2020学年高二数学上学期月考试题 文（含解析） 18页

- 1 - 2019 学年安徽省合肥市第一中学高二上学期段一考试 （月考）文数试题 一、选择题：共 12 题 1. 将直角三角形绕它的一个直角边所在的直线旋转一周,形成的几何体一定是 A. 圆锥 B. 圆柱 C. 圆台 D. 以上均不正确 【答案】A 【解析】由棱锥的定义可知： 将直角三角形绕它的一个直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体一定是圆锥. 本题选择 A 选项. 2. 由斜二测画法得到: ①相等的线段和角在直观图中仍然相等; ②正方形在直观图中是矩形; ③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形; ④平行四边形的直观图仍然是平行四边形. 上述结论正确的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】逐一考查所给的说法： ①相等的线段平行时在直观图中仍然相等，原说法错误； ②正方形在直观图中是平行四边形，不是矩形，原说法错误； ③等腰三角形在直观图中不是等腰三角形，原说法错误； ④平行四边形的直观图仍然是平行四边形，原说法正确． 综上可得上述结论正确的个数是 1 个. 本题选择 B 选项. 3. 下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能 得出 的图形的序号是 - 2 - A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】本题考查空间线面的平行关系.对于①,根据正方体的概念可知,以 AB 为对角线的对 角面与平面 MNP 平行,故 平面 ,即①正确;②③中,直线 AB 与平面 MNP 都相交;对于④, 易得 AB∥NP,故 平面 .所以,能得到 平面 的序号是①④. 故答案为：B。 4. 在正方体 中,异面直线 与 所成的角为 A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】C 【解析】如图所示，由正方体的性质可知 ， 则异面直线 与 所成的角即 ， 结合正方体的性质可知 ， 综上可得异面直线 与 所成的角为 45°. 本题选择 C 选项. 点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问 - 3 - 题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两 条异面直线所成的角． 5. 如图,在四面体中,若直线 和 相交,则它们的交点一定 A. 在直线 上 B. 在直线 上 C. 在直线 上 D. 都不对 【答案】A 【解析】依题意有：由于交点在 上，故在平面 上，同理由于交点在 上，故在平面 上，故交点在这两个平面的交线 上. 6. 在正方体 中, 为棱 的中点,则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意结合射影定理逐一考查所给选项： 在平面 上的射影为 ，若 ，则 ，该结论明显不成立，选出 A 错误； 在平面 上的射影为 ，若 ，则 ，该结论明显不成立，选出 B 错误； 在平面 上的射影为 ，若 ，则 ，该结论明显不成立，选出 C 错误； 在平面 上的射影为 ，若 ，则 ，该结论明显成立，选出 D 正 确； 本题选择 D 选项. - 4 - 7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广 三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的 屋脊状的锲体，下底面宽 丈，长 丈，上棱长 丈，高 2 丈，问：它的体积是多少？”已知 丈为 尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为 A. 立方尺 B. 立方尺 C. 立方尺 D. 立方尺 【答案】A 【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所 示： 沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直， 则将几何体分成两个四棱锥和 1 个直三棱柱， 则三棱柱的 - 5 - 四棱锥的体积 由三视图可知两个四棱锥大小相等， 立方丈 立方尺． 故选 A． 【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与 计算是解题的关键． 8. 设 是两条不同的直线, 是一个平面,则下列命题正确的是 A. 若 ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，对于 A 中，若 ， ，则 可能在 内，所以错误；B 中， 若 ， ，根据线面垂直的性质定理以及平行线的性质，可得 ，所以正确；C 中，若 ， ，则 与 平行或异面，所以错误；D 中，若 ， ，则 与 平行、相交或异面，所 以错误，故选 B. 考点：线面位置关系的判定. 9. 在棱长为 1 的正方体 中, 是棱 的中点, 是侧面 内(包括边)的 动点,且 平面 ,沿 运动,将 点所在的几何体削去,则剩余几何体的体积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图所示，分别取 B1B、B1C1 的中点 M、N，连接 AM、MN、AN， - 6 - 则∵A1M∥D1E,A1M⊄平面 D1AE,D1E⊂平面 D1AE,∴A1M∥平面 D1AE. 