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- 2021-04-16 发布
第6练 三角函数的概念、三角恒等变换[小题提速练]
[明晰考情] 1.命题角度：三角函数的概念和应用；利用三角恒等变换进行求值或化简.2.题目难度：单独考查概念和三角变换，难度为中低档；三角恒等变换和其他知识交汇命题，难度为中档.
考点一 任意角的三角函数
要点重组 (1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
(2)三角函数：角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0).
(3)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
1.(2018·四川棠湖中学开学考试)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量，则点Q的坐标是( )
A.(－7，－) B. (－7， ) C.(－4，－2) D.(－4，2)
答案 A
解析 因为点O(0，0)，P(6，8)，所以＝(6，8)，
设＝(10cos θ，10sin θ)，则cos θ＝，sin θ＝，
因为向量绕点O按逆时针方向旋转后得到，
设Q(x，y)，则x＝10cos＝10＝－7，
y＝10sin＝10＝－，
所以点Q的坐标为，故选A.
2.若角θ的终边过点P(3，－4)，则tan(θ＋π)等于( )
A. B.－ C. D.－
答案 D
解析 因为角θ的终边过点P(3，－4)，则tan θ＝－，则tan(θ＋π)＝tan θ＝－.
3.已知角θ的终边经过点，若sin θ＝2sin cos ，则实数a等于( )
A.－ B.－
C.± D.±
答案 B
解析 由题意知2sin2－1＝－cos ＝－，
得sin θ＝＝－2sin cos ＝－，且a<0，
解得a＝－.故选B.
4.函数y＝的定义域是__________________.
答案 ，k∈Z
考点二 三角函数的求值与化简
要点重组 (1)同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
(2)诱导公式：角π±α(k∈Z)的三角函数口诀：
奇变偶不变，符号看象限.
(3)和差公式.
方法技巧 (1)三角函数求值化简的基本思路“一角二名三结构”：注意角的变形；看函数名称之间的关系；观察式子的结构特点.
(2)公式的变形使用尤其是二倍角的余弦公式的变形是高考的热点，sin2α＝，cos2α＝.
5.(2018·湖北长望浏宁四县调研)若sin＝，则sin的值为( )
A. B.－ C. D.－
答案 D
解析 ∵sin＝，
∴sin＝cos＝cos＝cos 2
＝1－2sin2＝1－2×＝－.
6.若tan α＝2tan ，则等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 cos＝cos＝cos＝sin，
所以原式＝＝＝＝＝3.
7.若cos＝，sin＝，α∈，β∈，则sin(α＋β)＝_______.
答案
解析 ∵α∈， 且cos>0，∴－<－α<0，∵β∈，∴<＋β<，
又cos＝， sin＝，
∴sin＝－， cos＝，
∴sin(α＋β)＝sin＝sincos－cossin
＝×－×＝.
8.已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，则α＋β＝________.
答案
解析 因为0<β<<α<，
所以<2α<π，－<－β<0，
所以<2α－β<π.
又因为cos(2α－β)＝－，
所以sin(2α－β)＝.
因为0<β<<α<，
所以－<－2β<0，
所以－<α－2β<.
又因为sin(α－2β)＝，
所以cos(α－2β)＝.
所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
＝－×＋×＝.
又因为＜α＋β＜，
所以α＋β＝.
考点三 三角恒等变换的应用
要点重组 辅助角公式：asin α＋bcos α＝·sin(α＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝ .
9.(2016·全国Ⅱ)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 B
解析 由f(x)＝cos 2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，
因为sin x∈[－1，1]，
所以当sin x＝1时函数f(x)取得最大值，最大值为5，故选B.
10.(2018·全国Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|等于( )
A. B. C. D.1
答案 B
解析 由cos 2α＝，得cos2α－sin2α＝，
∴＝，又cos α≠0，∴＝，
∴tan α＝±，
即＝±，
∴|a－b|＝.
故选B.
11.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.
答案 －
解析 f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝.
当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取到最大值，
即当θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)时，函数f(x)取到最大值，
所以cos θ＝－sin φ＝－.
12.函数f(x)＝sin x－cos的值域为________.
答案 [－，]
解析 f(x)＝sin x－cos＝sin x－＝sin x－cos x
＝＝sin∈[－，].
