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- 2021-04-16 发布
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新疆生产建设兵团第二中学2018-2019学年高二上学期期中检测数学（理）试题
评卷人
得分
一、单选题
1．已知平面直线满足则“”是“”的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
分析:根据线面平行的判定定理得充分性成立，而必要性显然不成立.
详解：因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.
点睛：充分、必要条件的三种判断方法：
（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用全称命题的否定的规则写出其否定即可.
【详解】
命题的否定为：，，故选D.
【点睛】
全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.
3．为调查学生身高的情况，随机抽测了高三两个班名学生的身高(单位：)，所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的名学生中，身高位于区间上的人数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图，可以计算出身高位于区间上的频率，再根据频率计算身高位于区间上的人数即可.
【详解】
由频率分布直方图可知，
身高位于区间上的频率为，
所以在抽测的名学生中，身高位于区间上的人数为人，故选C.
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图，属于中档题.
4．计算机执行下面的程序段后,输出的结果是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【解析】
因为a=1+3=4,b=4-3=1.所以输出的a,b值分别为4,1.
5．已知命题；命题．则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：显然命题是真命题；命题若，则是假命题，所以是真命题，故为真命题.
考点：命题的真假.
6．如图所示，样本和分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由图易知，因为A中的数据较为分散，B中的数据较为集中，所以，因此选B。
考点：平均数的概念；标准差的概念。
点评：标准差是用来衡量数据分散程度的量，数据越集中，标准差越小，数据越分散，标准差越大。
7．将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
第一次摸球共有四种可能，第二次摸球有三种可能，故先后不放回摸出两球共有 种不同的结果，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”有两种结果，第一次摸出“孔”第二次摸出“孟”，第一次摸出“孟”第二次摸出“孔”，根据古典概型即可求出概率.
【详解】
第一次摸球共有四种可能，第二次摸球有三种可能，故先后不放回摸出两球共有 种不同的结果，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”有两种结果，第一次摸出“孔”第二次摸出“孟”，第一次摸出“孟”第二次摸出“孔”,所以.故选B.
【点睛】
本题主要考查了排列的应用，古典概型，属于中档题.
8．下列说法正确的是（ ）
A． 袋中有形状、大小、质地完全一样的个红球和个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球
B． 天气预报“明天降水概率”，是指明天有的时间会下雨
C． 某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票张，一定会中奖
D． 连续掷一枚均匀硬币，若次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上
【答案】D
【解析】
【分析】
根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可.
【详解】
A选项，袋中有形状、大小、质地完全一样的个红球和个白球，从中随机抽出一个球，是红球的概率是，故本项错误； B选项, 天气预报“明天降水概率”，是指明天有
的概率会下雨，故本选项错误；C选项，某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票张，可能会中奖，故本选项错误；D选项，连续掷一枚均匀硬币，若次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故本选项正确.故选D.
【点睛】
本题主要考查了概率的意义，属于中档题.
9．程序框图如图所示,若输出的，则输入的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据程序框图，转化为分段函数形式，然后根据分别代入三段函数中计算，排除不满足的情况，即可写出结果.
【详解】
根据程序框图知，程序执行的是分段函数 的求值运算，如果输出，
当时，解得，满足题意，当时满足题意，当时不满足题意，综上的值为或，故选A.
【点睛】
本题主要考查了程序框图，分段函数，属于中档题.
10．质地均匀的骰子六个面分别刻有到的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A． 点数都是偶数 B． 点数的和是奇数
C． 点数的和小于 D． 点数的和小于
【答案】C
【解析】
【分析】
画出树状图，得到36种基本结果，找出各事件发生的结果数，即可得到各事件发生可能性的大小.
【详解】
画出树状图如下：
由图可知共有36种等可能的结果数，其中点数都是偶数的结果数为9，点数的和为奇数的结果数为18，点数和小于13的结果数为36，点数和小于2的结果数为0，所以发生可能性最大的是点数和小于13,故选C.
【点睛】
本题主要考查了树状图，试验的基本结果，属于中档题.
