafxf 2ln222)2()( max  令 xxxh ln22)(  ， 02)(  x xxh 所 以 )(xh 在  1,0 上 单 调 递 增 ， 03)1()( max  hxh ，故 2a ， 0)( max xf 。 综上所述 4a 。......12 分 选做题 选修 4-4：坐标系与参数方程 22. （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 oxy 中 ， 曲 线 1C 的 参 数 方 程 为 )( sin72 cos73 为参数        y x 。直线 1l 的方程为 xy 3 3 ，以 o 为极点，以 x 非负半轴 为极轴建立极坐标系。 （Ⅰ）求曲线 1C 和直线 1l 的极坐标方程； （Ⅱ）设直线 2l 的极坐标方程为: )(3 R  ,若直线 1l 、 2l 分别交曲线 1C 于 BA, 两点 （其中 BA, 两点都不是极点），求 AOB 的面积。 解析：（Ⅰ）曲线 1C 的参数方程为 )( sin72 cos73 为参数        y x 转化为普通方程： 043222  yxyx ， 所以极坐标方程为 0sin4cos32   ， 直线 1l 的极坐标方程为 )(6 R  ......5 分 （Ⅱ）设 ),(),,( 2211  BA ，由      0sin4cos32 6   解得 0 （舍去）或 5 ， 所以 51  由      0sin4cos32 3   解得 0 （舍去）或 33 ，所以 332  8 所以三角形 AOB 的面积为 4 315)63sin(2 1 21  AOBS ......10 分 选修 4-5：不等式选讲 23.设函数 2)(,2)(  xxgaxxf . （Ⅰ）当 1a 时，求不等式 )()()( xgxfxf  的解集； （Ⅱ）求证： )2 1(,2),2( fbfbf      中至少有一个不小于 2 1 解析（Ⅰ）当 1a 时， 21212  xxx      24 2 1 xx x 无解；      22 2 1 2 1 x x 解得 2 10  x ；      24 2 1 xx x 解得 3 2 2 1  x 综上，不等式的解集为        3 20 xx 。......5 分 （Ⅱ）（反证法）若 )2(bf ， )2( bf  ， )2 1(f 都小于 2 1 ， 则            2 112 1 2 1 2 1 2 1 2 1 a ba ba 前两式相加得 2 1 2 1  a 与第三式 2 3 2 1  a 矛盾。......10 分