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- 2021-04-16 发布
2010~2014年高考真题备选题库
第3章 三角函数、解三角形
第8节 正弦定理和余弦定理的应用
1．(2014·四川，13,5分)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)
解析：过A作BC边上的高AD，D为垂足．在Rt△ACD中，AC＝92，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝×sin∠BAC＝×sin 37°≈×0.60＝60(m)．
答案：60
2．(2013江苏，16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：本题考查正弦、余弦定理，二次函数的最值，两角和的正弦公式，不等式的解法，意在考查考生阅读审题建模的能力和解决实际问题的能力．
(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，所以
sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理＝，得BC＝×sin A＝×＝500(m)．
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在，(单位：m/min)范围内．
3．(2010福建，12分)(本小题满分13分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
解：法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
S＝＝
＝ .
故当t＝时，Smin＝10，此时v＝＝30.
即，小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)设小艇与轮船在B处相遇．则
v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－＋.
∵0AC，且对于线段AC上任意点P，有OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇．
设∠COD＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt△COD中，CD＝10tan θ，OD＝.
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为
t＝和t＝，
所以，＝.
由此可得，v＝.
又v≤30，故sin(θ＋30°)≥.
从而，30°≤θ<90°.
由于θ＝30°时，tanθ取得最小值，且最小值为.
于是，当θ＝30°时，t＝取得最小值，且最小值为.
法三：(1)同法一或法二．
(2)设小艇与轮船在B处相遇．依据题意得：
v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，
(v2－900)t2＋600t－400＝0.
(ⅰ)若0.
(ⅱ)若v＝30，则t＝；
综合(ⅰ)、(ⅱ)可知，当v＝30时，t取最小值，且最小值等于.
此时，在△OAB中，OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．