宁夏回族自治区银川一中2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版含解析 18页

银川一中2019-2020学年度（下）高二期末考试 数学试卷（理科）‎ 一、选择题：（每道题5分，共60分）‎ ‎1.已知曲线：，则曲线的参数方程为（ ）‎ A. （为参数） B. （为参数）‎ C. （为参数） D. （为参数）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的参数方程的定义计算可得；‎ ‎【详解】解：因为曲线：，根据 可得其参数方程为（为参数）‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查圆的参数方程的定义的应用，属于基础题.‎ ‎2.在极坐标系中,过点并且与极轴垂直的直线方程是(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：在直角坐标系中，求出直线的方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式求得直线极坐标方程．‎ 解答：解：在直角坐标系中，过点（1，0）并且与极轴垂直的直线方程是 x=1，‎ 其极坐标方程为 ρcosθ=1，‎ 故选 C．‎ - 18 -‎ ‎3.的展开式中的系数为（ ）‎ A. -15 B. -20 C. 20 D. 15‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出二项式展开式的通项，再令x的指数为3得到r的值，即得的展开式中的系数.‎ ‎【详解】由题得二项展开式的通项为，‎ 令，所以r=3，‎ 所以的展开式中的系数为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】（1）本题主要考查二项式展开式中某项的系数的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平；（2）的展开式中的系数为，不是，要把二项式系数和项的系数两个不同的概念区分开.‎ ‎4.若直线的参数方程为（为参数），则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：消参，将两边同乘以2，与相加可得，，则直线的斜率为.‎ 考点：1.参数方程；2.直线的斜率.‎ ‎5.某大型超市开业天数与每天的销售额的情况如下表所示：‎ 开业天数 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ - 18 -‎ 销售额/天(万元)‎ ‎62‎ ‎75‎ ‎81‎ ‎89‎ 根据上表提供的数据，求得关于的线性回归方程为，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为（ ）‎ A. 67 B. 68‎ C. D. 71‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设该数为m，再求，然后根据点在回归直线上求解.‎ ‎【详解】设该数为m，，‎ 因为点在回归直线上，‎ 所以，‎ 解得：m=68.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查线性回归方程的应用，还考查了理解辨析和数据处理的能力，属于基础题.‎ ‎6.求曲线：经过变换后所得曲线的焦点坐标为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 18 -‎ 由已知得，代入双曲线得到曲线的标准方程，由此能求出曲线的焦点坐标．‎ ‎【详解】解：，，‎ 代入双曲线，得．‎ ‎，，，‎ 曲线的焦点坐标为，．‎ 故选：A 点睛】本题考查伸缩变换的应用，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用，属于基础题．‎ ‎7.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用次独立重复实验中恰好发生次的概率计算公式，即可求得．‎ ‎【详解】解：由题意可得，取得红球的概率为，‎ 说明前11次取球中，有9次取得红球、2次取得白球，‎ 且第12次取得红球，故.‎ 故选：D.‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题考查了次独立重复实验中恰好发生次的概率，解本题须认真分析的意义，属于基础题．‎ ‎8. 分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ C 试题分析：由题意得：有个居民家去两名水暖工，其他两个居民家各去一名水暖工，因此分配的方案共有种，选C.‎ 考点：排列组合 ‎9.某学校高三模拟考试中数学成绩服从正态分布，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为（ ）人．‎ 参考数据：，）‎ A. 261 B. 341 C. 477 D. 683‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：正态总体的取值关于对称，位于之间的概率是0.6826，根据概率求出位于这个范围中的个数，根据对称性除以2 得到要求的结果．‎ 详解：正态总体的取值关于对称，位于之间的概率是，则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为人.‎ 故选B .‎ 点睛：题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．‎ ‎10.为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“‎ - 18 -‎ 光盘”行动，得到如下的列联表：（ ）‎ ‎ ‎ 做不到“光盘” ‎ 能做到“光盘” ‎ 男 ‎ ‎45 ‎ ‎10 ‎ 女 ‎ ‎30 ‎ ‎15 ‎ 附：‎ P（K2k） ‎ ‎0．10 ‎ ‎0．05 ‎ ‎0．025 ‎ k ‎ ‎2．706 ‎ ‎3．841 ‎ ‎5．024 ‎ ‎ ‎ 参照附表，得到的正确结论是 A. 