专题11 综合训练3（第02期）-2017年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列 11页

‎2017届高考数学（理）大题狂练 专题11 综合训练3‎ ‎1.已知等比数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求的值及数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：（1）∵，‎ ‎∴当时，，………………………………1分 当时，，…………………… …………2分 即，…………………………………………………………3分 ‎∵是等比数列，∴，则，得，……………………4分 ‎∴数列的通项公式为.………………………………5分 ‎（2）由（1）得，……………………7分 ‎∴…………………………9分 ‎……………………………………11分 ‎.……………………………………………………12分 考点：利用递推关系求通项；裂项求和.‎ ‎2.为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.‎ 分数 ‎【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 甲班频数 ‎5‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎1‎ 乙班频数 ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎（1）由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 ‎【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 附：‎ 临界值表：‎ ‎【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”；（2）分布列见解析，．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由已知数据能完成列联表，据列联表中的数据，求出，能在犯错概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”；（2）由题意得的可能取值为，分别求出，由此能求出的的分布列及数学期望.‎ 试题解析：（1）‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 ‎9‎ ‎16‎ ‎25‎ 成绩不优良 ‎11‎ ‎4‎ ‎15‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎………………………………………………………………………………………………2分 根据列联表中的数据，得的观测值为，‎ ‎∴能在犯错概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.………………5分 考点：独立性检验；离散型随机变量的期望与方差.‎ ‎3.如图（1），在平行四边形中，，，，，分别为，的中点．现把四边形沿折起，如图（2）所示，连结，，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ 试题解析：（1）取的中点，连接，，，‎ ‎∵在平行四边形中，，，，，分别为，的中点，‎ ‎∴，为正三角形，‎ 则，，‎ 又∵，∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵，，，，分别为，的中点，‎ ‎∴，，，‎ 若，‎ 则，‎ 则三角形为直角三角形，则，‎ 以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 则，，，，‎ 则，则，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则令，则，，‎ 则，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 令，则，，即，‎ 则，‎ 由于二面角是钝二面角，‎ ‎∴二面角的余弦值是．‎ 考点：空间中的垂直关系，二面角.‎ ‎4.已知椭圆：的离心率为，以的四个顶点为顶点的四边形的面积为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设，分别为椭圆的左、右顶点，是直线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，试探究，点是否在以为直径的圆内？证明你的结论．‎ ‎【答案】(1)；(2)点在以为直径的圆内，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)由已知条件的值,再写出椭圆方程；(2)要证明点在以为直径的圆内，只需证明为钝角即可,所以求出坐标,判断的符号得出为锐角，从而为钝角.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的综合问题.‎ ‎5.已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若，求的极值；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的，，都有，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）有极小值，没有极大值；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）将代入函数的表达式，求出的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）对于任意的，有，．所以有恒成立，即，构造函数，利用导数求最大值，只需即可.‎ ‎（Ⅱ），‎ 当时，，∴在上是单调递增函数，最大，………………7分 对于任意的，．‎ 恒成立，即对任意，恒成立，∴，…………9分 令，则．‎ ‎∴当时，，当时，，‎ ‎∴在上是增函数，在上是减函数，‎ 当时，最大值为，…………………………………………………………………11分 ‎∴即．………………………………………………………………………………………12分 考点：函数导数的应用.‎ ‎6.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为为参数), 曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设为曲线上一点，曲线上一点，求的最小值.‎ ‎【答案】(1),；(2).‎ ‎（2）设，则点到曲线的距离为 ‎.当时，有 最小值，所以的最小值为.‎ 考点：参数方程、极坐标方程及其与直角坐标之间的互化关系等有关知识的综合运用．‎ ‎7.设.‎ ‎（1）求的解集；‎ ‎（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围 . ‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）分三种情况讨论分别求解不等式，然后求并集；（2）利用绝对值三角不等式的最大值, 恒成立等价为.去掉绝对值, 求出的范围即可.‎ 试题解析：（1）由得:, 解得的解集为 . ‎ 考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式求最值；3、恒成立等价转化.‎