同理可得 MN∥平面 D1AE， ∵A1M、MN 是平面 A1MN 内的相交直线,∴平面 A1MN∥平面 D1AE， 由此结合 A1F∥平面 D1AE,可得直线 A1F⊂平面 A1MN，即点 F 的轨迹是线段 MN， ∴ ， ∴将 B1 点所在的几何体削去,剩余几何体的体积为 ， 本题选择 B 选项. 10. 在空间四边形 中, 分别为 上的点,且 ,又 分别是 的中点,则 A. 平面 ,且四边形 是平行四边形 B. 平面 ,且四边形 是平行四边形 C. 平面 ,且四边形 是梯形 D. 平面 ,且四边形 是梯形 【答案】C 【解析】如图,由条件知, , , ,且 ; 且 = ; 四边形 EFGH 为梯形; , 平面 BCD, 平面 BCD; 平面 BCD;若 平面 ADC,则 ,显然 EH 不平行 FG; - 7 - 不平行平面 ADC; 选项 C 正确. 点睛：这个题目主要考查了线面平行的判定方法；对于线面平行的证法，一般是转化为线线 平行；常见方法有：构造三角形中位线，构造平行四边形等方法证明线线平行，从而得到线 面平行。 11. 如图,若 是长方体 被平面 截去几何体 后得到的几何体, 其中 为线段 上异于 的点, 为线段 上异于 的点,且 ,则下列结论中不正确 的是 A. B. 四边形 是矩形 C. 是棱柱 D. 四边形 可能为梯形 【答案】D 【解析】根据题意，有 ，根据线面平行的判定定理，可知 EH∥平面 ， 根据线面平行的性质定理，可知 ，所以 A 对， 根据长方体的性质，可知 EH⊥EF，所以 B 对， 因为长方体是棱柱，所以 C 对， 因为 EH 与 FG 平行且相等，所以对应的四边形是平行四边形，故 D 是错误的，故选 D. 本题选择 D 选项. 点睛：空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可 采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面 平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决． 12. 已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点.若三棱锥 O-ABC 体积的 最大值为 36,则球 O 的表面积为 A. 36π B. 64π C. 144π D. 256π 【答案】C - 8 - 【解析】如图所示，当点 C 位于垂直于面 的直径端点时，三棱锥 的体积最大，设 球 的半径为 ，此时 ，故 ，则球 的表面积为 ，故选 C． 考点：外接球表面积和椎体的体积． 视频 二、填空题：共 4 题 13. 一个圆台上、下底面的半径分别为 和 ,若两底面圆心的连线长为 ,则这个圆台 的表面积为_________ . 【答案】 【解析】由题意可得，圆台的母线长为： ， 据此可得圆台的侧面积为： ， 上底面的面积为： ， 下底面的面积为： ， 据此可得，圆台的表面积为： . 14. 设平面 平面 ,直线 与 交于点 ,则 _________. 【答案】9 【解析】根据题意做出如下图形： - 9 - ∵AB，CD 交于 S 点 ∴三点确定一平面，所以设 ASC 平面为 n，于是有 n 交 α 于 AC，交 β 于 DB， ∵α，β 平行， ∴AC∥DB， ∴△ASC∽△DSB， ∴ ， ∵AS=8，BS=6，CS=12， ∴ ， ∴SD=9. 故答案为：9. 15. 由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为___. 【答案】2+ 【解析】由长方体长为 2,宽为 1,高为 1,则长方体的体积 V1=2×1×1=2， 圆柱的底面半径为 1,高为 1,则圆柱的体积 V2= ×π×12×1= ， 则该几何体的体积 V=V1+2V2= ， - 10 - 故答案为： 点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地 面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然 后再根据三视图进行调整. 16. 如图,在四面体 中, 与 所成的角为 60°,点 分别在棱 上,若直线 都平行于平面 ,则四边形 面积的最大值是 _________. 【答案】 【解析】∵直线 AB 平行于平面 EFGH，且平面 ABC 交平面 EFGH 于 HG， ∴HG∥AB； 同理：EF∥AB,FG∥CD,EH∥CD，所以：FG∥EH,EF∥HG. 故四边形 EFGH 为平行四边形。 结合 AB=CD 可知四边形 EFGH 为菱形，且∠GHE=60°. 设 BF:BD=BG:BC=FG:CD=x,(0⩽x⩽1)则： FG=2x,HG=2(1−x)， 菱形的面积为： ， 结合函数的定义域和二次函数的性质可知， 当 时，四边形的面积取得最大值 . 三、解答题：共 6 题 17. 如图,已知四棱锥 中,底面 为菱形, 分别是 的中点, 在 上,且 . - 11 - 【答案】见解析 解析： 在平面 内,连接 并延长交 于点 ,则有 , 在平面 内,连接 并延长交 于点 ． 取 中点 ,连接 , 则由 可知 ． ∵点 为 的中点, ∴在 中有 ,即 , ∴在 中有 , ∴点 与点 重合,即 与 相交于点 , ∴ 四点共面． 18.