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- 2021-04-16 发布
第13讲 变化率与导数、导数的计算
考纲要求
考情分析
命题趋势
1．了解导数概念的实际背景．
2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．
3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数的导数．
2017·全国卷Ⅰ，16
2017·全国卷Ⅱ，11
2016·全国卷Ⅲ，15
2016·北京卷，18(1)
2016·山东卷，10
1．导数的概念及几何意义是命题热点，难度不大，经常与函数结合，通过求导研究函数的性质．
2．导数几何意义的应用也是命题热点，难度较大，题型大多是根据导数的几何意义求参数值或参数的取值范围，以及与切线有关的计算、证明问题．
分值：5～7分
1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为！！！ ###，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为 .
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数及几何意义
(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 li ＝！！！ ###为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ li .
(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点__(x0，f(x0))__处的__切线的斜率__.相应地，切线方程为__y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)__.
3．函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝！！！ ###为f(x)的导函数，导函数也记作y′.
4．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝__0__
f(x)＝xn(n∈Q)
f′(x)＝__nxn－1__
f(x)＝sin x
f′(x)＝__cos_x__
f(x)＝cos x
f′(x)＝__－sin_x__
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝__axln_a(a>0且a≠1)__
f(x)＝ex
f′(x)＝__ex__
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝！！！ (a>0，且a≠1) ###
f(x)＝ln x
f′(x)＝！！！ ###
5．导数的四则运算法则
(1)(f(x)±g(x))′＝__f′(x)±g′(x)__；
(2)(f(x)g(x))′＝__f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)__；
(3)′＝！！！ ###(g(x)≠0)；
(4)y＝f(g(x))是由y＝f(μ)，μ＝g(x)复合而成，则y′x＝y′μ·μ′x.
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．( × )
(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )
(4)若f(x)＝f′(a)x2＋ln x(a>0)，则f′(x)＝2xf′(a)＋.( √ )
解析 (1)错误．应先求f′(x)，再求f′(x0)．
(2)正确．如y＝1是曲线y＝cos x的切线，但其交点个数有无数个．
(3)错误．如y＝0与抛物线y2＝x只有一个公共点，但是y＝0不是抛物线y2＝x的切线．
(4)正确．f′(x)＝(f′(a)x2＋ln x)′＝(f′(a)x2)′＋(ln x)′＝2xf′(a)＋.
2．曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为( A )
A．2 B．－2
C． D．－
解析 依题意得y′＝1＋ln x，y′|x＝e＝1＋ln e＝2，
所以－×2＝－1，a＝2.
3．某质点的位移函数是s(t)＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，它的加速度是( A )
A．14 m/s2 B．4 m/s2
C．10 m/s2 D．－4 m/s2
解析 由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．
4．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为__2x－y＋1＝0__.
解析 ∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.
∴该切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
5．函数y＝xcos x－sin x的导数为__y′＝－xsin_x__.
解析 y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝x′cos x＋x(cos x)′－cos x＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
一 导数的运算
导数的运算方法
(1)连乘积形式：先展开，化为多项式的形式，再求导．
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．
(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．
(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．
(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．
【例1】 求下列函数的导数．
(1)y＝(1－)；(2)y＝；
(3)y＝tan x；(4)y＝3xex－2x＋e.
解析 (1)∵y＝(1－)＝－＝x－－x，
∴y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－＝－－.
(2)y′＝′＝＝＝.
(3)y′＝′＝
＝＝.
(4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
【例2】 (1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝！！！ － ###.
(2)已知函数f(x)＝f′sin x＋cos x，则f＝__－1__.
解析 (1)∵f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，
∴f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，
∴f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，∴f′(2)＝－.
(2)∵f(x)＝f′sin x＋cos x，∴f′(x)＝f′cos x－sin x，∴f′＝f′－，∴f′＝－(2＋)，
∴f(x)＝－(2＋)sin x＋cos x，
∴f＝－(2＋)×＋＝－1．
二 导数的几何意义和切线方程
若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P(x0，y0)的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．
(1)当点P(x0，y0)是切点时，则切线方程为
y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分为以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程为
y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，由此即可得过点P(x0，y0)
的切线方程．
【例3】 (1)若曲线f(x)＝acos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝( C )
A．－1 B．0
C．1 D．2
(2)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝____1____.
解析 (1)∵两曲线的交点为(0，m)，
∴即a＝1，
∴f(x)＝cos x，∴f′(x)＝－sin x，则f′(0)＝0，f(0)＝1．
又g′(x)＝2x＋b，∴g′(0)＝b，∴b＝0，∴a＋b＝1．
(2)∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1．又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1．
【例4】 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
解析 (1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，
∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)设切点坐标为(x0，x－4x＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点(x0，x－4x＋5x0－4)，
∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，
∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.
1．(2018·河南郑州质检)已知y＝f(x)是可导函数．如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( B )
A．－1 B．0
C．2 D．4
解析 ∵y＝f(x)在x＝3处的切线的斜率为－，∴f′(3)＝－.
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×＝0.
2．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是 曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝__1－ln_2__.
解析 直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2，y＝ln (x＋1)均相切，设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝ln x＋2得y′＝，由y＝ln (x＋1)得y′＝，∴k＝＝，∴x1＝，x2＝－1，∴y1＝－ln k＋2，y2＝－ln k，即A，B，∵A，B在直线y＝kx＋b上，
∴⇒
3．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是__y＝－2x－1__.
