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- 2021-04-16 发布
理科数学试卷
一、选择题
1.命题“，”的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
分析：根据全称命题的否定得结果.
详解：因为，，所以否定为，,
选C.
点睛：命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.
2.设，，则是成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件，分析是否成立即可．
【详解】若，则成立，所以是充分性
若，则当时成立，不满足，所以不是必要性
所以是的充分不必要条件
所以选A
【点睛】本题考查了不等式成立条件及充分必要条件，属于基础题．
3.已知曲线的方程为，现给出下列两个命题：：是曲线
为双曲线的充要条件，： 是曲线为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p与命题q的真假，进而判断出复合命题的真假．
【详解】若曲线C为双曲线，则 ，可解得
若，则，所以命题p为真命题
若曲线C为椭圆，则且m≠1，所以命题q为假命题
因而为真命题
所以选C
【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．
4.下列四个命题中真命题的个数是
①命题的逆否命题为；
②命题的否定是
③命题“，”是假命题.
④命题，命题，则为真命题
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据四种命题的关系进行判断．
【详解】①命题的逆否命题为，正确；
②命题的否定是，正确；
③命题“，”是假命题，正确.
④命题，命题，p是真命题，
则为真命题，正确．
因此4个命题均正确．
故选D．
【点睛】本题考查四种命题及其关系，解题时可根据四种命题的关系进行判断①②，同指数函数的性质判断③，由或命题的真值表判断④，是解此类题的一般方法，本题属于基础题．
5.设P为椭圆C：上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
推导出，，从而，进而得到Q的轨迹为圆，由此能求出动点Q的轨迹方程．
【详解】为椭圆C：上一动点，，分别为左、右焦点，
延长至点Q，使得，
，，
，
的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
动点Q的轨迹方程为．
故选C．
【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6.已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用椭圆的性质，根据，可得，，求解，然后推出椭圆方程．
【详解】椭圆的焦点分别为，，点A，B在椭圆上，
于，，，可得，，
，解得，，
所以所求椭圆方程为：，故选C．
【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．
7.点为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在点使（为坐标原点）为正三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
为正三角形，点在椭圆上，代入椭圆方程，计算得到.
【详解】由题意，可设椭圆的焦点坐标为，
因为为正三角形，则点在椭圆上，
代入得，即，
得，解得，
故选B．
【点睛】本题考查了椭圆离心率的计算，意在考查学生的计算能力.
8.如图，是双曲线的左、右焦点，过 的直线与双曲线 交于两点．若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设，利用双曲线的定义求出和
的值，再利用勾股定理求，由得到双曲线的渐近线方程.
【详解】设，
由双曲线的定义得：，解得：，
所以，
因为，所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.
9.已知曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，是双曲线在第一象限上的点，，直线交双曲线于另一点，若，且则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合双曲线的定义可得 ，在三角形中，由余弦定理可得，据此计算双曲线的离心率即可.
【详解】由题意，，由双曲线的定义可得， ，可得 ，
由四边形为平行四边形，又，可得，
三角形中，由余弦定理可得 ，
即有，即，可得，即.
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
10.已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，根据圆的性质可知最小值为；根据抛物线方程和圆的方程可求得，从而得到所求的最值.
【详解】
如图所示，利用抛物线的定义知：
当三点共线时，的值最小，且最小值为
抛物线的准线方程：，
本题正确选项：
【点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.
11.已知抛物线交双曲线的渐近线于，两点（异于坐标原点），若双曲线的离心率为，的面积为32，则抛物线的焦点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得，设点A位于第一象限，且，结合图形的对称性列出方程组确定p的值即可确定焦点坐标.
【详解】，∴，
设点A位于第一象限，且，结合图形的对称性可得：
，解得：，∴抛物线的焦点为，故选B.
【点睛】本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12.已知抛物线焦点为，准线为，抛物线的对称轴与准线交于点，为抛物线上的动点，，当最小时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由已知，，过点作垂直于准线，则．记，则，当最小时，有最小值，此时直线 与抛物线相切于点．设，可得，所以，则，∴，，∴，故选D．
二、填空题
13.已知命题：存在，使得成立，命题对任意， 恒成立，若命题是真命题，则实数的取值范围是______________.
【答案】
【解析】
【分析】
先确定各命题为真时实数的取值范围，再根据复合命题真假得各命题真假，最后求交集得结果.
【详解】命题：存在，使得成立，所以最小值1，即所以；
命题对任意， 恒成立，所以;
因为命题是真命题，所以是真命题，是假命题，即
【点睛】本题考查命题真假以及不等式恒成立与存性问题，考查基本分析转化与求解能力，属中档题.
14.已知椭圆C：，，是其两个焦点，P为C上任意一点，则的最大值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】
先求得椭圆焦点的坐标，设出点的坐标代入向量数量积的坐标运算，利用椭圆标准方程化简后，利用二次函数的最值的求法，求得最大值.
