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- 2021-04-16 发布
2019-2020学年重庆一中高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题）
1.已知等差数列的公差为2，且是与的等比中项，则等于( )
A. 6 B. 4 C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程即可得到所求值．
【详解】等差数列的公差d为2，且是与的等比中项，
可得，即，
则，
故选B．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则b等于( )
A. B. 6 C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知利用正弦定理即可求解b的值．
【详解】，，，
由正弦定理，可得．
故选C．
【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
3.若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为( )
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】D
【解析】
分析】
根据双曲线渐近线的方程，确定a，b的关系，进而利用离心率公式求解．
【详解】双曲线的渐近线方程为，
，即，
，
离心率．
故选D．
【点睛】本题主要考查双曲线性质，要求熟练掌握双曲线的渐近线方程和离心率的公式．
4.已知直线与平行，则与的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由两直线平行，求出，得到，再由两平行线间的距离公式，即可求出结果.
【详解】因为直线与平行，
所以，解得，
所以，即，
因此与的距离为.
故选D
【点睛】本题主要考查两平行线间的距离，熟记距离公式，以及直线平行的判定条件即可，属于常考题型.
5.已知抛物线：的焦点为，是上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，如图，
由抛物线的几何意义，可知，所以，
所以，故选D．
点睛：首先将抛物线化为标准方程，求得焦点和准线，利用抛物线的几何意义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，求得点的值，代回抛物线方程求得的值．要求学生对抛物线的几何意义熟悉掌握．
6.椭圆上一点到左焦点的距离是2，是的中点，是坐标原点，则的值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】
根据椭圆的定义得，
由于中，是的中点，
根据中位线定理得，故选A．
7.已知双曲线方程为，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设弦的端点的坐标分别为，，代入双曲线的方程，作差，结合平方差公式和中点坐标公式、直线的斜率公式，可得弦所在直线的斜率，由点斜式方程可得所求直线方程．
【详解】以点为中点的双曲线的弦的端点的坐标分别为，，
可得，，
相减可得，
且，，
则弦所在直线的斜率，
可得弦所在的直线方程为，
即为．
故选A．
【点睛】本题考查双曲线的方程和运用，考查点差法求直线方程，以及化简运算能力，属于基础题．
8.若圆C：与圆E：有公共点，则r的范围( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出两圆的圆心和半径，因为两圆有公共点，所以圆心距大于等于两半径差的绝对值小于等于两半径之和，列出不等式即可求出r的取值范围．
【详解】圆C方程为：，圆心，半径为r，
圆E方程为：，圆心，半径，
圆C：与圆E：有公共点，
，即，
解得：，
故选C．
【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，是基础题．
9.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为
A. 2 B. 3 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【详解】由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，
则＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝＋x0＋
∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.
∴＝＋x0＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.
∵－2≤x0≤2.
∴的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.
10.过抛物线的焦点作斜率大于的直线交抛物线于 两点（在的上方），且与准线交于点，若，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
如图，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，设．
由得，所以，整理得．选A．
11.设是双曲线一个焦点，，是的两个顶点，上存在一点，使得与以为直径的圆相切于，且是线段的中点，则的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图形的几何特性转化成双曲线的之间的关系求解.
【详解】设另一焦点为，连接，由于是圆的切线，
则，且，
又是的中点，则是的中位线，
则，且，
由双曲线定义可知，
由勾股定理知，，，
即，渐近线方程为，
所以渐近线方程为．
故选C.
【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，属于中档题.
12.设A，B分别是双曲线的左右顶点，设过的直线PA，PB与双曲线分别交于点M，N，直线MN交x轴于点Q，过Q的直线交双曲线的于S，T两点，且，则的面积( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求得双曲线的左右顶点，设出直线PA，PB的方程，联立双曲线的方程，求得M，N的坐标，设，运用M，N，Q三点共线的条件，以及向量共线的条件，求得，设过Q的直线方程，联立双曲线方程，运用韦达定理和三角形的面积公式，计算可得所求值．
【详解】双曲线的左右顶点为，，，
可得直线PA的方程为，PB的方程为，
联立可得，
解得或，
代入可得，即有，
联立可得，
解得或，
代入，可得，即，
设，由M，N，Q三点共线，可得，
即有，
将M，N的坐标代入化简可得，
解得，即，
设过Q的直线方程为，
联立双曲线方程，可得，
设，，可得，，恒成立，
，可得，代入韦达定理可得，
解得，
可得
．
故选A．
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，直线方程和双曲线方程联立，求交点和运用韦达定理，考查直线恒过定点，以及三角形的面积的求法，考查化简运算能力，属于难题．
二、填空题（本大题共4小题）
13.已知，，且，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用数量积运算性质以及模的计算公式即可求出．
【详解】，，且
，解得，
．
故答案为
【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质，模的计算公式，属于基础题．
14.已知定点，点是圆上的动点，则的中点的轨迹方程__________．
【答案】
【解析】
由题意得，设，
则，所以，代入圆的方程，
整理得，即
点睛：本题主要考查了轨迹方程的求解问题，其中解答中涉及到圆的标准方程，利用代入法求解动点的轨迹方程，以及中点公式等知识点的综合运用，试题比较基础，属于基础题，解答中根据题意利用代入法求解轨迹方程是解答的关键.
