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- 2021-04-16 发布
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2019--2020学年度上学期期中考试高一年级数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U＝{x|x≥2}，集合M＝{x|x≥3}，则∁UM＝（ ）
A. {x|2≤x≤3} B. {x|2≤x＜3} C. {x|x≤3} D. {x|x＜2}
【答案】B
【解析】
【分析】
根据补集的定义，全集U中去掉集合M可以得到∁UM．
【详解】全集U＝{x|x≥2}，集合M＝{x|x≥3}，
则∁UM＝{x|2≤x＜3}.故选：B．
【点睛】本题考查了补集的定义，是基础题．
2.设函数 的定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为,则
A. （1,2） B. （1,2] C. （-2,1） D. [-2,1)
【答案】D
【解析】
由得，由得，
故，选D.
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
3.若偶函数f（x）在（-∞，-1]上是增函数，则（ ）
A. f（-1.5）＜f（-1）＜f（2） B. f（-1）＜f（-1.5）＜f（2）
C f（2）＜f（-1）＜f（-1.5） D. f（2）＜f（-1.5）＜f（-1）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据单调性可得，结合奇偶性可得结果.
【详解】在上是增函数，
又，
又偶函数，，故选D．
【点睛】在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
4.函数的图象恒过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
令2x-3=1得x=2, ,故过点, 故选D．
5.函数其中且的图象一定不经过
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
由可得函数的图象单调递减，且过第一、二象限，
，
的图象向下平移个单位即可得到的图象，
的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限，
故选：C．
6.已知，则的关系为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用中间数1可判断的大小，再利用中间数2可判断的大小，从而可判断的大小.
【详解】因为，所以，
而，所以，
故选：B.
【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，注意利用中间数来传递不等式关系.
7.幂函数，当时为减函数，则实数的值为（ ）
A. 或2 B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：∵为幂函数，∴，即．解得：或．当时，，在上为减函数；当时，，在上为常数函数（舍去），∴使幂函数为上的减函数的实数的值．故选C.
考点：幂函数的性质.
8.函数的递增区间是，则函数的递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
函数是函数向左平移5个单位得到的，利用函数在区间是增函，即可得到结论．
【详解】解：函数是函数向左平移5
个单位得到的，
∵函数在区间上是增函数，
∴增区间为向左平移5个单位，即增区间为，
故选：B．
【点睛】本题考查图象的变换，考查函数的单调性，属于基础题．
9.若，则函数的两个零点分别位于区间（ ）
A. 和内 B. 和内
C. 和内 D. 和内
【答案】A
【解析】
试题分析：，所以有零点，排除B，D选项.当时，恒成立，没有零点，排除C，故选A.另外，也可知内有零点.
考点：零点与二分法.
【思路点晴】如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有·，那么，函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是方程的根.注意以下几点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.③由函数在闭区间上有零点不一定能推出·，如图所示.所以·是在闭区间上有零点的充分不必要条件.
10.函数的图像的大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分x＞0与x＜0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状．
【详解】且，根据指数函数的图象和性质，
时，函数为减函数，时，函数为增函数，
故选D．
【点睛】此题考查了函数的图象，熟练掌握指数函数的图象与性质是解本题的关键．
11.已知函数在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则x2﹣ax+3a＞0且f（2）＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．
【详解】若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，
则当x∈[2，+∞）时，
x2﹣ax+3a＞0且函数f（x）=x2﹣ax+3a为增函数
即，f（2）=4+a＞0
解得﹣4＜a≤4
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中根据复合函数的单调性，构造关于a的不等式，是解答本题的关键．
12.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性求出函数的表达式，分段讨论解不等式即可得到结论．
【详解】解：∵是定义在上的奇函数，
，
当，，
此时，
∵是奇函数，
，
即，
当，即时，不等式不成立；
当，即时，，解得：
当，即时，，解得，
综合得：不等式的解集为，
故选：B.
【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性求出函数的表达式是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
令，求出，代入条件即可.
【详解】解：令，得，
，
故答案为：6.
【点睛】本题考查已知解析式求函数值，是基础题.
14.计算：的值是__________．
【答案】5.
【解析】
分析：利用指数运算运算性质和对数的运算性质直接计算即可.
解析：
.
故答案为5.
点睛：考查对数式、指数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数、对数性质及运算法则的合理运用.
15.函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是______ .
