2017-2018学年四川省眉山一中高二下学期5月月考数学（理）试题（Word版） 11页

‎2017-2018学年四川省眉山一中高二下学期5月月考 数学理试题 2018.5.28‎ 命题： 审题：‎ 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分）‎ 1. ‎4×5×6×…×n=（　　）‎ A. B. C． D．‎ ‎2.下列命题中正确的为（　　）‎ A．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强 B．线性相关系数r越小，两个变量的线性相关性越弱 C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好 D．残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好 ‎3.曲线y=sinx+ex在点（0，1）处的切线方程是（　　）‎ A．x﹣3y+3=0 B．2x﹣y+1=0 C．x﹣2y+2=0 D．3x﹣y+1=0‎ ‎4.某班有学生60人，现将所有学生按1，2， 3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3, 33, 48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ）‎ A．28 B．23 C．18 D．13‎ ‎5.已知随机变量服从正态分布，若，‎ 则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.下列求导运算正确的是（　　）‎ A． B．（其中e为自然对数的底数）‎ C． D．‎ ‎7.已知函数的导函数为，且满足，则=（　　）‎ A． B．1 C．﹣1 D．﹣‎ 8. 定义在R上的函数f（x）满足f（1）=2，且对任意x∈R都有f′（x）＞3，‎ 则不等式f（x）＞3x﹣1的解集为（　　）‎ A．（1，2） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，1）‎ ‎9.对任意实数x，有，则a2=（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．21‎ ‎10.3男3女共6名同学从左至右排成一排合影，要求最左端排的是男同学，最右端排的是女同学，‎ 且女同学至多有2人排在一起，则不同的排法种数为（　　）‎ A．144 B．160 C．180 D．240‎ 11. 如图所示，OA=1，在以O为圆心，以OA为半径的半圆弧上随机取一点B，‎ 则△AOB的面积小于的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 12. 已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2个正品，每次取出1个，‎ 取出后不放回，直到取出2个正品为止．设ξ为取出的次数，求P（ξ=4）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是，‎ 则f（1）+f′（1）=　 　．‎ ‎14.对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观察数据（xi，yi）（i=1，2，…8），‎ 其回归直线方程是： =2x+a，且x1+x2+x3+…+x8=8，y1+y2+y3+…+y8=16，‎ 则实数a的值是　 　．‎ ‎15.甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，‎ 则甲、乙至多一人击中目标的概率为______ ．‎ 16. 一膄轮船在航行中的燃油费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃油费是 每小时6元。其他与速度无关的费用是每小时96元，则使行驶每公里的费用总和最小时，‎ 该轮船的航行速度为 公里/小时 ‎ 三、解答题（本大题共6道小题,共70分）‎ 17. ‎(本小题10分)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，‎ 求实数b的值；‎ ‎18.(本小题12分)已知函数 ‎（1）若a=1，求f（x）的极值；‎ ‎（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎19.(本小题12分)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为、、．‎ ‎（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值．‎ ‎（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率．‎ ‎20(本小题12分).设函数 ‎（I）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；‎ ‎21(本小题12分).已知函数 ‎（1）求曲线在点处的切线方程，‎ ‎（2）证明：‎ ‎22.(本小题12分)通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：‎ 性别与读营养说明列联表 男 女 总计 读营养说明 ‎16‎ ‎28‎ ‎44‎ 不读营养说明 ‎20‎ ‎8‎ ‎28‎ 总计 ‎36‎ ‎36‎ ‎72‎ （1） 根据以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别 和是否看营养说明有关系呢？‎ （2） 从被询问的28名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到女生人数 的分布列及数学期望.‎ 附：‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ 数学理试题 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎4×5×6×…×n=（　B　）‎ A．A B．A C．A D．（n﹣4）!‎ ‎2.下列命题中正确的为（　D　）‎ A．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强 B．线性相关系数r越小，两个变量的线性相关性越弱 C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好 D．残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好 ‎3.曲线y=sinx+ex在点（0，1）处的切线方程是（ B ）‎ A．x﹣3y+3=0 B．2x﹣y+1=0 C．x﹣2y+2=0 D．3x﹣y+1=0‎ ‎4.