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- 2021-04-16 发布
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阜阳三中2019—2020学年第一学期高一年级
第二次调研考试数学试卷
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.)
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简集合B，再求得解.
【详解】由题得，
所以.
故选：C
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
2.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（ ）
A. 出租车车费与出租车行驶的里程
B. 商品房销售总价与商品房建筑面积
C. 铁块的体积与铁块的质量
D. 人的身高与体重
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的概念来进行判断。
【详解】对于A选项，出租车车费实行分段收费，与出租车行驶里程成分段函数关系；
对于B选项，商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系；
对于C选项，铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系；
对于D选项，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必然联系，
因人而异，D选项中两个变量之间的关系不是函数关系。
故选：D。
【点睛】本题考查函数概念的理解，充分理解两个变量之间是“一对一”或“多对一”的形式，考查学生对这些概念的理解，属于基础题。
3.函数y＝ ＋log2(x＋3)的定义域是( )
A. R B. (－3，＋∞) C. (－∞，－3) D. (－3,0)∪(0，＋∞)
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意,得，解得.故选D.
考点：函数的定义域.
4.下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
A，B可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C利用以及平移的思路去判断；D根据的图象的对称性判断.
【详解】A．在上是减函数，不符合；
B．在上是减函数，在上是增函数，不符合；
C．可认为是向左平移一个单位所得，所以在上是增函数，符合；
D．图象关于轴对称，且在上是增函数，在
上是减函数，不符合；
故选：C.
【点睛】（1）一次函数、反比例函数的单调性直接通过的正负判断；
（2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断；
（3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断.
5.已知，则（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】
利用诱导公式和，进行变形，再代入求值。
【详解】，。
故选A。
【点睛】诱导公式口诀，“奇变偶不变，符号看象限”。
6.已知函数满足，且当时，，则＝( )
A. B.
C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
利用，可以得到的表达式，根据当时，，求出的值.
【详解】∵，且当时，，∴.选C.
【点睛】本题考查了求函数值问题，根据所给式子进行合理的变形是解题的关键.
7.若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用指数函数、对数函数性质，逐个分析abc取值范围，进而比较大小。
【详解】，，
，且，则
故选C
【点睛】对数式和指数式比较大小题型，通常将数与0、1、2或-1等比较，确定范围，再比较大小。
8.下列四个图象中，表示函数的图象的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性排除B,再考虑函数的单调性确定答案.
【详解】由题得函数的定义域为，
，
所以函数是奇函数.
所以排除选项B.
当时，函数都是单调递增函数，
由复合函数的单调性原理得单调递增.
所以排除C,D.
故选：A
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9.若函数在区间上是增函数，则在区间上( )
A. 是增函数且有最大值 B. 是增函数且无最大值
C. 是减函数且有最小值 D. 是减函数且无最小值
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据已知求出的范围，再利用复合函数的单调性分析得解.
【详解】由于函数在区间上是减函数，
因为函数在区间上是增函数
所以函数是减函数，
所以.
由于函数在区间上是增函数，函数是减函数，
所以在区间上是减函数，没有最小值.
故选：D
【点睛】本题主要考查复合函数的单调性和对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10.已知是定义在R上的函数，①直线与的图像的公共点个数一定是1；②若在区间上是单调增函数，在上也是增函数，则在上一定是单调增函数；③若是奇函数，则一定有；④若，则一定不是偶函数.上述说法正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的定义及性质，逐一分析给定四个结论的真假，可得答案．
【详解】①直线与的图像的公共点个数一定是1，故正确；
②若在是增函数，在，也是增函数，则函数在不一定是增函数（对于某些分段函数，在是增函数，时，，在，也是增函数，且.此函数在R上不是增函数.），故错误；
③若为定义在上的奇函数，则一定有，故正确；
④若（1），则函数一定不是偶函数，故正确．
故选：B
【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，主要考查函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11.定义在上的奇函数满足：当时，，则函数的零点的个数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
当时，先利用零点判定定理进行判断，然后结合奇函数的性质进行判断即可．
【详解】当时，，
结合指数与对数函数的单调性可知，在上单调递增，
（1），时，，
则在上有唯一的零点，
因为奇函数的图象关于原点对称，故当时也有唯一零点，且，
综上可得，程的实根个数为3个.
故选：C
【点睛】本题主要考查了函数零点个数的判断，考查了指数对数函数的图象性质，零点判定定理及奇函数性质的应用是求解的关键．
12.已知函数的定义域为，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵ 函数
∴函数是开口向上，对称轴为的抛物线
∵函数的定义域为
∴当时，，当时，
∵函数在定义域内函数的最大值与最小值之和为-5
∴当时，或
∴
故选B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若集合有且只有一个元素,则实数的取值集合是___________.
【答案】或
【解析】
【分析】
讨论两种情况，结合判别式为零即可得结果.
【详解】当时，，合题意；
当时，若集合只有一个元素，
由一元二次方程判别式得．
综上，当或时，集合只有一个元素，故答案为.
【点睛】本题主要考查集合表示方法以及元素与集合的关系，属于中档题.集合的表示方法，主要有列举法、描述法、图示法、区间法，描述法表示集合是最常用的方法之一，正确理解描述法并加以应用的关键是一定要清楚：1,、元素是什么；2、元素的公共特性是什么.
14.弧长为，圆心角为弧度的扇形，其面积为，则___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
设出扇形的半径，找到弧长、面积与半径的关系后可得.