在犯错误的概率不超过l％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”‎ B. 在犯错误的概率不超过l％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”‎ C. 有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”‎ D. 有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由表计算得：‎ - 18 -‎ ‎，所以有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，选C．‎ 考点：线性相关 ‎11.北京某大学为第十八届四中全会招募了名志愿者（编号分别是，，，号），现从中任意选取人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保号、号与号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：号、号与号放在一组，则其余三个编号要么都比6小，要么都比24大，比6 小时，有种选法，都比24大时，有种选法，合计30种选法，号、号与在选厅时有两种选法，所以选取的种数共有种，故正确选项为C.‎ 考点：组合与排列的概念.‎ ‎12.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，已知曲线：，过点的直线的参数方程为：（为参数），直线与曲线分别交于、两点.若、、成等比数列，求的值（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以求出曲线的直角坐标方程，然后将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，根据韦达定理得出以及的值，再然后根据、、成等比数列得出，最后将以及的值带入中，通过计算即可得出结果.‎ ‎【详解】因为曲线：‎ - 18 -‎ 所以曲线的直角坐标方程为 将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得：‎ ‎，‎ 设交点、对应的参数分别为、，‎ 则，，‎ 因为、、成等比数列，所以，‎ 即，，‎ 解得或（舍取），故满足条件的，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线参数方程的几何意义，考查韦达定理以及等比中项的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.‎ 二、填空题：（每道题5分，共20分）‎ ‎13.若关于的不等式的解集为，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为等式的解集为,所以为方程的根,‎ 即,故填.‎ 考点：绝对值不等式 绝对值方程 ‎14.‎ - 18 -‎ 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 一位乘客是否在20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，，用n次独立重复试验概率公式即可求出P(X＝4).‎ ‎【详解】一位乘客是否在20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，，‎ 则有，4，5.‎ 所以.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】独立重复试验的特点：（1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；（2）每次试验的结果相互独立．‎ ‎15.若且满足，则的最小值是____.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以根据基本不等式得出，然后代入，即可得出结果.‎ ‎【详解】，‎ 因为，‎ 所以，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ - 18 -‎ 本题考查基本不等式求最值，主要考查通过基本不等式求和的最小值，考查幂的运算，考查计算能力，是简单题.‎ ‎16.设为正实数，现有下列命题：‎ ‎①若，则；‎ ‎②若，则；‎ ‎③若，则；‎ ‎④若，则．‎ 其中的真命题有____________．（写出所有真命题的编号）‎ ‎【答案】 ①④‎ ‎【解析】‎ 试题分析：对于①,因为,由此可知,若这与矛盾,故有成立,所以①为真;对于②取知,所以②不真;对于③取成立,但不成立,所以③不真;对于④由得到:,又因为中至少有一个大于1（否则已知|a3-b3|=1不成立）,从而成立,故④为真;综上可知真命题有①④.‎ 考点：不等式性质.‎ 三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知：椭圆：，直线：.‎ ‎（1）求椭圆的参数方程；‎ - 18 -‎ ‎（2）求椭圆上一点到直线的距离的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接由椭圆的普通方程得到椭圆的参数方程；‎ ‎（2）设点坐标为，运用点到直线的距离公式，以及两角和的正弦公式，化简可得距离，再由余弦函数的性质，可得最小值．‎ ‎【详解】解：（1）因为椭圆：‎ 所以椭圆的参数方程是（为参数）.‎ ‎（2）依题意知椭圆的参数方程是（为参数），故椭圆上任意一点到直线的距离是，当时，.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆参数方程的运用，以及点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于基础题．‎ ‎18.王府井百货分店今年春节期间，消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，表示第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎17‎ - 18 -‎ 经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系.