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- 2021-04-16 发布
河北省正定中学2017届高三上学期第三次月考（期中）
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知是虚数单位，若，则的模为（ ）
A． B． 2 C． D．1
2.设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
3.命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
4.已知平面向量，，，则的值为（ ）
A． 3 B．2 C. 3或-1 D．2或-1
5.中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需要按墙上的空调造型摆出相同姿势才能穿墙而过，否则会被墙推入水池，类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空间，则该几何体为（ ）
6.已知，函数的图象关于直线对称，则的值可以是（ ）
A． B． C. D．
7.已知，且，若，则（ ）
A． B．
C. D．
8.某零件的正视图与侧视图均是如图所示的图形（实线组成半径为2的半圆，虚线是底边上高为1的等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为2的圆（包括圆心），则该零件的体积是（ ）
A． B． C. D．
9.已知函数，当时，恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
10.已知均为正数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C. 4 D．8
11.定义数列的“项的倒数的倍和数”为，已知，则数列是（ ）
A．单调递减的 B．单调递增的 C. 先增后减的 D．先减后增的
12.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设实数满足，则的最大值为 ．
14.等比数列的前项和为，已知成等差数列，则等比数列的公比为 ．
15.定义在上的函数满足，且在区间上，，其中，若，则 ．
16.在中，角所对的边分别为，且满足，，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知等比数列的各项均为正数，，公比为；等差数列中，，且的前项和为，，．
（1）求与的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和．
18. 已知函数为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域．
19. 如图几何体中，矩形所在平面与梯形所在平面垂直，且，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面．
20. 设数列是公差大于0的等差数列，为数列的前项和，已知，且构成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，设是数列的前项和，证明：．
21. 如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积．
22. 已知函数，曲线在点处的切线平行于轴．
（1）求的单调区间；
（2）证明：当时，．
试卷答案
高三质检三文科数学参考答案及评分标准
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A
B
C
A
D
B
C
A
C
A
C
1．D【解析】复数，所以的模为1．故选D．
2． A【解析】由，得，即，，，所以．故选A．
3．B【解析】命题“，”的否定是“”，故选B．
4． C【解析】，，解得或-1，故选C．
5． A【解析】由题意可知A中几何体具备题设要求：三视图分别为正方形，三角形，圆，故选A．
6．D【解析】因为,函数的图象关于直线对称,函数为偶函数,, 故选D．
7．B【解析】由题意得，因为，则或，当时，，所以；当时，，所以，故选B．
8．C【解析】由三视图可知该零件为半球挖去一个同底的圆锥，所以该零件的体积为．故选C.
9．A【解析】因为当时,是上的单调减函数，
，故选A．
10．C【解析】．故选C．
11．A【解析】当时，，当时，，所以,综上有，所以,即数列是单调递减的．(或用)．故选A．
12．C【解析】构造函数，∴，
∵是定义在实数集上的奇函数，∴是定义在实数集上的偶函数，
当时，，∴此时函数单调递增．∵，，，
又，故选C．
二、填空题
13．3 14． 15． 16．
13．3【解析】作出可行域，如图内部（含边界），作出直线，平移直线，当它过点时，取得最大值3．
14．【解析】由题意，即，∵，∴．
15． 【解析】因为所以
，
因此
16．【解析】因为，所以，化简得．所以．又因为，所以，所以，即，整理得．又，所以，两边除以得，解得．
三、解答题
17．解：设数列的公差为 ，
3分
， ， 5分
由题意得： ， 6分
8分
10分
18．解：（1）由题意可得：,…………2分
因为相邻两对称轴间的距离为，所以，，因为函数为奇函数，
所以，因为，所以，函数为．………4分
要使时单调递减，需满足，
所以函数的减区间为．…………6分
（2）由题意可得：，…………8分
∵，∴，
∴，
即函数的值域为．12分
19．解：（1）方法一：如图，取的中点，连接、．
在中，为的中点，为的中点，∴，
又因为，且，∴四边形为平行四边形，………… 2分
∴，又∵，．
∴平面平面，…………4分
又∵面，∴面．…………6分
方法二：如图，取的中点，连接，．
在中，为的中点，为的中点，∴，且，
又∵，,∴，
故四边形为平行四边形，∴，…………4分
又∵平面，平面，∴面．…………6分
（2）∵平面平面，平面平面，
又，∴平面 ，…………9分
∴， …………10分
又，，∴平面．…………12分
20．解：（1）设数列的公差为，则．
∵，∴，即 ，……2分
又，，成等比数列，
∴，解得，，
∴. …………5分
（2）由，得，…………6分
则
所以 …………8分
两式相减得：
，故，
因为，所以． …………12分
21．解：（1）因为三棱柱是直三棱柱，
所以，又是正三角形的边的中点，
所以，因此平面，……3分
而平面，
所以平面平面．…………5分
（2）设的中点为，连接，
因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是是直线与平面所成的角，由题设知，
所以，
在中，，所以，
故三棱锥的体积．…………12分
22．解：（1）因为，， 2分
依题意得，即，解得． 3分
所以，显然在单调递增且，
故当时，；当时，．
所以的递减区间为，递增区间为． 5分
（2）①当时，由（1）知，当时，取得最小值．
又的最大值为，故． 6分
②当时，设，
所以， 7分
令，，则，
当时，,，所以，
当时，，，所以，
所以当时，，故在上单调递增，………………．9分
又 ，所以当时，； 当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
所以，即．
综上，当时，． 12分