2017-2018学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版 17页

绝密★启用前 黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知全集，集合，集合，则集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 全集，集合， ，集合，所以，故选A.‎ ‎2．已知复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先代入，再根据复数乘法与除法法则求解.‎ 详解：因为，所以,‎ 选A.‎ 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎3．下列关于命题的说法错误的是（ ）‎ A. 命题“若， ，则”的逆否命题为“若，则”‎ B. “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件 C. 命题“，使得”的否定是：“均有”‎ D. “若为的极值点，则”的逆命题为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】由原命题与逆否命题的构成关系可知答案A是正确的；当时，函数在定义域内是单调递增函数，故答案B也是正确的；由于存在性命题的否定是全称命题，所以命题“，使得”的否定是：“均有”，即答案C是也是正确的；又因为的根不一定是极值点，例如函数，则就不是极值点，也就是说命题“若为的极值点，则”的逆命题是假命题，所以应选答案D。‎ ‎4．若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先根据指数、对数、幂函数的单调性确定三个数所在区间，再比较大小.‎ 详解：因为，‎ 所以,‎ 选C.‎ 点睛：比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小，有时需借助第三量比较大小.‎ ‎5．已知，则“”是“”的 ( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】分析：先解不等式，再根据解集之间包含关系确定充要关系.‎ 详解：因为，所以或 所以“”是“”的既不充分也不必要条件 选D.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒‎ ‎”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎6．函数的图象的对称轴方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据余弦函数对称轴得方程，解得结果.‎ 详解：因为，所以 选C.‎ 点睛：函数的性质 ‎(1).‎ ‎(2)周期 ‎(3)由 求对称轴 ‎(4)由求增区间; ‎ 由求减区间 ‎7．已知且,则的值为 ( )‎ A. B. 7 C. D. -7‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先根据同角三角函数关系求，再根据两角和正切公式求结果.‎ 详解：因为且，所以 所以 选A.‎ 点睛：三角函数求值的三种类型 ‎(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.‎ ‎(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.‎ ‎①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；‎ ‎②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.‎ ‎(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.‎ ‎8．下列函数中，满足“任意， ，且， ”的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】“任意， ，且， ”等价于函数为减函数，四个选项中，只有选项符合.‎ ‎9．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间 上单调递增 B. 在区间 上单调递减 C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.‎ 详解：由函数图象平移变换的性质可知：‎ 将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：‎ ‎.‎ 则函数的单调递增区间满足：，‎ 即，‎ 令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；‎ 函数的单调递减区间满足：，‎ 即，‎ 令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误；‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎10．函数的零点所在的区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先确定函数是连续函数，然后结合函数零点存在定理求解函数零点所在的区间即可.‎ 详解：函数的图像是连续的，且：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由函数零点存在定理可得函数点所在的区间为.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：函数零点的求解与判断：‎ ‎(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．‎ ‎(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．‎ ‎11．已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，当，若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是（ ）‎ A. 0 B. 0或 C. 或 D. 0或 ‎【答案】D ‎【解析】分析：先根据条件得函数周期，结合奇偶性画函数图像，根据函数图像确定满足条件实数的值.‎ 详解：因为，所以周期为2，作图如下：‎ 由图知，直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点时直线 点A(1,1)或与相切，即或 选D.‎ 点睛：‎ 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ ‎12．设定义在上的函数满足任意都有，且时，有，则的大小关系是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，函数满足任意都有，则有，则是周期为的函数，则有 ，设，则导数为，又由时，，则有，则有，则函数在 上为减函数，则有，即，又由 ，则有，变形可得，故选C.‎ ‎【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设命题，，则为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据全称命题的否定得结果.‎ 详解：因为的否定为，‎ 所以为 点睛：对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定 ‎14．若实数满足则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，‎ 平移直线y=3x﹣z,由图象可知当直线y=3x﹣z经过点(0,1)时，直线y=3x﹣z的纵截距-z最大，z最小，的最小值为3×0-1=-1.故填-1.‎ ‎15．若点是函数图象上任意一点，且在点处切线的倾斜角为，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得 ，因为，当且仅当时取等号，所以，因为，所以，所以 ，即的最小值是.‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎16．已知函数定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：‎ ‎①时， ②函数有2个零点 ‎③的解集为 ④,都有其中正确命题为__________.‎ ‎【答案】③ , ④‎ ‎【解析】分析：先根据奇函数性质求时解析式，根据函数确定零点个数以及不等式解集，根据函数最值判断不等式恒成立问题.‎ 详解：因为函数定义在上的奇函数，‎ 所以时，，，‎ 因为当时，，所以，‎ 当时，‎ 当时，‎ 因此当时，，‎ 根据奇函数性质得 ‎，‎ 因为，所以，即函数有0，1，-1三个零点，当时，得-11,所以的解集为，‎ 综上正确命题为③ , ④‎ 点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数在一个周期内的部分对应值如下表：‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求函数的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值，最小值．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据条件列出关于的方程组即可求解；（2）根据（1）以及条件列出关于的方程即可求解．‎ 试题解析：（1）由表格可知，的周期，所以， ‎ 又由，且，所以，所以；（2），‎ 由，所以当 时，有最大值；当时，有最小值．‎ 考点：三角函数综合．‎ ‎18．已知函数的最小正周期为，且图象关于直线对称．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2） 若函数的图象与直线在上只有一个交点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】分析：(1)根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质确定的解析式；(2)先化简，再同一坐标系中作出y＝sin和y＝a的图象，根据图像确定实数的取值范围．‎ 详解：(1) f(x)＝sinωx·cosωx－cos2ωx＋＝sin2ωx－ (1＋cos2ωx)＋＝sin＋1.∵ 函数f(x)的最小正周期为π，∴ ＝π，即ω＝±1，‎ ‎∴ f(x)＝sin＋1.‎ ‎① 当ω＝1时，f(x)＝sin＋1，∴ f＝sin＋1不是函数的最大值或最小值，‎ ‎∴ 其图象不关于x＝对称，舍去．‎ ‎② 当ω＝－1时，f(x)＝－sin＋1，‎ ‎∴ f＝－sin＋1＝0是最小值，‎ ‎∴ 其图象关于x＝对称．‎ 故f(x)的解析式为f(x)＝1－sin.‎ ‎(2) y＝1－f(x)＝sin，在同一坐标系中作出y＝sin和y＝a的图象：‎ 由图可知，直线y＝a在a∈或a＝1时，两曲线只有一个交点，∴ a∈或a＝1.‎ 点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据分段函数图像确定最小值，再解不等式，可得实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）依题意， ‎ 故不等式的解集为. ‎ ‎（2）由（1）可得，当时，取最小值， ‎ 对于恒成立，‎ ‎∴，即， ‎ ‎∴，解之得，‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ ‎20．设椭圆 的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若的面积是面积的2倍，求k的值.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2).‎ ‎【解析】分析：（I）由题意结合几何关系可求得.则椭圆的方程为.‎ ‎（II）设点P的坐标为，点M的坐标为 ，由题意可得.‎ 易知直线的方程为，由方程组可得.由方程组可得.结合，可得，或.经检验的值为.‎ 详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．由,从而．‎ 所以，椭圆的方程为．‎ ‎（II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，‎ 点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，‎ 从而，即．‎ 易知直线的方程为，由方程组消去y，可得 ‎．由方程组消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得，或．‎ 当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意．‎ 所以，的值为．‎ 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：‎ ‎(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；‎ ‎(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．‎ ‎21．已知函数/，其中.‎ ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）)若函数在区间内恰有一个极大值和一个极小值，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再求切线的方程. (2)先求函数在区间内的极大值和极小值，再分析得到实数的取值范围.‎ 详解：（Ⅰ） 当时，，，‎ 所以切线方程为.‎ ‎（Ⅱ）令，则在恰有一个极大值,‎ 和一个极小值可以转化为在有两个变号零点.‎ ‎，‎ ‎，或.‎ 所以g(x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以g(x)在处取到极小值,在处取到极大.‎ 又g(0)=a+1,g(2π)=,‎ 要想使函数恰有两个变号零点，‎ 只需满足 所以.‎ 点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调性和极值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出g(x)在处取到极小值,在处取到极大后，分析出要想使函数恰有两个变号零点，只需满足 ‎22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为，直线与圆相交于，两点．‎ ‎（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）求弦长．‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】分析：(1)先根据加减消元法得直线的普通方程，再根据及得圆的直角坐标方程(2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据参数几何意义以及韦达定理求弦长．‎ 详解：（1）由直线的参数方程消去参数，可得直线的普通方程为，因为圆的极坐标方程为，‎ 即，‎ 所以圆的直角坐标方程为，‎ 即.‎ ‎（2）把代入，得，‎ 即，设方程的两个实根为，则，，‎ 所以，即．‎ 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)‎ 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则 ‎(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).‎ ‎(2)|M1M2|＝|t1－t2|.‎ ‎(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.‎ ‎(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.‎