15.如图，正方体中，E为线段的中点，则AE与所成角的余弦值为____．
【答案】；
【解析】
【分析】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE与CD1所成角的余弦值．
【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则A（2，0，0），E（2，2，1），C（0，2，0），D1（0，0，2），
（0，2，1），（0，﹣2，2），
设AE与CD1所成角为θ，
则cosθ，
∴AE与CD1所成角的余弦值为．
故答案为．
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16.设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为__________．
【答案】
【解析】
分析：求出抛物线焦点为，准线为，设，直线方程为，由与抛物线方程消去得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系算出的坐标，根据，利用两点间的距离公式解出，进而得到结论.
详解：
抛物线方程为，
抛物线焦点为，准线为，
设，
因为在第一象限，所以直线的斜率，
设直线方程为，
代入抛物线方程消去，得，
，
过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，
设点的坐标为，可得，
，
，
得到，可得，
，，解之得，
所以，直线方程为，即,
，故答案为.
点睛：本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，以及抛物线与直线的位置关系，属于难题.解答直线与抛物线位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．
三、解答题（本大题共6小题）
17.的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
求A．
若，，求的面积．
【答案】(1)．(2)．
【解析】
【分析】
由利用正弦定理可得：再利用和差公式、三角函数求值即可得出．
由余弦定理可得：，化简解得可得．
【详解】由．
利用正弦定理可得：．
，即，可得．
，．
由余弦定理可得：，
可得：，化为：，解得：，
．
【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.如图，在三棱柱中，底面，，，，，点E，F分别为与AB的中点．
证明：平面；
求与平面AEF所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】
【分析】
连接，利用中位线性质即可得证；
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，再带入公式即可求解．
【详解】证明：如图，连接，在三棱柱中，E为的中点．
又因为F为AB的中点，所以；
又平面，平面，
所以：平面．
解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，4，，0，，2，，
所以，0，，2，．
设平面AEF的法向量为y，，
则且，令，得0，．
记与平面AEF所成，则．
【点睛】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离以及线面的位置关系等问题，属于中档题．
19.已知过点的圆M的圆心为，且圆M与直线相切．
求圆M标准方程；
若过点且斜率为k的直线l交圆M于A，B两点，若的面积为，求直线l的方程．
【答案】(1)．(2)．
【解析】
【分析】
根据题意设出圆的方程：，因为圆M与直线相切，得，求出a，r进而得出圆的标准方程．
求出，及点P到直线l的距离，表示出，求出斜率k，进而得出直线方程．
【详解】设圆M的标准方程为：，
则圆心M到直线的距离为，
由题意得，解得或舍去，所以，
所以圆M的方程为．
设直线l的方程为，则圆心M到直线l的距离为，
，
又点到直线l的距离为，
，解得，，
则直线的方程为．
【点睛】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20.如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．
1证明：；
2求BE的长；
3若F为棱PC上一点，满足，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)．(3)．
【解析】
【分析】
1以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出，，由，能证明．
2由，能求出BE长．
3由，求出，进而求出平面FBA的法向量和平面ABP的法向量，由此利用向量法能求出二面角的余弦值．
【详解】1证明：底面ABCD，，
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意,
，，
，．
2解：因为，
的长为．
3解：，
，由点F在棱PC上，设，，
，
，，解得，
设平面FBA的法向量为，
则，
取，得，
取平面ABP的法向量，
则二面角的平面角满足：
，
二面角的余弦值为．
【点睛】本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系，考查线线垂直、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．
21.设抛物线的焦点为，过点作垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，且以线段为直径的圆过点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线交于，两点，点为曲线:上的动点，求面积的最小值.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
【分析】
（1）由于与轴垂直，因此就是圆心，的长是抛物线的通径长，从而易求得；
（2）点，，把直线方程与抛物线方程联立，消去得的一元二次方程，由韦达定理得，从而可得，设动点，求出到直线的距离，利用基本不等式可求得它的最小值，从而得三角形面积的最小值．
【详解】(1)由题意得，圆的半径，解得：
故抛物线的方程为.
(2)设点，，由直线过抛物线的焦点，
联立得，
故，所以
由点为曲线上的动点，设点，点到直线的距离
，
由，故
当且仅当，即时，取等号，所以，
∴，
故面积的最小值为.
【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系问题．在直线与抛物线的位置关系中常用设而不求思想，即点，，把直线方程与抛物线方程联立，消去得的一元二次方程，由韦达定理得，有时还有，然后再让，参与计算可求得结论（如弦长，面积、定值、定点等）．
22.已知椭圆C：上的点到右焦点F的最大距离为，离心率为．
求椭圆C的方程；
如图，过点的动直线l交椭圆C于M，N两点，直线l的斜率为，A为椭圆上的一点，直线OA的斜率为，且，B是线段OA延长线上一点，且过原点O
作以B为圆心，以为半径的圆B的切线，切点为令，求取值范围．
【答案】(1)；(2)．
【解析】
【分析】
依题，结合离心率求得a与c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
由已知可得直线l的方程，与椭圆C：联立，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求得弦，写出OA所在直线方程，与椭C：联立求得，得到，利用换元法求得的范围，把转化为含的代数式求解．
【详解】依题，，
解得，，
．
椭圆C的方程为；
由已知可得直线l的方程为：，与椭圆C：联立，
得，由题意，
设，，则，．
弦，
OA所在直线方程为，与椭C：联立，解得，
．
．
令，则，
则，
得到，
．
令，由知，，换元得：
，其中．
．
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．