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- 2021-04-16 发布
石家庄市第一中学
2017—2018学年度第二学期期中考试高二年级文科数学试题
命题人：周燕 审核人：苏捧然
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是
A．总体 B．个体 C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本
3．下列各式的运算结果为纯虚数的是
A． B． C． D．
4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
5．分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为
A． B． C． D．
6．已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为
，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为
A． B． C． D．
7．设x，y满足则z＝x＋y
A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值
8．执行如图的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，
则输出x，y的值满足
A．y＝2x B．y＝3x
C．y＝4x D．y＝5x
9．设函数，其中.
若且的最小正周期大于，则
A． B．
C． D．
10．一个几何体的三视图(单位：cm) 如图所示，则该几何体的表面积是
A． B．
C． D．
11．已知动点在椭圆上，若点的
坐标为，点满足，
则的最小值是
A． B． C． D．
12．已知函数与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知点，向量，则向量 ．
14．已知直线经过点，则的最小值为 ．
15．在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB=6，BC=8，
AA1=3，则V的最大值是 ．
16．已知函数，若，则实数的
取值范围是 ．
三、解答题：本题共6小题，共70分．
17．(本小题满分12分) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
2cosC(acosB＋bcosA)＝c.
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
18．（本小题满分12分）某学校高一年级共有20个班，为参加全市的钢琴比赛，调查了各班中会弹钢琴的人数，并以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，作出如下频率分布直方图.
（Ⅰ）由频率分布直方图估计各班中会弹钢琴的人数的平均值；
（Ⅱ）若会弹钢琴的人数为[35，40]的
班级作为第一备选班级，会弹钢琴的人
数为[30，35)的班级作为第二备选班级，
现要从这两类备选班级中选出两个班参加市里的钢琴比赛，求这两类备选班级中均有班级被选中的概率.
19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，
PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．
A
B
C
D
M
图1
A
B
C
D
M
图2
A
B
C
D
M
图1
A
B
C
D
M
图2
A
B
C
D
M
图1
A
B
C
D
M
图2
A
B
C
D
M
图1
A
B
C
D
M
图2
20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）以曲线C上的点为切点做曲线的切线，设分别与、轴交于两点，且恰与以定点为圆心的圆相切.当圆的面积最小时，求△与△面积的比．
21．（本小题满分12分）已知函数，其中，
（Ⅰ）若，求函数的图像在点处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，都有恒成立，求的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），再以原点为极点，以正半轴为极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆的方程为.
（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的值.
23．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的定义域；
（Ⅱ）当函数的定义域为时，求实数的取值范围．
文科数学试题答案
1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．B 8．C 9．A 10．C 11．C 12．A
13． 14． 15． 16．
17．解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，
2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.
可得cosC＝，因为，所以C＝.
（Ⅱ）由已知S△ABC＝absinC＝，又C＝，所以ab＝6，
由已知及余弦定理得a2＋b2-2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，
所以a＋b＝5.所以△ABC的周长为5＋.
18．解：（Ⅰ）设各班中会弹钢琴的人数的平均值为，由频率分布直方图知，
所以各班中会弹钢琴的人数的平均值为22.
（Ⅱ）由频率分布直方图知，第一备选班级为2个，记为；第二备选班级为3个，
记为.
要从这两类备选班级中选出两个班参加市里的钢琴比赛，
基本事件总数有10种，分别为：
，，，，，，，，，
这两类备选班级中均有班级被选中包含的基本事件有6种，分别为：
，，，，，，
所以，这两类备选班级中均有班级被选中的概率为.
19．（Ⅰ）证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC．
又因为平面ABC，所以PA⊥BD．
（II）解：因为平面，平面平面，所以.
因为为的中点，所以，.
由（I）知，平面ABC，所以平面ABC，
所以三棱锥的体积.
20．解：（Ⅰ）由题意得，
点到直线的距离等于它到定点的距离，
点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，
点的轨迹的方程为
（Ⅱ）解法一：由题意知切线的斜率必然存在，设为，则
．
由 ，得，即
由，得到． ∴，
解法二：由，当时，，
以为切点的切线的斜率为
以为切点的切线为
即，整理
令则，，令则，
点到切线的距离
(当且仅当时，取等号)．
∴ 当时，满足题意的圆的面积最小．
∴，．
，
．
∴． △与△面积之比为．
21．解：（Ⅰ）当时，，当时，，
，所以所求切线方程为：
（Ⅱ）首先，令其为，则
1） 当即时，单调递减，即单调递减，
，单调递减，，所以成立；
2） 当时，解得：，当时，
单调递增，即单调递增，
，单调递增，，所以不成立．
综上所述：．
22．解：（Ⅰ）由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程为．
（Ⅱ）直线的普通方程为，点在直线上，
过点的直线的参数方程为（为参数），
代入圆方程得： ．设对应的参数分别为，
因为，则， ．
于是．
23．解：（Ⅰ）当时，要使函数有意义，
有不等式①成立，
当时，不等式①等价于，即，；
当时，不等式①等价于，无解；
当时，不等式①等价于，即，；
综上，函数的定义域为.
（Ⅱ）∵函数的定义域为，∴不等式恒成立，
∴只要即可，
又∵（当且仅当时取等号）
即. 的取值范围是.