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数单调性定义，即可求得实数的取值范围。
【详解】因为函数是上的单调递减函数
所以满足
解不等式组可得
即
所以选A
【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用，根据函数单调性求参数的取值范围，属于中档题。
16.方程有解，则实数的取值范围为_________..
【答案】
【解析】
【分析】
将原方程转化为，根据函数的奇偶性画出函数的图像，由与有交点列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】原方程可化为.函数为偶函数，图像关于轴对称，当
时，为减函数.由此画出函数的图像如下图所示，由图可知，要使与有交点，则需，解得.
故答案为.
【点睛】本小题根据方程有解求参数的取值范围，考查函数与方程，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.集合A={x|-3≤x＜5}，B={x|-2＜x＜7}
（1）求A∩B, A∪B
（2）（∁RA）∩B．
【答案】（1） A∪B={x|-3≤x＜7}；（2）（∁RA）∩B={x|5≤x＜7}
【解析】
试题分析：利用数轴进行集合间的交并补运算.
试题解析：
（1）∵A={x|-3≤x＜5}，B={x|-2＜x＜7}，
∴
A∪B={x|-3≤x＜7}；
（2）∵A={x|-3≤x＜5}，B={x|-2＜x＜7}，
∴∁RA={x|x＜-3或x≥5}
则（∁RA）∩B={x|5≤x＜7}
点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
18.计算下列各题：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用指数幂的运算性质计算即可；
（2）利用对数的运算性质计算即可.
【详解】解：（1）；
（2）.
【点睛】本题考查指数幂和对数的运算性质，是基础题.
19.设实数，函数 .
（1）若已知为该函数图像上一点，求的值；
（2）证明：对于任意在上为增函数.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）代入点计算即可求出；
（2）运用函数的定义判断证明函数的单调性，先任取两个值后进行作差变形，确定符号，最后下结论即可．
【详解】（1）为该函数图象上一点，
（2）证明：设任意，
则，
指数函数在上是增函数，且，
，即，
又由，得，
，即，
对于任意在上为增函数.
【点睛】本题考查了函数值，通过证明一个函数在给定区间上为增函数，考查了用定义证明函数单调性的知识，属于基础题.
20.已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）利用对数函数的单调性，讨论不等式中的的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【解析】
试题分析：(1)求定义域时,注意对数的真数为正数；(2)对底数分情况讨论,利用单调性求解不等式.
试题解析:（1）要使函数有意义，需，解得，故函数的定义域为；
（2）∵不等式，即，
∴当时，有，解得．． 8分
当时，有，解得，
综上可得，当时，不等式中的取值范围为；
当时，不等式中的取值范围为．．12分
考点：对数的性质及应用.
21.已知二次函数的最小值为，且.
（1）若在区间上不单调，求a的取值范围；
（2）求在区间上的值域.
【答案】（1）；（2）当时，值域为；当时，值域为；当时，值域为．
【解析】
【分析】
由题意可得在时，取得最小值1，设二次函数，代入
，即可得到的解析式；
（1）由对称轴，可得，解不等式即可得到所求范围；
（2）讨论对称轴和区间的关系，结合单调性求得最值，即可得到所求值域；
【详解】由可知二次函数的对称轴为，又其最小值为，
则可设二次函数，
又，
．
即；
（1）由函数在区间上不单调，
所以，
解得；
（2）当时，，
此时函数值域为；
当，，
此时值域为；
当时，
此时值域为．
综上可得：当时，函数值域为；
当时，值域为；
当时，值域为．
【点睛】本题考查二次函数的解析式的求法和值域问题，以及单调性的判断，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．
22.定义在上的函数,对任意的，满足：，当
时，有，其中.
（1）判断该函数的单调性，并证明；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）在上单调递增，证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
用特殊值法分析：令，可得的值，令，则，可得函数恒大于0；
（1）任取且，判断的大小关系，结合单调性的定义分析可得结论；
（2）根据题意得到，据此分析可得，利用单调性可得的取值范围，即可得答案．
【详解】解：根据题意，对任意的，满足，
令，则，又由，则，
令，则，
，
所以定义在上的函数恒大于0；
（1）在上单调递增；
任取且，则有，则，
，
则，
即函数在上为增函数；
（2）根据题意，
，
则，
解可得：，
即不等式的解集为．
【点睛】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的奇偶性与单调性的证明与综合应用，注意用赋值法分析．