北京市高考数学最新联考试题分类大汇编圆锥曲线试题解析 15页

北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编 一、选择题：‎ ‎6. (2012年3月北京市朝阳区高三一模文科)已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 A． B． C. D. ‎ ‎【答案】A 二、填空题：‎ 于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . ‎ ‎14. (北京市西城区2012年4月高三第一次模拟文)如图，已知抛物线及两点和，其中.过，分别作 ‎（13）(北京市东城区2012年4月高考一模理科)抛物线的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点，且与准线相切的圆共有 个．; ‎ 或 解：（Ⅰ）由△是等腰直角三角形，得，，‎ 故椭圆方程为． 　　　　 …………5分 即． ………10分 所以，整理得 ．‎ 故直线的方程为，即（）．‎ 所以直线过定点（）． ………12分 若直线的斜率不存在，设方程为，‎ 设，，‎ 由已知，‎ 得．此时方程为，显然过点（）．‎ 综上，直线过定点（）． ………13分 ‎【命题分析】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的相交问题等综合问题. 考查学生利用待定系数法和解析法的解题能力. 待定系数法：如果题目给出是何曲线，可根据题目条件，恰当的设出曲线方程，然后借助条件进一步确定求椭圆的标准方程应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考。“定形”是指对称中心在原点，焦点在哪条对称轴上；“定式”是指数关系式，借助均值不等式求取范围.‎ ‎（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距是.依题意，得 . ………………1分 ‎ 因为椭圆的离心率为，‎ 所以，. ………………3分 故椭圆的方程为 . ………………4分 ‎（Ⅱ）解：当轴时，显然. ………………5分 线段的垂直平分线方程为.‎ 在上述方程中令，得. ………………10分 ‎ (19) （2012年4月北京市海淀区高三一模理科）（本小题满分13分）‎ 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为， 为椭圆的上顶点，且.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示.‎ ‎（Ⅱ）设，，，.‎ ‎（ⅰ）证明：由消去得：.‎ 则，‎ 同理 . ………………………………………7分 因为 ,‎ 所以 .‎ 因为 ，‎ 所以 . ………………………………………9分 所以 ‎ ‎.‎ ‎（或）‎ 所以 当时， 四边形的面积取得最大值为. ‎ ‎ ………………………………………13分 ‎（19）（本小题满分14分）‎ 解:（Ⅰ）依题意，由已知得 ，，由已知易得,‎ ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：.‎ 将代入整理化简，得.…6分 依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，，‎ ‎ .…….………………13分 综上得为常数2. .…….………………14分 ‎（Ⅱ）解：设．‎ 将直线的方程代入椭圆的方程，‎ 消去得 ． ……………7分 ‎（19）(北京市东城区2012年4月高考一模理科)（本小题共13分）‎ 已知椭圆：的离心率是，其左、右顶点分别为，，‎ ‎ 解得，． …………4分 ‎ 故所求椭圆方程为． …………5分． …………7分 ‎ 所以，.‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎ ‎ ‎．‎ 所以 ． …………12分 因为是以为直径的圆的半径，为圆心，，‎ 异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：恒为定值.‎ ‎（19）（共13分）‎ ‎.‎ 即. …………7分 又直线的方程为，令，则，‎ 即. …………9分 所以19. (2012年3月北京市丰台区高三一模文科)（本小题共14分） ‎ 已知椭圆C：的离心率为，且经过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设斜率为1的直线l与椭圆C相交于，两点，连接MA，MB并延长交直线x=4于P，Q两点，设yP，yQ分别为点P，Q的纵坐标，且．求△ABM的面积．‎ 则，‎ 消y得 ， ……………………7分 ‎ 所以 ， 即． ……………………10分 所以 ，‎ 所以 ，‎ ‎， ‎ ‎19. (2012年4月北京市房山区高三一模理科（本小题共14分）‎ 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点为，离心率为．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ 直线与椭圆相交，‎ ‎ ，① …………7分 ‎，从而，‎ ‎（1）当时