解析 令x>0，则－x<0，f(－x)＝ln x－3x，又f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝ln x－3x(x>0)，则f′(x)＝－3(x>0)，∴f′(1)＝－2，
∴在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1．
4．求下列函数的导数．
(1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝x·tan x；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(4)y＝.
解析 (1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′
＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5.
(2)y′＝(x·tan x)′
＝′
＝
＝＝.
(3)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11．
(4)y′＝′＝
＝＝.
易错点 审题不认真致误
错因分析：不能正确理解曲线“在点P处的切线”与曲线“过点P的切线”的不同．
【例1】 求曲线S：y＝f(x)＝2x－x3过点A(1,1)的切线方程．
解析 设切点为(x0，f(x0))．
∵f′(x)＝2－3x2，∴切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，
即y＝(2－3x)(x－x0)＋2x0－x，
将点A(1,1)代入得1＝(2－3x)(1－x0)＋2x0－x，
整理得2x－3x＋1＝0，即2x－2x－x＋1＝0，
∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或－，A不一定为切点，
∴y0＝1，f′(x0)＝－1或y0＝－，f′(x0)＝.
∴切线方程为y＝－x＋2或y＝x－.
【跟踪训练1】 求经过曲线y＝x3－x2上一点(－1，－2)的切线方程．
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
∵y′＝3x2－2x，∴y′|x＝x0＝3x－2x0.
∴其切线方程为y－(x－x)＝(3x－2x0)(x－x0)，
即y＝(3x－2x0)x－2x＋x.
又其切线过点(－1，－2)，∴－2＝－3x＋2x0－2x＋x，
即x＋x－x0－1＝0，解得x0＝－1或x0＝1．
故所求的切线方程为5x－y＋3＝0或x－y－1＝0.
课时达标 第13讲
[解密考纲]本考点主要考查导数的计算和曲线的切线问题，涉及导数的问题，离不开导数的计算；曲线的切线问题，有时在选择题、填空题中考查，有时会出现在解答题中的第(1)问．
一、选择题
1．已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f′(1)＝－1，则a＝( B )
A．e B．
C． D．
解析 因为f′(x)＝，所以f′(1)＝＝－1，得ln a＝－1，所以a＝.
2．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)＝( D )
A．2 B．0
C．－2 D．－4
解析 f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，则f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.
3．(2018·河南八市质检)已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝f(x)，则tan 2x的值是( D )
A．－ B．－
C． D．
解析 因为f′(x)＝cos x＋sin x＝sin x－cos x，
所以tan x＝－3，所以tan 2x＝＝＝，故选D．
4．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( B )
A． B．
C． D．
解析 ∵y＝，
∴y′＝＝＝≥－1，
当且仅当ex＝，即x＝0时取等号，∴－1≤tan α<0.
又∵0≤α<π，∴≤α<π，故选B．
5．(2018·河南郑州质检)函数f(x)＝excos x在点(0，f(0))处的切线方程为( C )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
解析 ∵f′(x)＝excos x＋ex(－sin x)＝ex(cos x－sin x)，
∴f′(0)＝e0(cos 0－sin 0)＝1．
又∵f(0)＝1，∴f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0，故选C．
6．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)·x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝( D )
A． B．－
C． D．－或
解析 ∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，
∴f′(x)的图象开口向上，则②④排除．
若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝；
若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，
又对称轴为x＝－a，－a>0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－.
二、填空题
7．已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋3，则f(1)＋f′(1)＝__4__.
解析 由题意知f′(1)＝，f(1)＝×1＋3＝，
∴f(1)＋f′(1)＝＋＝4.
8．(2018·广东惠州模拟)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为__5x＋y＋2＝0__.
解析 由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.
9．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点坐标为！！！ ###.
解析 ∵y′＝－，∴解得x＝3.
故切点坐标为.
三、解答题
10．(1)已知f(x)＝eπx·sin πx，求f′(x)及f′；
(2)已知f(x)＝(x＋)10，求.
解析 (1)∵f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcos πx，
∴f′＝πe＝πe.
(2)∵f′(x)＝10(x＋)9·，
∴f′(1)＝10(1＋)9·＝(1＋)10＝5(1＋)10.
又f(1)＝(1＋)10，∴＝5.
11．已知曲线C：y＝x3－6x2－x＋6.
(1)求C上斜率最小的切线方程；
(2)证明：C关于斜率最小时切线的切点对称．
解析 (1)y′＝3x2－12x－1＝3(x－2)2－13.当x＝2时，y′最小，即切线斜率的最小值为－13，切点为(2，－12)，切线方程为y＋12＝－13(x－2)，即13x＋y－14＝0.
(2)证明：设点(x0，y0)∈C，点(x，y)是点(x0，y0)关于切点(2，－12)对称的点，则
∵点(x0，y0)∈C，∴－24－y＝(4－x)3－6(4－x)2－(4－x)＋6，整理得y＝x3－6x2－x＋6.
∴点(x，y)∈C，于是曲线C关于切点(2，－12)对称．
12．设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．
解析 (1)f′(x)＝a－，依题意，f′(2)＝0，f(2)＝3，
即解得或
因为a，b∈Z，所以a＝1，b＝－1，故f(x)＝x＋.
(2)证明：在曲线上任取一点，
由f′(x0)＝1－知，过此点的切线方程为
y－＝(x－x0)．
令x＝1得y＝，切线与直线x＝1的交点为.
令y＝x得x＝2x0－1，切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－1)．
直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为
·|2x0－1－1|＝·|2x0－2|＝2.
所以所围三角形的面积为定值2.