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- 2021-04-16 发布
竞赛考点分析二：平面向量的几何意义
（2017浙江）9、已知平面向量、、满足，，，=0，若，则所有取不到的值的集合为________。
（2016浙江）6、已知向量、垂直，且，若，
则的最小值为 （ ）
（A） （B）26 （C） （D）24
12、已知两个底面重合的正四面体A-OBC和D-OBC，M、N分别为△ADC与△BDC的重心，记，，，若点P满足，，则实数_______，_______，_______。
（2017全国联赛）7、在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点，若A=60°，△ABC的面积为，则的最小值为_________。
几个重要的命题方向：
一、 三点共线延伸到直线的轨迹；
二、 距离公式延伸到圆的轨迹；
三、 数量积的射影做法与极化恒等式的使用；
四、 平面向量类比到空间向量。
例1：（1）设、是两个不共线的单位向量，若向量满足，
且，则当最小时，与的夹角的余弦值为_______。
D
C
A
B
E
P
（2）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE=CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为__________，最大值为_________。
（3） 设,为单位向量，，
＜，＞＝30°，则的最大值为_________。
例2：（1）已知，1，2，则的最大值为_____。
（2）在△ABC中，，，点M是线段BC（含端点）上的点，且，则的取值范围是____。
例3：已知圆O的半径为2，圆O的一条弦AB长为3，P是圆O上任意一点，点Q满足，则的最大值为_____。[来源:Zxxk.Com]
例4：设，是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任意一点P，恒有，则（ ）
B、 C、 D、
附加练习：
1、在中，，点为内（包含边界）的点，且满足（其中为正实数），则当最大时，的值是（ ）
A． B．1 C． D．与的大小有关
2、矩形ABCD中，AB=2，BC=1，P为线段BD上一动点，，则的最小值为____，的最大值为____。
3、已知向量、满足，求的范围。
4、△ABC中，AB=2，BC=3，AC=4，O为△ABC的内心，则、、的大小关系为____。
5、△ABC中，，，则的取值范围是____。
6、已知单位向量、、、，且++=，则++的最大值为_____。
7、已知60°的扇形AOB，OA=1，点C在弧AB上运动，OC与线段AB交于点P，则的最小值为____。
8、如图，以AB为直径的圆上有一点C，AB=2，过A向C处圆的切线作垂线，垂足为P，则的最大值为_____。[来源:学科网]
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
答案和简解：
（2017浙江）9、已知平面向量、、满足，，，=0，若，则所有取不到的值的集合为________。
由可知，的终点在线段BC上。
由可知，点A在单位圆上，看图可知的取值范围是。
（2016浙江）6、已知向量、垂直，且，若，
则的最小值为 （ B ）
（A） （B）26 （C） （D）24
令，则，令。
如图，求的最小值。
12、已知两个底面重合的正四面体A-OBC和D-OBC，M、N分别为△ADC与△BDC的重心，记，，，若点P满足，，则实数_______，_______，_______。[来源:学科网]
（2017全国联赛）7、在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点，若A=60°，△ABC的面积为，则的最小值为_________。
因为A=60°，所以选择以为基底。所以问题转化为：
已知，求的最小值。
。
例1：（1）设、是两个不共线的单位向量，若向量满足，
且，则当最小时，与的夹角的余弦值为_______。
D
C
A
B
E
P
（2）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE=CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为__________，最大值为_________。
1，
（3） 设,为单位向量，，
＜，＞＝30°，则的最大值为_________。2
例2：（1）已知，1，2，则的最大值为_____。
（2）在△ABC中，，，点M是线段BC（含端点）上的点，且
，则的取值范围是____。；
例3：已知圆O的半径为2，圆O的一条弦AB长为3，P是圆O上任意一点，点Q满足，则的最大值为_____。
例4：设，是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任意一点P，恒有，则（ ）D
B、 C、 D、
附加练习：
1、在中，，点为内（包含边界）的点，且满足（其中为正实数），则当最大时，的值是（ B ）
A． B．1 C． D．与的大小有关
2、矩形ABCD中，AB=2，BC=1，P为线段BD上一动点，，则的最小值为____，的最大值为____。1，5；
3、已知向量、满足，求的范围。
4、△ABC中，AB=2，BC=3，AC=4，O为△ABC的内心，则、、的大小关系为____。[来源:Z.xx.k.Com]
5、△ABC中，，，则的取值范围是____。[3，6]
6、已知单位向量、、、，且++=，则++的最大值为_____。4
7、已知60°的扇形AOB，点C在弧AB上运动，OC与线段AB交于点P，则的最小值为____。
8、如图，以AB为直径的圆上有一点C，AB=2，过A向C处圆的切线作垂线，垂足为P，则
的最大值为_____。1