- 627.50 KB
- 2021-04-16 发布
玉溪一中 2018 届高三第四次月考试题
文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题（本小题 12 小题，每小题 5 分，计 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，）
1.已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则 A∪B 等于( )
A． {1} B． {1,2} C． {0,1,2,3} D． {－1,0,1,2,3}
2.设 x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A． 充要条件 B． 充分而不必要条件
C． 必要而不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
3.已知集合 A={1，2，3}，集合 B={4，5}，映射 f：A→B，且满足 1 对应的元素是 4，则这
样的映射有（ ）
A． 2 个 B． 4 个 C． 8 个 D． 9 个
4.设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a 等于( )
A． －3 B． －2 C． 2 D． 3
5.对于函数 f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若存在实数 m 使得 f(m)<0 成立，则一定有( )
A．f(m－1)<0 且 f(m＋1)<0 B．f(m－1)<0 且 f(m＋1)>0
C．f(m－1)>0 且 f(m＋1)<0 D．f(m－1)>0 且 f(m＋1)>0
6.已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A． 1 B． 4 C． 1 或 4 D． 2 或 4
7．已知点 A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量 在 方向上的投影为( )
A． B． C． D．
8.若实数 满足 ，则 的最小值为( )
A． B． 2 C． D． 4
9.已知直线 与抛物线 相交于 两点， 为 的焦点，若
，则 =（ ）
A． B． C． D．
10.设 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有下列四个命题：
①若 m
⊂
β，α⊥β，则 m⊥α；
②若α∥β，m
⊂
α，则 m∥β；
③若 n⊥α，n⊥β，m⊥α，则 m⊥β；
④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则 m⊥β.
其中正确命题的序号是( )
A．①③ B．①② C．③④ D．②③
11.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x<0 时，f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)>0，
且 g(－3)＝0，则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( )．
A．(－3，0)∪(3，＋∞) B． (－3，0)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D． (－∞，－3)∪(0，3)
12.由直线 y＝x＋1 上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1 引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B． C． D．3
第Ⅱ卷[][]
本卷包括必考和选考题两部分，第 13 题—第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答.
第 22 题—第 23 题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分）
13.若 a＝log43，则 2a＋2－a＝________.
14.半径为 a 的球放在墙角，同时与两墙面及地面相切，两墙面互相垂直，则球面上的点到
墙角顶点的最短距离是________.
15.椭圆 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程是________．
16.已知 a，b，c 分别是△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 a=1，b= ，A+C=2B，则
sinA=.________．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共 70 分）
17.(本小题 12 分)等差数列{ }中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{ }的通项公式；
(2)设 ，求数列{ }的前 10 项和，其中[x]表示不超过 x 的最大整数，如[0.9]＝0，
[2.6]＝2.
18.(本小题 12 分)如图所示，已知点 P 在正方体 ABCDA′B′C′D′的对角线 BD′上，且直
线 DP 过正方形 的中心，
(1)求证：AC
(2) 求 DP 与 CC′所成角的正切值；
19.(本小题 12 分)
(1)若 ， 求直线 与圆 有交点的概率。
(2)甲，乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达
是等可能的．如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 小时，求它们中的任何一条船不需要等待码
头空出的概率；
20.(本题 12 分)已知椭圆 C： 的离心率为 ，点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)直线 不过原点 且不平行于坐标轴，l 与 有两个交点 线段 的中点为 ，
证明：直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值．
21.(本小题 12 分)已知函数 f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．
(1)当 a＝4 时，求曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若当 x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求 a 的取值范围．
22．选修 4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 C：ρsin2
θ＝2acosθ(a＞0)，过点 P(－2，－4)的直线 l 的参数方程为 2(t 是参数)，直线 l 与曲线
C 分别交于 M、N 两点.
(1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值．
23．选修 4—5：不等式选讲
设函数 f(x)＝|x－a|＋x.
(1)当 a＝2 时，求函数 f(x)的值域；
(2)若 g(x)＝|x＋1|，求不等式 g(x)－2>x－f(x)恒成立时 a 的取值范围．
2018 届高三第 4 次月考答案(文数）
1.C 2.C 3.B 4.A 5.D 6.C . 7.A 8.C 9.D 10.D 11.D 12.C
13. 14.( －1)a 15.2x＋4y－3＝0 16.
17.【答案】(1)设数列{an}的公差为 d，由题意有 2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.解得 a1＝1，d＝ .
所以{an}的通项公式为 an＝ .
(2)由(1)知，bn＝ .
当 n＝1,2,3 时，1≤ <2，bn＝1； 当 n＝4,5 时，2≤ <3，bn＝2；
当 n＝6,7,8 时，3≤ <4，bn＝3； 当 n＝9,10 时，4≤ <5，bn＝4.
所以数列{bn}的前 10 项和为 1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
18.【答案】（2），
19.【答案】(1)a,b 的选取有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），
（3，2），（3，3）共 9 种情况。直线与圆有公共点，则满足 即 共
有（1，3），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）故
(2)当甲船的停泊时间为 4 小时，乙船的停泊时间为 2 小时，两船不需等待码头空出，则满
足 x－y≥2 或 y－x≥4．
设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件 B，画出区域
P(B)＝ ＝ ＝ ．
20.【答案】(1)由题意得 ＝ ， ＋ ＝1，
解得 a2＝8，b2＝4.
所以 C 的方程为 ＋ ＝1.
(2)设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将 y＝kx＋b 代入
＋ ＝1 得
(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故 xM＝ ＝ ，yM＝k·xM＋b＝ .
于是直线 OM 的斜率 kOM＝ ＝－ ，
即 kOM·k＝－ .
所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．
21.【答案】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当 a＝4 时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f′
(x)＝lnx＋ －3，f′(1)＝－2，f(1)＝0，曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 2x
＋y－2＝0.
(2)当 x∈(1，＋∞)时，f(x)>0 等价于 lnx－ >0，设 g(x)＝lnx－ ，则
g′(x)＝ － ＝ ，g(1)＝0.
(ⅰ)当 a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故 g′(x)>0，g(x)在(1，
＋∞)单调递增，
因此 g(x)>0；
(ⅱ)当 a>2 时，令 g′(x)＝0 得，
x1＝a－1－ ，x2＝a－1＋ .由 x2>1 和 x1x2＝1 得 x1<1，故当 x∈(1，
x2)时，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此 g(x)<0，综上，a 的取值范围是(－∞，2]．
22.【答案】解：(1)曲线 C 的普通方程为 C：y2＝2ax，
直线 l 的普通方程为 x－y－2＝0.
将直线的参数表达式代入抛物线得
1
2t2－(4＋a)t＋16＋4a＝0，
∴t1＋t2＝8＋2a，
t1t2＝32＋8a. 又|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|， 由题意知，|t1－
t2|2＝|t1t2|
⇒
(t1＋t2)2＝5t1t2， 代入得 a＝1 或 a＝－4(舍)．
23.【答案】(1)由题意得，当 a＝2 时，
∵f(x)在(2，＋∞)上单调递增，
∴f(x)的值域为[2，＋∞)．
(2)由 g(x)＝|x＋1|，不等式 g(x)－2>x－f(x)恒成立，有|x＋1|＋|x－a|>2 恒成立，即(|x
＋1|＋|x－a|)min>2.
而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|，
∴|1＋a|>2，解得 a>1 或 a<－3.