【详解】依题意得 ， ，设，则，即，
故答案为
【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查向量数量积的坐标运算，考查式子的最大值的求法，属于基础题..
15.点 平分双曲线 的一条弦，则这条弦所在直线的方程是__________．
【答案】
【解析】
设弦的两端点分别为的中点是 把代入双曲线 得 ，
∴
∴这条弦所在的直线方程是
故答案为．
【点睛】本题考查弦中点问题及直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．
16.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，若，则直线的斜率是__________．
【答案】
【解析】
抛物线 方程为,可得它的焦点为 ，
设直线 方程为 ，
由 ,消去x得 .
设 ，
可得 ①．
，
可得代入①得 ,且 ，
消去 得 ,解之得.
故答案为.
点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
三、解答题
17.(1)已知命题p：；命题q：，若“”为真命题，求x的取值范围．
(2)设命题p：；命题q：，若是
的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
根据复合命题的真值表知：p真q假；
非q是非p的充分不必要条件，等价于p是q的充分不必要条件，等价于p是q的真子集．
【详解】命题p：，即；
命题，即；
由于“”为真命题，则p真q假，
从而由q假得，，
所以x的取值范围是．
命题p：，即
命题q：，即
由于是充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件．
即有，
【点睛】本题考查了复合命题及其真假属基础题．
18.已知椭圆：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过椭圆左焦点交椭圆于，为椭圆短轴的上顶点，当直线时，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的几何性质以及等边三角形的性质，得到的一个关系式，结合求得的关系式，将点的坐标代入椭圆方程，由此求得的值，进而求得椭圆方程.（2）根据（1）求得点的坐标，进而求得和的斜率，写出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得，由两点间距离公式求得，进而求得三角形的面积.
【详解】（1）由题意知，即，，
即，
∵在椭圆上，∴，，，
所以椭圆的方程为.
（2），则，
，∴,
∴直线的方程为：，
将其代入：得：
设，
∴，,
，
又,
∴.
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长公式，考查三角形面积的计算，属于中档题.要求椭圆的标准方程，主要方法是根据已知条件，列出方程组，解方程组求得的值.直线和圆锥曲线相交所得弦长公式为.其中为直线的斜率，和可由韦达定理求得.
19.已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆分别交于两点，且，试问点到直线的距离是否为定值，证明你的结论．
【答案】（1）；（2）为定值，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由周长可求得，利用离心率求得，从而，从而得到椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，可得韦达定理的形式；利用垂直关系可构造方程，代入韦达定理整理可得；利用点到直线距离公式表示出所求距离，化简可得结果.
【详解】（1）由椭圆定义知：的周长为：
由椭圆离心率： ，
椭圆的方程：
（2）由题意，直线斜率存在，直线的方程为：
设，
联立方程，消去得：
由已知，且，
由，即得：
即：
，整理得：，满足
点到直线的距离：为定值
【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中定值问题的求解.解决定值问题的关键是通过已知条件构造等量关系，通过韦达定理的形式得到变量之间的关系，从而对所求值进行化简、消元，从而得到定值.
20.已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若斜率为2的直线交双曲线交于两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
试题分析：（1）根据待定系数法求双曲线方程，知道，；（2）设直线方程，与双曲线方程联立，得到韦达定理，根据弦长公式，求出直线方程.
试题解析：（1）由，得，又，
∴，
∴双曲线的方程为.
（2）设直线的方程为，，
由，得，
∴，得，
∴弦长，解得，
∴直线的方程为或.
考点：1.双曲线的定义；2.弦长公式.
【方法点睛】主要考察了双曲线的基本问题，属于基础题型，尤其对于第二问，根据弦长公式求直线方程时，设直线方程，根据弦长公式，或是，这样根据直线方程与圆锥曲线方程联立，可以求参数.
21.设抛物线：的焦点为，是上的点．
（1）求的方程：
（2）若直线：与交于，两点，且，求的值．
【答案】（1）（2）.
【解析】
【分析】
（1）直接把代入抛物线方程中，求出；
（2）直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数关系，化简，最后利用
，求出的值.
【详解】（1）因为是上的点，
所以，
因为，解得，
抛物线的方程为.
（2）设，，
由得，
则，，
由抛物线定义知，，，
则，
，
，
解得.
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了一元二次方程根与系数关系，考查了运算能力.
22.已知抛物线：的焦点为，直线与轴交于点，抛物线交于点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过原点作斜率为和的直线分别交抛物线于两点，直线过定点，是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，则说明理由.
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【解析】
试题分析：（1）先求点P,Q坐标，再根据求得（2）先设，则，再根据点在抛物线上化简得，最后根据直线方程与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理解得，即得
试题解析：（1），由以及抛物线定义可知，
∵，∴，抛物线的方程为.
（2）不妨设，直线：，
由，得，，
故.