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- 2021-04-16 发布
2019学年高二数学下学期期末考试试题 理
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
本试卷分第I卷和第II卷两部分
第I卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足 ，则复数的共轭复数为( )
A. B. C. D.
3.已知数列的前项和满足：，且，，则（ ）
A. 256 B. 512 C. 1023 D. 1024
4. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为( )
A． B． C． D．
5. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的是（ ）
A. 3 B. 4 C.12 D. 180
6. 的展开式中的系数为（ ）
A．100 B．15 C．-35 D．-20
7. 已知函数, 则函数的图象（ ）
A.关于直线对称 B.关于点直线对称
C.一个周期为 D.在区间上为减函数
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8. 已知点P满足，过点P的直线与圆相交于A、B两点，则的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．8
9. 中国古代数学著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为13.5（立方寸），则图中的为（ ）
A．1.2 B．1.8 C．1.6 D．2.4
10. 已知双曲线：的右焦点为，离心率为， 若以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于点，且的面积为16，则双曲线方程为（ ）
A. B. C. D.
11. 正方体中，分别是的中点，,则过的平面截该正方体所得的截面周长为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
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13. 在一个列联表中，经计算得，则有不低于 %的把握确认这两个变量间有关系.
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
14. 已知数列满足 ,前项和为满足, 则数列的前项和__________.
15. 某超市发生一起盗窃案，警方经严密侦查后发现作案者为甲、乙、丙、丁四人中的一人，并且警察对这四人进行询问情况如下：甲说：不是我干的；乙说：不是我干的；丙说：是甲干的；丁说：是丙干的.若已知这四人中只有一人说了真话，那么作案者是 .
16. 已知函数，，若存在两点，，，使得直线与函数和的图象均相切，则实数的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 四边形如图所示，已知，.
（1）求的值；
（2）记与的面积分别是与，求的最大值.
18.某班级为更好地促进同学互助工作的开展，从高一年第一学期就将本班级同学按一定的标准两两分为一组，规定：若同一组的两名同学在本学期的期中、期末两次考试中成绩优秀的次数相等，而且都不少于一次，则称该组为“最佳搭档”，已知甲、乙两同学分在同一组，甲每次考试成绩优秀的概率都为，乙每次考试成绩优秀的概率都为，每次考试成绩相互独立，互不影响。
（1） 若，求在本学期中，已知甲两次考试成绩优秀的条件下，该组荣获“最佳搭档”
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的概率；
（1） 设在高一，高二四个学期中该组获得“最佳搭档”的次数为，若的数学期望，求的取值范围．
19. （本小题满分12分）
如图，是平行四边形，平面，,，，. ，，分别为，，的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值。
20. 已知椭圆：的左右焦点分别为， 点在椭圆上，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：交椭圆于两点，若，求的值.
21. （本小题满分12分）
已知函数（）.
（Ⅰ）当时，判断函数的零点个数；
（Ⅱ）若，求的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线
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的极坐标方程为.
（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若射线平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求.
23 .（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数．
（I）当时，求不等式的解集；
（II）设函数．当时，，求的取值范围．
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永春一中高二年期末考（理科）数学参考答案（2017.07）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
D
C
A
D
C
D
A
C
A
A
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．99 14． 15．乙 16．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
请在答题卡各自题目的答题区域内作答。
17.解：（1）在中，，
在中，，
所以.
（2）依题意，，
所以
，
因为，所以.
解得，
所以，
当时取等号，即的最大值为14.
18.解：（1）设“甲两次成绩优秀”为事件，“该组荣获最佳搭档”为事件，
∴，
- 11 -
∴．
（2）在一学期中，甲乙两名同学组成的小组荣获“最佳搭档”的概率为
．
而，所以，
由知解得，
∴．
19．解：(1)证明：如图19-1
………1分
………2分
而
………………3分
………5分
………6分
(2)法1：如图19-2，设的中点为，连结，，.
易知所以四点共面
,分别为，，的中点
………7分
同理
又
…8分
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二面角即为平面与平面所成的锐二面角 ……9分
,,……10分
且
就是平面与平面所成锐二面角的一个平面角 …11分
………12分
法2：如图19-3，设的中点为，连结，，.作于点
易知所以四点共面 ………7分
又………8分
………9分
又由(1)知
的法向量…10分
………11分
设平面与平面所成锐二面角的大小为，则
………12
法3：如图19-4，
………1分
又………2分
建立如右图所示坐标系,则
,,,
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, ………4分
(1) ………5分
………6分
(2) 设的一个法向量为,则
由得 ………7分
解得 ………8分
又而，
平面，为平面的一个法向量 ………10分
………11分
平面FGH与平面EBC所成锐二面角的余弦值为 ………12分
20.解：（1）由题意可得 又，解得
∴椭圆的方程为：.
（2）由得
即：，可得
设
联立得
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整理化简得
解得
21.解：（Ⅰ）当时， ，的定义域为，
当时， ，所以函数在内无零点；
当时， ，
因为， ，
所以，说明函数在上单调递减，
又，
当时， ，
所以函数在内有且只有一个零点；
综上，函数的零点个数是1；
（Ⅱ）若，即，
设，
若，则当时，显然，故不符合题意，所以.
（），
当时， ，所以在上单调递增；
当时， ，所以在上单调递减；
从而，
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由题意可知，所以，
此时，令， ，
可知在上单调增，在上单调减，
所以，故的最大值为.
22.解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为，
曲线的直角坐标方程为．
（Ⅱ）曲线是圆心为半径为2的圆，∴射线的极坐标方程为
代入，可得．
又，∴，
∴．
23．解：（Ⅰ）当时，.解不等式，得，
因此，的解集为.
（Ⅱ）当时，，
当时等号成立，所以当时，等价于. ①
当时，①等价于，无解；
当时，①等价于，解得，
所以的取值范围是.
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