数学理卷·2018届重庆江津长寿巴县等七校高三上学期联考（2017 10页

‎2018届重庆江津长寿巴县等七校高高三上学期联考理科数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．‎ ‎★注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；‎ ‎2．字体工整，字迹清楚；‎ ‎3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；‎ ‎4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．‎ 第I卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（原创）已知复数满足,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（原创）设集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（原创）2016年是孙中山先生诞辰150周年，中国人民银行在10月发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示为8克圆形金质纪念币，面值100元，币面直径为22，为了测算纪念币中孙中山头像的面积,向硬币内随机投掷500个点,已知恰有300个点落在头像内,据此,可估计孙中山头像的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（原创）已知向量，，若与垂直，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．（改编）如图所示的程序框图，若输入的、分别为 ‎、，则输出的数为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．（改编）已知直线：（）被圆：所截的弦长等于圆心到直线的距离，则（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．（原创）设是公差为正数的等差数列，其前项和为，若，，则满足的的最大值是（ ）‎ A．10 B．9 C．8 D．7‎ ‎8．（原创）函数的大致图像为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎9．（改编）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为的个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且第一行的3个小正方形颜色各不相同，则符合条件的所有涂法共有（ ）种.‎ A．18 B．24 C．36 D．72‎ ‎10．（改编）函数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（改编）在椭圆上有一点，椭圆内一点在的延长线上，满足，若，则椭圆离心率取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．函数，若实数满足，则实数的所有取值的和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请在答题卡指定区域内作答.‎ ‎13．（改编）在中，已知角的对边分别为，且，则 ．‎ ‎14．设满足约束条件，则的最大值是 ．‎ ‎15．（改编）的展开式中的系数是 ．（用数字作答）‎ ‎16．（改编）数列满足，则的前 40项和为 ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题卡指定区域内作答.‎ ‎17．（本小题满分12分）等差数列中,‎ ‎（1）求的通项公式; （2）设 ‎18．（本小题满分12分）中，角所对的边分别为，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求面积的最大值．‎ ‎19．（本小题满分12分）（原创）为了了解学生是否愿意参加自主招生的情况，对七校10000名高三学生进行了问卷调查，统计结果如下表：‎ 学校名称 长寿 大足 合川 江津 綦江 实验 铜梁 愿意参加 ‎350‎ ‎500‎ ‎500‎ ‎450‎ ‎400‎ ‎300‎ ‎500‎ 不愿意参加 ‎850‎ ‎1200‎ ‎1100‎ ‎1050‎ ‎1000‎ ‎700‎ ‎1100‎ ‎（1）若从愿意参加自主招生的同学中按分层抽样的方法抽取60人，则铜梁中学和江津中学各应抽取几人?‎ ‎（2）在（1）的基础上，对抽取的60位同学进行模拟测试，试题共5题，每题20分，若各校学生会做的题目如下表，‎ 所在学校 长寿 大足 合川 江津 綦江 实验 铜梁 会做题目 ‎1，3‎ ‎1，5‎ ‎2，4‎ ‎2，3‎ ‎3，5‎ ‎4，5‎ ‎1，2‎ 不全会题目 ‎2，4，5‎ ‎2，3，4‎ ‎1，3，5‎ ‎1，4，5‎ ‎1，2，4‎ ‎1，2，3‎ ‎3，4，5‎ 对不全会做的题目（），每位学生的得分的概率满足.求实验中学的学生甲第2题得分的期望和总得分的期望.‎ ‎20．（本小题满分12分）（原创）已知椭圆的焦点在轴上，其左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且满足.‎ ‎（1）求椭圆的方程.‎ ‎（2）若椭圆上有两个动点，轴于点，在直线上，且满足 ‎，若，求证：为定值.‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（1）令，讨论的单调区间；‎ ‎（2）若，正实数满足，求证：．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知点，直线为.‎ ‎（1）求点的直角坐标系下的坐标与直线的普通方程；‎ ‎（2）求点到直线的距离.‎ ‎23．（本小题满分10分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．‎ 数学（理科）答案 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 答案 C A D B D C 题号 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B B A D B 二、填空题：‎ ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题：‎ ‎17．解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为,则 因为,所以．‎ 解得,．所以的通项公式为． （6分）‎ ‎（Ⅱ）,‎ 所以．（12分）‎ ‎18．解析：（1）‎ ‎ （6分）‎ ‎（2），可得，由余弦定理可得 ‎，‎ 即有，当且仅当，取得等号．‎ ‎∴的面积为，‎ 即有时，的面积取得最大值．（12分）‎ ‎19．解析：（1）七校愿意参加自主招生的同学共有3000人，按分层抽样的方法，‎ 抽样比为，故铜梁中学应抽取人，‎ 江津中学应抽取人.（5分）‎ ‎（2）甲第2题得分的分布列为 ‎6‎ ‎10‎ ‎14‎ P 其期望（8分）‎ 同理，甲第1题得分的期望.‎ 甲第3题得分的期望 故甲的总得分期望（12分）‎ ‎20．解析：‎ ‎（1），‎ 又（舍负）‎ 故椭圆的方程为.（5分）‎ ‎（2）设 由 ‎（*）‎ 当斜率存在时，设 联立 得（**）‎ 联立 得（***）‎ 将（**）（***）代入（*）式得：‎ 则（**）变形为：‎ 又=.‎ 得=7‎ 当斜率不存在时，设同理可得=7‎ 综上述，=7为定值. （12分）‎ ‎21．解析：‎ ‎（1），‎ 所以，‎ 当时，因为，所以，即在单调递增，‎ 当时，，令，得，‎ 所以当时，，单调递增，‎ 当时，单调递减，‎ 综上，当时，函数单调递增区间为，无递减区间；‎ 当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； （6分）‎ ‎（2）当时，，‎ 由可得，‎ 即，‎ 令，则，‎ 则在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以，所以，‎ 又，故，‎ 由可知． （12分）‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 解析：1）点（）在直角坐标系下坐标为 （2分）‎ 直线的普通方程为：； （5分）‎ ‎（2）点到直线的距离为3．（10分）‎ ‎ ‎ ‎23．选修 4-5：不等式选讲 解析：（Ⅰ）∵‎ 综上，不等式的解集为： （5分）‎ ‎（Ⅱ）存在使不等式成立 由（Ⅰ）知，时，‎ 时，‎ ‎∴实数的取值范围为 （10分）‎