【详解】设扇形的半径为，则，，
故.填.
【点睛】扇形的面积公式为，其中为扇形的半径，这个公式可和三角形的面积公式联系在一起记忆：把看成扇形的高，看成扇形的底.
15.设函数，若互不相同的实数满足，且，则的取值范围是________
【答案】
【解析】
分析】
先作出函数的图象，再求出的值，求出的范围即得解.
【详解】函数的图象如下图所示，
二次函数的对称轴为，
所以.
由题得二次函数的最小值为2，
所以，
所以，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数的图象及其性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16.已知，则________
【答案】1
【解析】
【分析】
设判断函数的奇偶性和单调性，再证明，即得，代入得解.
【详解】设，
所以，
所以.
因为，
所以函数是奇函数，
所以.
又因为函数是增函数（增+增=增），
所以
所以1.
故答案为：1
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（1）求值：；
（2）若角的终边经过点，求的值．
【答案】(1)1；(2)；
【解析】
【分析】
（1）利用指数和对数运算法则化简求解；（2）利用诱导公式和三角函数的定义得到解方程即得解.
【详解】（1）.
（2）
所以.
【点睛】本题主要考查指数对数的运算，考查三角函数的诱导公式和三角函数的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18.设关于的二次方程和的解集分别是集合和，若为单元素集，求的值.
【答案】或.
【解析】
【详解】试题分析：先解出集合，根据为单元素集，得到或，相当于二次方程只有一个根2或二次方程只有一个根3，从而将2或3代入方程中得到参数的取值，求出的取值之后，返代，得出，检验此时的是否为或，满足要求的就取，不满足要求的的值应该舍去.
试题解析：解方程，得
由为单元素集得或
当时有或时不合题意
当时有或时不合题意
综上得或.
19.设集合 ，函数，已知，且
，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出，再解不等式得解.
【详解】
因为
所以
【点睛】本题主要考查分段函数的性质及参数范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20.已知函数.
（Ⅰ）若函数是上的奇函数，求的值；
（Ⅱ）若函数的定义域是一切实数，求的取值范围；
（Ⅲ）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于,求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用求得后验证为奇函数即可．
（Ⅱ）在上恒成立，参变分离后可得实数取值范围．
（Ⅲ）为上减函数，故，结合在上恒成立可得实数的取值范围．
【详解】（Ⅰ）函数是上的奇函数，则，求得.又此时是上的奇函数．所以为所求．
（Ⅱ）函数的定义域是一切实数，则恒成立.
即恒成立，由于. 故只要即可
（Ⅲ）由已知函数是减函数，故在区间上的最大值是，
最小值是.
由题设，故的取值范围为 .
【点睛】含参数奇函数或偶函数，可通过取特殊的自变量的值来求参数的大小，注意最后检验必不可少.含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的值域问题.与对数有关的函数问题，在转化过程中注意真数总是正数的要求.
21.为净化新安江水域的水质，市环保局于2017年底在新安江水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2018年二月底测得蒲草覆盖面积为，2018年三月底测得覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择.
（Ⅰ）分别求出两个函数模型的解析式；
（Ⅱ）若市环保局在2017年年底投放了的蒲草，试判断哪个函数模型更合适？并说明理由；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，求蒲草覆盖面积达到的最小月份．
（参考数据：，）
【答案】（Ⅰ）, （Ⅱ）模型更为合适 （Ⅲ） 9月 .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题设条件得到每个函数中两个参数的方程组，解这些方程组可得函数的解析式．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的函数计算时的函数值，比差的绝对值较小的函数为更合适的模型．
（Ⅲ）不等式的最小正整数解即为所求的月份．
【详解】（Ⅰ）由已知 ，所以，
由已知 ，所以.
（Ⅱ）若用模型，则当时，，
若用模型，则当时，，
易知，使用模型更为合适.
（Ⅲ）由，
故，
故蒲草覆盖面积达到的最小月份是9月.
【点睛】生活中一些现象可以用不同的数学模型来刻画，最佳模型可以根据数据对应的散点图形状来选择，也可以根据误差较小原则来确定最佳模型.
22.已知函数对任意实数x、y恒有，当x>0时，f(x)<0，且.
(1)判断的奇偶性；
(2)求在区间[-3,3]上的最大值；
(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数（2）6（3）或者
【解析】
【分析】
（1）令x＝y＝0⇒f（0）＝0，再令y＝﹣x，⇒f（﹣x）＝﹣f（x）；
（2）设x1，x2∈R，且x1＜x2，结合条件用单调性的定义证明函数f（x）为R上的增函数，从而得到在区间[-3,3]上的最大值；
（3）根据函数f（x）≤m2﹣2am﹣2对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，说明f（x）的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围．
【详解】（1）取x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）；则f（0）=0；
取y=﹣x，则f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x)，
∴f(﹣x)=﹣f(x)对任意x∈R恒成立
∴f(x)为奇函数；
（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则x2﹣x1＞0；∴f（x2）+f(﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0；
∴f（x2）＜﹣f（﹣x1），
又∵f（x）为奇函数，
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数；
∴对任意x∈[﹣3，3]，恒有f（x）≤f（﹣3）
而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=﹣2×3=﹣6；
∴f（﹣3）=﹣f（3）=6；
∴f（x）在[﹣3，3]上的最大值为6；
（3）由（2）可知函数在的最大值为
所以要使对所有的恒成立
只需要
即对所有恒成立
令，则即解得
所以实数的取值范围是
【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．