某种“笼具”由内,外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和圆柱,其中圆柱与 圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面,制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不 计,已知圆柱的底面周长为 ,高为 ,圆锥的母线长为 . - 12 - (1)求这种“笼具”的体积; (2)现要使用一种纱网材料制作 50 个“笼具”,该材料的造价为每平方米 8 元,共需多少元? 【答案】（1） )；（2）制造 50 个“笼具”的总造价为 元. 【解析】试题分析： (1)“笼具”抽象为一个圆柱减去一个圆锥的组合体，据此结合体积公式可求得其体积为 . (2)结合题意首先求得一个“笼具”的表面积为 ，然后结合题意计算可得制作 50 个“ 笼具”，共需 元. 试题解析： 设圆柱的底面半径为 ，高为 ，圆锥的母线长为 ，高为 ， 根据题意可知 （1） ，∴ （ ）， （ ）， 所以“笼具”的体积 （ ）. （2）圆柱的侧面积 ， 圆柱的底面积 ， 圆锥的侧面积 ， 所以“笼具”的表面积 ， 故造 50 个“笼具”的总造价： 元. 答：这种“笼具”的体积为 ；制造 50 个“笼具”的总造价为 元. - 13 - 19. 如图,四边形 与 均为平行四边形, 分别是 的中点. (1)求证: 平面 ; (2)求证:平面 平面 . 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】试题分析： (1)第一问考查线面平行的证明，利用三角形中位线的性质构造平行线 ,再利用线面平行的判定定理即可证明结论;(2)把面面平行转化为线线平行 ,再 构造三角形的中位线 ，即可得出结论. 解析： (1)如图,连接 ,则 必过 与 的交点 , 连接 ,则 为 的中位线, 所以 , 又 平面 平面 , 所以 平面 . (2)因为 分别为平行四边形 的边 的中点, 所以 , 又 平面 平面 , 所以 平面 . 又 为 中点, 所以 为 的中位线,所以 , 又 平面 平面 , 所以 平面 , 又 与 为平面 内的两条相交直线, 所以平面 平面 . 20. 在如图所示的几何体中, 是 的中点, . - 14 - (1)已知 .求证: ; (2)已知 分别是 和 的中点.求证: 平面 . 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【解析】试题分析：本题主要考查线面平行与垂直的证明.(1)把问题转化为证明线面垂直,再 利用线面垂直的判定定理证明 平面 ，又因为 平面 故, 即可;(2)构 造平面 ,只需证明平面 平面 ，由面面平行的性质得到线面平行. 解析： (1)因 , 所以 与 确定一个平面,连接 , 因为 为 的中点, 所以 , 同理可得 , 又因为 , 所以 平面 , 又因为 平面 , . (2)设 的中点为 ,连 , 在 中, 是 的中点,所以 , 又 ,所以 ; - 15 - 在 中, 是 的中点,所以 , 又 ,所以平面 平面 , 因为 平面 ,所以 平面 . 点睛：这个题目考查了线线垂直的证明，线面平行的证明方法。对于线面平行的证法，一般 是转化为线线平行；常见方法有：构造三角形中位线，构造平行四边形等方法证明线线平行， 从而得到线面平行。对于线线垂直，判定方法可以有：先证线面垂直，或者将异面直线平移 到同一平面证明线线角为九十度；或者建系计算两直线的方向向量互相垂直即可。 21. 如图,四棱锥 中, 为 的中点, 平面 ,底面 为梯形, ,且 与 均为正三角形, 为 重心. (1)求证: 平面 ; (2)求三棱锥 的体积. 【答案】（1）见解析；（2）体积为 . .............................. 解析： (1)连 交 于 ,连接 ． 由梯形 ,且 , 知 又 为 的中点,且 , 为 的重心, - 16 - ∴ 在 中, , 故 ． 又 平面 平面 , ∴ 平面 ． (2)∵ 平面 ,且 , 又由(1)知 平面 , ∴ = = = , 又由梯形 , 且 = = , 知 = = 又 为正三角形, 得 , ∴ = = , 得 = = , ∴三棱锥 的体积为 ． 22. 如图,四边形 中, = = = 分别在 上, ,现将 四边形 沿 折起,使 . (1)若 ,在折叠后的线段 上是否存在一点 ,使得 平面 ?若存在,求出 的值; 若不存在,说明理由; (2)求三棱锥 的体积的最大值,并求出此时点 到平面 的距离. 【答案】（1）见解析；（2）点 到平面 的距离为 . - 17 - 【解析】试题分析：本题考查空间线面关系的判定与证明、体积公式的应用.(1)把 平面 转化为线线平行,再利用线线平行的性质即可得出结论,也可以先分析出结论,再进行证 明;(2)先根据题意得到 = = ， 时，体积有最大值，此时 可得到 = ，再利用三棱锥体积公式,利用等体积的方法借助转换顶点 的方法求出三棱锥的高即可. 解析： (1) 上存在一点 ,使得 平面 , 此时 . 理由如下: 当 时, , 过点 作 交 于点 ,连结 , 则有 = = , ∵ ,可得 , 故 , 又 , 故有 , 故四边形 为平行四边形, ∴ , 又∴ 平面 平面 , 故有∴ 平面 成立. (2)设 , ∴ = = , 故 = = , ∴当 时, 有最大值,且最大值为 3, 此时 = , 在 中,由余弦定理得 - 18 - = = = , ∴ = , = = , 设点 到平面 的距离为 , 由于 , 即 = , ∴ = ,即点 到平面 的距离为 . 点睛：这个题目考查了线面平行的证明和判定性质，棱锥体积的求法；对于线面平行的证法， 一般是转化为线线平行；常见方法有：构造三角形中位线，构造平行四边形等方法证明线线 平行，从而得到线面平行。求棱锥体积时当原椎体的底面积或者高不好求时，可以考虑等体 积转化，求点面距时，也经常考虑等体积转化。