2018届二轮复习第三讲分类讨论思想课件（全国通用） 34页

第三讲　 分类讨论思想 【 思想解读 】 分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时 , 就需要对研究的对象按某个标准进行分类 , 然后对每一类分别研究 , 给出每一类的结论 , 最终综合各类结果得到整个问题的解答 . 实质上分类讨论就是“化整为零 , 各个击破 , 再集零为整”的数学思想 . 热点 1 　由数学概念、性质、运算引起的分类讨论 【 典例 1】 函数 f(x)= 若 f(1)+f(a)=2 ， 则 a 的所有可能值为 ________. 【 解析 】 f(1 )=e 0 =1 ，即 f(1)=1. 由 f(1)+f(a)=2 ，得 f(a)=1. 当 a≥0 时， f(a)=1=e a-1 ，所以 a=1. 当 -1|PF 2 |, 则 的值为 ________. 【 解析 】 若∠ PF 2 F 1 =90°. 则 |PF 1 | 2 =|PF 2 | 2 +|F 1 F 2 | 2 , 又因为 |PF 1 |+|PF 2 |=6,|F 1 F 2 |=2 , 解得 |PF 1 |= ,|PF 2 |= , 所以 若∠ F 1 PF 2 =90°, 则 |F 1 F 2 | 2 =|PF 1 | 2 +|PF 2 | 2 , 所以 |PF 1 | 2 +(6-|PF 1 |) 2 =20, 所以 |PF 1 |=4,|PF 2 |=2, 所以 =2. 综上知 , 或 2. 答案 : 或 2 【 规律方法 】 图形位置或形状的变化中常见的分类 圆锥曲线形状不确定时 , 常按椭圆、双曲线来分类讨论 , 求圆锥曲线的方程时 , 常按焦点的位置不同来分类讨论 ; 相关计算中 , 涉及图形问题时 , 也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论 . 【 变式训练 】 1. 若函数 f(x)=-x(x-a) 在 x∈[-1,1] 上的最大值为 4, 则 a 的值为 ________. 【 解析 】 函数 f(x)= 的图象的对称轴为 x= , 应分 <-1,-1≤ ≤1 , >1, 即 a<-2,-2≤a≤2 和 a>2 三种情形讨论 . ① 当 a<-2 时 , 由图 (1) 可知 f(x) 在 [-1,1] 上的最大值为 f(-1)=-1-a=-(a+1), 由 -(a+1)=4, 得 a=-5, 满足题意 . ② 当 -2≤a≤2 时 , 由图 (2) 可知 f(x) 在 [-1,1] 上的最大 值为 由 =4, 得 a=±4( 舍去 ). ③ 当 a>2 时 , 由图 (3) 可知 f(x) 在 [-1,1] 上的最大值为 f(1)=a-1, 由 a-1=4, 得 a=5, 满足题意 . 综上可知 ,a=5 或 -5. 答案 : 5 或 -5 2. 设圆锥曲线 T 的两个焦点分别为 F 1 ,F 2 , 若曲线 T 上存在点 P 满足 |PF 1 |∶|F 1 F 2 |∶|PF 2 |=4∶3∶2, 则曲线 T 的离心率为 ________. 【 解析 】 不妨设 |PF 1 |=4t,|F 1 F 2 |=3t,|PF 2 |=2t, 若该圆锥曲线为椭圆 , 则有 |PF 1 |+|PF 2 |=6t=2a>3t, |F 1 F 2 |=3t=2c,e= 若该圆锥曲线是双曲线 , 则有 |PF 1 |-|PF 2 |=2t=2a<3t, |F 1 F 2 |=3t=2c, e= 所以圆锥曲线 T 的离心率为 答案 : 热点 3 　由变量或参数引起的分类讨论 【 典例 3】 已知函数 f(x)=sinx,g(x)=mx- (m 为实数 ). (1) 求曲线 y=f(x) 在点 P 处的切线方程 . (2) 求函数 g(x) 的单调递减区间 . 【 解析 】 (1) 由题意得所求切线的斜率 k= 则切线方程为 即 (2)g′(x)=m- x 2 . ① 当 m≤0 时 ,g′(x)≤0, 则 g(x) 的单调递减区间是 (-∞,+∞); ② 当 m>0 时 , 令 g′(x)<0, 解得 则 g(x) 的单调递减区间是 综上所述 ,m≤0 时 ,g(x) 的单调递减区间是 (-∞,+∞); m>0 时 ,g(x) 的单调递减区间是 【 规律方法 】 1. 几种常见的由参数变化引起的分类讨论 (1) 含有参数的不等式的求解 . (2) 含有参数的方程的求解 . (3) 对于解析式系数是参数的函数 , 求最值与单调性问题 . (4) 二元二次方程表示曲线类型的判定等 . 2. 利用分类讨论思想的注意点 (1) 分类讨论要标准统一 , 层次分明 , 分类要做到“不重不漏” . (2) 分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别 , 再确定每级讨论的对象与标准 , 每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏 . (3) 讨论结果归类合并 , 最后整合时要注意是取交集、并集 , 还是既不取交集也不取并集只是分条列出 . 【 变式训练 】 设函数 f(x)=x 2 -ax+b ，讨论函数 f(sinx) 在 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出 极值 . 【 解析 】 f(sinx)=sin 2 x-asinx+b=sinx(sinx-a)+b ， - 0 ， -2<2sinx<2. ①a≤-2 ， b∈R 时，函数 f(sinx) 单调递增，无极值 . ②a≥2 ， b∈R 时，函数 f(sinx) 单调递减，无极值 . ③ 对于 -2