某班有学生60人，现将所有学生按1，2， 3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3, 33, 48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ C ）‎ A．28 B．23 C．18 D．13‎ ‎5.已知随机变量服从正态分布，若，‎ 则等于( B )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.下列求导运算正确的是（ B　）‎ A．（3x）′=x•3x﹣1 B．（2ex）′=2ex（其中e为自然对数的底数）‎ C．（x2）′=2x D．（）′=‎ ‎7.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（2）=（　D　）‎ A． B．1 C．﹣1 D．﹣‎ 定义在R上的函数f（x）满足f（1）=2，且对任意x∈R都有f′（x）＞3，‎ 则不等式f（x）＞3x﹣1的解集为（　C　）‎ A．（1，2） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，1）‎ ‎9.对任意实数x，有，则a2=（　B　）‎ A．3 B．6 C．9 D．21‎ ‎10.3男3女共6名同学从左至右排成一排合影，要求最左端排的是男同学，最右端排的是女同学，‎ 且女同学至多有2人排在一起，则不同的排法种数为（　C　）‎ A．144 B．160 C．180 D．240‎ 如图所示，OA=1，在以O为圆心，以OA为半径的半圆弧上随机取一点B，‎ 则△AOB的面积小于的概率为（　A　）‎ A． B． C． D．‎ 已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2个正品，每次取出1个，‎ 取出后不放回，直到取出2个正品为止．设ξ为取出的次数，求P（ξ=4）=（　B　）‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是，‎ 则f（1）+f′（1）=　 　．3‎ ‎14.对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观察数据（xi，yi）（i=1，2，…8），‎ 其回归直线方程是： =2x+a，且x1+x2+x3+…+x8=8，y1+y2+y3+…+y8=16，‎ 则实数a的值是　 　．0‎ ‎15.甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，‎ 则甲、乙至多一人击中目标的概率为______ ．0.58‎ 一膄轮船在航行中的燃油费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃油费是 每小时6元。其他与速度无关的费用是每小时96元，则使行驶每公里的费用总和最小时，‎ 该轮船的航行速度为 公里/小时 20 ‎ 三、解答题（本大题共6道小题,共70分）‎ ‎(本小题10分)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，‎ 求实数b的值；‎ 解：设与和的切点分别为 由导数的几何意义可得，得 由切点也在各自的曲线上，可得，‎ 联立上述式子解得.‎ ‎18.(本小题12分)已知函数 ‎（1）若a=1，求f（x）的极值；‎ ‎（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．‎ 解：（1）a=1时，f（x）=x﹣lnx，函数f（x）的定义域是（0，+∞），‎ f′（x）=1﹣=，令f′（x）＞0，解得x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，‎ f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故f（x）的极小值是f（1）=1，无极大值；‎ 存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，等价于[f（x）﹣g（x）]min＜0，‎ ‎（x∈[1，e]）成立，设h（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣alnx+，‎ 则h′（x）=，令h′（x）=0，解得：x=﹣1（舍），x=1+a；‎ ‎①当1+a≥e，h（x）在[1，e]递减，∴h（x）min=h（e）=e2﹣ea+1+a，‎ 令h（x）min＜0，解得：a＞；‎ ‎②当1+a＜e时，h（x）在（1，a+1）递减，在（a+1，e）递增，‎ ‎∴h（x）min=h（1+a）=a[1﹣ln（a+1）]+2＞2与h（x）min＜0矛盾，‎ 综上，a＞．‎ ‎19.(本小题12分)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为、、．‎ ‎（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值．‎ ‎（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率．‎ 解：（）取，，，，，,，．‎ 的分布列为：‎ 均值．‎ ‎（）设甲遇到个红灯，乙不遇到红灯为事件，，‎ 设甲不遇到红灯，乙遇到个红灯为事件，，‎ ‎．‎ ‎20(本小题12分).设函数 ‎（I）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；‎ 解：（1）由得，‎ 所以曲线在点处的切线方程为 ‎（II）当时，，所以．‎ 令，得，解得或．‎ 与在区间上的情况如下：‎ ‎0 ‎0 当且时，存在，，，使．‎ 由的单调性知，当且仅当时，函数 有三个不同零点．‎ ‎21.已知函数 ‎（1）求曲线在点处的切线方程，‎ ‎（2）证明：‎ ‎（1）解：由题意又切点为，‎ 切线方程为即 ‎（2）证明：设函数所以 令则 由得且时时，‎ 时，时 当时 ‎22.(本小题12分)通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：‎ 性别与读营养说明列联表 男 女 总计 读营养说明 ‎16‎ ‎28‎ ‎44‎ 不读营养说明 ‎20‎ ‎8‎ ‎28‎ 总计 ‎36‎ ‎36‎ ‎72‎ 根据以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别 和是否看营养说明有关系呢？‎ 从被询问的28名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到女生人数 的分布列及数学期望.‎ 附：‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解：（1）由计算可得的观测值为．‎ 因为，而,‎ 所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“性别与读营养说明之间有关系”.‎ ‎（2）的取值为0，1，2.‎ ‎，，.‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 的数学期望为. ‎