2020届高三数学4月月考试题 文 10页

安徽省蚌埠市第二中学2019届高三数学4月月考试题 文 ‎（试卷分值：150分 考试时间：120分钟 ）‎ 注意事项： ‎ 第Ⅰ卷所有选择题的答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置、第Ⅱ卷的答案必须用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡的相应位置上，否则不予计分。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1. 已知集合，，则集合 A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知向量，，若，则 A. B. C. D. ‎ ‎3. 已知复数满足：，其中是虚数单位，则的共轭复数为 A. B. C. D. ‎ ‎4. 从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎5. 以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6. 我国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？”意思是：现在有粟米250斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为5丈4尺，则谷堆的高为多少？（注：1斛≈1.62立方尺，取3）若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径为 A. 5尺 B. 9尺 C. 10.6尺 D. 21.2尺 ‎7. 设等差数列的前10项和为20，且，则的公差为 A.1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎8. 函数的部分图象如图所示，给出以下结论：‎ - 10 -‎ ‎ ①的最小正周期为2； ②的一条对称轴为；‎ ‎③在上单调递减； ④的最大值为.‎ ‎ 其中正确的结论个数为 A.1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎9. 执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的的值为 A. 7 B. 20 C. 22 D. 54‎ ‎10. 已知，若，则的解集为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为 - 10 -‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 定义在上的函数满足，是的导函数，且，若，且，则有 A. B. C. D. 无法确定 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) ‎ ‎13. 已知等比数列的各项均为正数，是其前项和，且满足，，则 .‎ ‎14. 曲线在点处的切线为，则上的点与圆上的点之间的最短距离为 .‎ ‎15. 已知实数，满足约束条件，则的最小值为 .‎ ‎16. 已知双曲线：的左，右顶点分别为，，点为双曲线的左焦点，过点作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，其中点在第二象限，连接交轴于点，连接交于点，若，则双曲线的离心率为 .‎ 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎（一）必考题：（每小题12分，共60分.）‎ ‎17. 如图所示，在四边形中，，且，，.‎ - 10 -‎ ‎（1）求的面积；‎ ‎（2）若，求的长.‎ ‎18. 如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，，点在线段上，且，，平面.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）当四棱锥的体积最大时，求四棱锥的表面积.‎ ‎19. 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，进行分组，已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，则得到体育成绩的折线图如下：‎ ‎（1）若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，是估计该校高一年级学生“体育良好”的人数；‎ ‎（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求所抽取的2名学生中，至少有1人为“体育良好”的概率；‎ ‎ （3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，，，且，，‎ - 10 -‎ ‎，当三人的体育成绩方差最小时，写出，，的值（不要求证明）.‎ ‎ 注：，其中.‎ ‎20. 已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率为，直线与椭圆的两个交点间的距离为.‎ ‎ （1）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （2）如图，过，作两条平行线，与椭圆的上半部分分别交于，两点，求四边形面积的最大值.‎ ‎21. 函数，.‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）若，证明：当时，.‎ ‎（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分）‎ ‎22. 【选修4—4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的极坐标方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，与 的交点为，，求的面积.‎ ‎23. 【选修4—5：不等式选讲】‎ - 10 -‎ ‎ 已知函数.‎ ‎ （1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若的图象与直线围成的图形的面积不小于14，求实数的取值范围.‎ - 10 -‎ 参考答案 一、选择题 ‎1. C 2. A 3. B 4. C 5. D 6. D 7. B 8. A 9. B 10. D 11. C 12. A 二、填空题 ‎13. 30 14. 15. 2 16. 5 ‎ 三、解答题 ‎17.（）∵， ，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴的面积．‎ ‎（）∵在中， ， ， ，‎ ‎∴由余弦定理可得，‎ ‎∴，在中， ， ， ，‎ ‎∴由余弦定理可得， 即，‎ 化简得，解得．故的长为．‎ ‎18.（1）由可得，易得四边形是矩形，∴，‎ 又平面， 平面，∴，‎ 又， 平面，∴平面，‎ 又平面，∴平面平面 ‎（2）四棱锥的体积为 ，‎ 要使四棱锥的体积取最大值，只需取得最大值.‎ 由条件可得，∴，即，‎ 当且仅当时， 取得最大值36.‎ - 10 -‎ ‎， ， ，‎ ‎ ，则，‎ ‎∴，‎ 则四棱锥的表面积为 ‎ .‎ ‎19.（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生有30人，1000人 ‎（Ⅱ）设“至少有1人体育良好”为事件，总共有10种组合，则.‎ ‎（Ⅲ）当数据的方差最小时, 或.‎ ‎20.（1）易知椭圆过点，所以， ① 又，② ，③ ‎ 联立①②③得，， 所以椭圆的方程为. ‎ ‎（2）设直线，它与的另一个交点为.设 ‎ 与联立，消去，得， .‎ 此时：， . ‎ 又到的距离为， 所以. ‎ 令，则，所以当时，最大值为3.‎ 又 所以四边形面积的最大值为3。‎ - 10 -‎ ‎21.（1）函数的定义域为， ，‎ 由得， 得，所以函数在单调递减，‎ 在上单调递增，所以函数只有极小值.‎ ‎（2）不等式等价于，由（1）得： .‎ 所以，，所以 . ‎ 令，则，‎ 当时， ，所以在上为减函数，‎ 因此， ，‎ 因为，所以，当时， ，所以，而，所以.‎ 四、选做题 ‎22.（1）因为圆的普通方程为，‎ 把， 代入方程得.‎ 所以的极坐标方程为，‎ 的平面直角坐标系方程为.‎ ‎（2）分别将， 代入，得， .‎ 则的面积为.‎ ‎23.（Ⅰ） ‎ - 10 -‎ 则不等式 解得故不等式的解集为 ‎ ‎（Ⅱ）作出函数的图象，如图.‎ 若的图象与直线围成的图形是三角形，则当时，△ABC的面积取得最大值，‎ 的图象与直线围成图形的面积不小于14，该图形一定是四边形，即 ‎ ‎△ABC的面积是6， 的面积不小于8. ‎ 又 故实数的取值范围是 - 10 -‎