11．在一球内有一棱长为的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
球的半径为,其体积为正方体的体积为1,
则所求概率,应选D。
12．下列说法中，正确的是（ ）
A． 命题“”的逆命题是真命题
B． 已知，则 “”是“”的充分不必要条件
C． 若为假命题，则均为假命题
D． 则事件A与事件B互为对立事件.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据简易逻辑知识及对立事件逐项判断即可.
【详解】
A. “”的逆命题是若则,当时逆命题不成立，故是假命题；
B.当时推不出，所以“”是“”的充分不必要条件错误；
C. 若为假命题，则均为假命题，根据复合命题真假判定知，正确；
D. 因为A，B若不为同一试验中事件，即使，事件A与事件B不是对立事件，所以该选项错误.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了逆命题，充分不必要条件，复合命题，对立事件，属于中档题.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．从编号为的件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是的样本，若编号为的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．
【答案】76
【解析】
试题分析：根据系统抽样的特点，又叫等距离抽样，共有80个产品，抽取5个样品，则可得组距为，又其中有一为28，则与之相邻的为12和46，故所取5个依次为：12，28，44，60，76，即最大的为76．
考点：系统抽样
14．下面茎叶图是甲、乙两人在次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．
【答案】
【解析】
试题分析：由已知中的茎叶图可得
甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，
则甲的平均成绩：（88+89+90+91+92）=90
设污损数字为x
则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X
则乙的平均成绩：（83+83+87+99+90+x）=88．4+，
当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，
当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，
甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为
考点：茎叶图；众数、中位数、平均数
15．执行如图所示的程序框图,如果输入，则输出的为 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据框图可知，该程序实现了对数列 求和的功能，输入时，求.
【详解】
根据框图可知，执行该程序，实现了对数列 求和，
当时，
，
故填.
【点睛】
本题主要考查了程序框图，裂项相消法求和，属于中档题.
16．将一根米长的绳子剪成三段，则由这三段能构成三角形的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】
设剪成的三段为.
则满足条件的构成的区域面积为，若构成三角形则需满足 即,满足该条件的构成的区域面积为，利用几何概型即可求解.
【详解】
设剪成的三段为.
则满足条件的构成的区域面积为，若构成三角形则需满足 即,满足该条件的构成的区域面积为，
所以能构成三角形的概率为，
即绳子剪成三段能构成三角形的概率为.
故填.
【点睛】
本题主要考查了线性规划问题，几何概型，属于中档题.
评卷人
得分
三、解答题
17．写出命题“若，则且”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据四种命题的定义即可写出，逐一判断真假即可.
【详解】
逆命题：若且，则.真命题
否命题：若，则或.真命题
逆否命题：若或，则.真命题
【点睛】
本题主要考查逆命题，否命题，逆否命题及其真假判断，属于中档题.
18．设p：实数x满足，q：实数x满足.
(1)若，且为真，求实数的取值范围；
(2)若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（１）时得 ；：，由为真,得的取值范围；（2）由得可得由是的充分不必要条件,得实数的取值范围．
试题解析： （1）由得,当时,, 即为真时实数的取值范围是.由,得,得,即为真时实数的取值范围是, 若为真, 则真且真,实数的取值范围是.
（2）由得,若是的充分不必要条件,则,且,设,则,
又,则,且,
实数的取值范围是.
考点：充分条件；必要条件；逻辑联结词．
【易错点睛】判断充分、必要条件时应注意的问题：（1）要弄清先后顺序：“的充分不必要条件是”是指能推出，且不能推出；而“是的充分不必要条件”则是指能推出，且不能推出；（2）要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，那么可以通过举出恰当的反例来说明．
19．柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：
x
4
5
7
8
y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为的雾霾天数．
【答案】(1) 散点图见解析.为正相关
(2) .
(3)7.