‎ ‎（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）若该活动只持续10天，估计共有多少名顾客参加抽奖.‎ 参与公式：，，.‎ ‎【答案】（1）（2）140人 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.‎ ‎（2）利用回归直线方程，估计出第三天参加抽奖的顾客人数，由此求得这天共有的人数.‎ ‎【详解】（1）依题意：，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则关于的线性回归方程为.‎ ‎（2）预测时，，时，，时，，‎ 此次活动参加抽奖的人数约为5+8+8+10+14+15+17+19+21+23=140人.‎ ‎【点睛】本小题主要考查回归直线方程的求法，考查利用回归直线方程进行预测，属于中档题.‎ - 18 -‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，，且，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由绝对值的性质求解．‎ ‎（2）由已知得，则，然后利用基本不等式可证明不等式成立．‎ ‎【详解】（1），即，所以，，所以不等式解集为．.‎ ‎（2）因为，，，所以，，所以，，‎ 由题意知，‎ 因为，‎ 所以，当且仅当即时等号成立，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，考查用基本不等式证明不等成立，在只有一个绝对值符号时，可以利用绝对值的性质求解．用基本不等式证明不等式时关键是是凑配出基本不等式所需的定值．‎ ‎20.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是，曲线的极坐标方程是．‎ ‎（1）求直线l和曲线的直角坐标方程，曲线的普通方程；‎ - 18 -‎ ‎（2）若直线l与曲线和曲线在第一象限的交点分别为P，Q，求的值．‎ ‎【答案】（1）；；（2）．‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由，得，代入即可得直线l的直角坐标方程；由，得，代入得曲线的直角坐标方程；由消去参数即可 ‎ ‎（2）得到和的极坐标方程，因为，所以，把代入和的极坐标方程，根据极径的意义可得.‎ ‎【详解】解：（1）由，得，‎ 代入，得，‎ 故直线l的直角坐标方程是．‎ 由，‎ 得，‎ 代入，得，‎ 即，‎ 故曲线的直角坐标方程是．‎ 由，得 即．‎ - 18 -‎ 故曲线的普通方程是．‎ ‎（2）把代入中，化简整理，‎ 曲线的极坐标方程为，‎ 曲线的极坐标方程为，‎ 因为，所以 所以，．‎ 所以 ‎【点睛】考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及根据极坐标方程中极径的几何意义求距离，中档题 ‎21.选修4-5：不等式选讲 已知函数，，‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式：；‎ ‎（Ⅱ）若，且当时，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）当=-2时，不等式＜化为，‎ 设函数=，=，‎ - 18 -‎ 其图像如图所示，从图像可知，当且仅当时，＜0，∴原不等式解集是.‎ ‎（Ⅱ）当∈[，)时，=，不等式≤化为，‎ ‎∴对∈[，)都成立，故，即≤，‎ ‎∴的取值范围为（-1，].‎ 考点：绝对值不等式解法，不等式恒成立问题．‎ 点评：中档题，绝对值不等式解法，通常以“去绝对值符号”为出发点．有“平方法”，“分类讨论法”，“几何意义法”，不等式性质法等等．不等式恒成立问题，通常利用“分离参数法”，建立不等式，确定参数的范围．‎ ‎22.2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.‎ ‎（1）求一个接种周期内出现抗体次数的分布列；‎ ‎（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：‎ ‎①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为元；‎ ‎②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为元.本着节约成本的原则，选择哪种实验方案.‎ ‎【答案】（1）分布列见解析；（2）①元；②选择方案二.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二项分布的知识计算出分布列.‎ - 18 -‎ ‎（2）①先求得一个接种周期接种费用的期望值，由此求得三个接种周期的接种费用的期望值.‎ ‎②首先求得“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”的概率，根据相互独立事件概率计算公式，结合随机变量期望值的计算，计算出花费的期望值.由于，所以选择方案二.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，随机变量服从二项分布，‎ 故（）‎ 则的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎（2）①设一个接种周期的接种费用为元，则可能的取值为200，300，‎ 因为，，‎ 所以.‎ 所以三个接种周期的平均花费为.‎ ‎②随机变量可能的取值为300，600，900，‎ 设事件为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由（1）知，.‎ 所以，‎ ‎，‎ - 18 -‎ ‎，‎ 所以 因为.‎ 所以选择方案二.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二项分布，考查相互独立事件概率计算，考查数学期望的计算，属于中档题.‎ ‎ ‎ - 18 -‎