1.(2018·济南模拟)若sin＝，A∈，则sin A的值为( )
A. B. C.或 D.
答案 B
解析 ∵ A∈，∴A＋∈，
∴cos<0，∴cos＝－＝－，
∴sin A＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝.
2.若tan＝，且－＜α＜0，则＝________.
答案 －
解析 由tan＝＝，得tan α＝－.
又－＜α＜0，所以sin α＝－.
故＝＝2sin α＝－.
3.已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ的值为________.
答案 －
解析 ∵sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
∴sin θcos θ＝－，
∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝.
又θ∈(0，π)，∴sin θ＞0，cos θ＜0，
∴sin θ－cos θ＝，
∴sin θ＝，cos θ＝－，
∴tan θ＝－.
解题秘籍 (1)使用平方关系求函数值，要注意角所在的象限和三角函数值的符号.
(2)利用三角函数值求角要解决两个要素：
①角的某一个三角函数值；
②角的范围(尽量缩小).
1.已知点A的坐标为(4，1)，将OA绕坐标原点O按逆时针方向旋转至OB，则点B的纵坐标为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意知|OA|＝|OB|＝7，设射线OA与x轴正方向所成的角为α，
显然sin α＝，cos α＝，
故sin＝sin αcos ＋cos α sin ＝×＋×＝，
故点B的纵坐标为|OB|sin＝.
2.已知P(m，2)为角α的终边上一点，且sin α＝－，则tan α的值为( )
A. B.－ C.1 D.－1
答案 D
解析 由题意知，＝－，
所以故m＝－2，所以tan α＝－1.
3.(2018·全国Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α等于( )
A. B. C.－ D.－
答案 B
解析 ∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.
4.的值是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 原式＝＝＝＝.
5.已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，下列说法错误的是( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.直线x＝是f(x)图象的一条对称轴
C.f(x)在上单调递增
D.|f(x)|的值域是[0，1]
答案 C
解析 f(x)＝cos 2x，f(x)在上不单调，
∴选项C中的结论错误.
6.记a＝sin(cos 2 010°)，b＝sin(sin 2 010°)，c＝cos(sin 2 010°)，d＝cos(cos 2 010°)，则a，b，c，d中最大的是( )
A.a B.b C.c D.d
答案 C
解析 注意到2 010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin 2 010°＝－sin 30°＝－，cos 2 010°＝－cos 30°＝－，因为－＜－＜0，－＜－＜0，0＜＜＜，所以cos ＞cos ＞0，所以a＝sin＝－sin ＜0，b＝sin＝－sin ＜0，c＝cos＝cos ＞d＝cos＝cos ＞0，因此c最大.
7.已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为( )
A. B.－ C. D.－
答案 B
解析 ∵sin α＝＋cos α，
∴sin α－cos α＝.
两边平方，得1－2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝.
∴1＋2sin αcos α＝，
即(sin α＋cos α)2＝.
∵α∈，∴sin α＋cos α＝.
∴＝＝－(sin α＋cos α)＝－.
8.定义2×2矩阵＝a1a4－a2a3，若f(x)＝，则( )
A.f(x)图象关于(π，0)中心对称
B.f(x)图象关于直线x＝对称
C.f(x)在区间上单调递增
D.f(x)是周期为π的奇函数
答案 C
解析 由题中所给定义可知，f(x)＝cos2x－sin2x－cos＝cos 2x＋sin 2x＝2cos.
令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)在区间上单调递增.
9.函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tan θ＝________.
答案 －
解析 因为函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，所以f(0)＝cos θ＋sin θ＝0，得
tan θ＝－.
10.已知sin＝，则cos＝________.
答案 －
解析 因为sin＝sin＝cos＝cos＝，
所以cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－.
11.已知sin＝，则sin－cos的值为________.
答案
解析 sin－cos＝sin－cos
＝－sin＋cos 2＝－sin＋1－2sin2＝－＋1－＝.
12.若α∈，则的最大值为________.
答案
解析 ∵α∈，
∴＝＝，
且tan α>0，
∴＝≤＝，
当且仅当tan α＝，
即tan α＝2(舍负)时，等号成立.
故的最大值为.