【解析】
分析：（1）根据表中数据，画出散点图即可；
（2）根据公式，计算线性回归方程的系数即可；
（3）由线性回归方程预测x=9时，y的平均值为7
详解：
(1)散点图如图所示.为正相关.
xiyi＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106.＝＝6,＝＝4,
x＝42＋52＋72＋82＝154,
则＝＝＝1,＝－＝4－6＝－2,
故线性回归方程为＝x＋＝x－2.
(3)由线性回归方程可以预测,燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7.
点睛：
本题考查了统计知识中的画散点图与求线性回归方程的应用问题，解题的关键是求出线性归回方程中的系数，是基础题目．
20．如图，在直三棱柱中,是的中点,与交于点, ,,,.
(1)求证: ;
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】（1）见解析 ； （2）
【解析】
【分析】
（1）由,,，可知,又直三棱柱中，,即可证（2）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系,可求得的坐标，求平面的一个法向量，利用线面角公式即可求出直线与平面所成的角的正弦值.
【详解】
（1）在中，,,
,
又直三棱柱中，，且
（2）如图以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则,
，
设平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，
由 得令，得平面的一个法向量，所以.
故直线与平面所成的角的正弦值为.
【点睛】
本题主要考查了直线与平面垂直的判定，空间直角坐标系，利用平面的法向量求线面角，属于中档题.
21．年年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：
满意度评分
低于
60分
60分
到79分
80分
到89分
不低
于90分
满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意
已知满意度等级为基本满意的有人．
(1)求频率分布于直方图中的值，及评分等级不满意的人数；
(2)在等级为不满意市民中，老年人占，中青年占，现从该等级市民中按年龄分层抽取人了解不满意的原因，并从中选取
人担任整改督导员，求至少有一位老年督导员的概率；
(3)相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由.
【答案】（1）；评分等级不满意的人数为120；（2） ； （3）满意指数为80.7，故判断该项目能通过验收.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图计算即可（2）按年龄分层抽取人，则老年人抽取2人，中青年抽取4人，从6人中选取人担任整改督导员的所有可能情况为种，至少有一位老年督导员的对立事件是抽取的都是中青年，共有种，根据对立事件即可求出（3）根据频率分布直方图计算样本平均值，估计市民满意程度平均值，计算满意指数，即可得出结论.
【详解】
（1）由频率分布直方图知，
由解得，
设总共调查了个人，则基本满意的为，解得人.
不满意的频率为，所以共有人，即不满意的人数为120人.
（2）改等级120个市民中按年龄分层抽取人，则老年人抽取2人，中青年抽取4人，从6人中选取人担任整改督导员的所有可能情况为种,抽不到老年人的情况为种， 所以至少有一位老年督导员的概率.
（3）所选样本满意程度的平均得分为：
，
估计市民满意程度的平均得分为，
所以市民满意指数为，
故该项目能通过验收.
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图，分层抽样，古典概型，对立事件，属于中档题.
22．如图，三棱锥，侧棱，底面三角形为正三角形，边长为，顶点在平面上的射影为，有，且.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）线段上是否存在点使得⊥平面，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）见解析.
【解析】
试题分析：（1）证线面平行，则要在平面找一线与之平行即可，显然分析即得证，（2）求二面角可借助空间直角坐标系将两个平面的法向量一一求出，再根据向量的数量积公式便可求解（3）存在问题可以根据结论反推即可，容易得因为，所以与不垂直，故不存在
试题解析：
（Ⅰ）因为，且，，所以，
所以.
因为为正三角形，所以，
又由已知可知为平面四边形，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（Ⅱ）由点在平面上的射影为可得平面，
所以，.
以分别为建立空间直角坐标系，则由已知可知，，，.
平面的法向量，
设为平面的一个法向量，则
由可得
令，则，所以平面的一个法向量，
所以，
所以二面角的余弦值为.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，，
因为，
所以与不垂直，
所以在线段上不存在点使得⊥平面.
点睛：对于立体几何问题，首先要明确线面平行，线面垂直，以及二面角的定义和判定定理，而对于二面角问题我们通常首选建立坐标系用向量来解题，但在写坐标时要求其注意坐标的准确性