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- 2021-04-15 发布
北京首师附中2019-2020学年度第二学期期中考试试题
高一数学C卷13-20班用
一、单选题
1.已知变量满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，设目标函数，当过点时，目标函数取得最大值，此时最大值为；当过点时，目标函数取得最小值，此时最小值为，所以的取值范围是，故选A.
考点：简单的线性规划求最值.
2.若实数a，b满足，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
先将指数式化成对数式，求出，再利用换底公式的推论
以及对数的运算法则即可求出．
【详解】因为，所以，
．
故选D．
【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化、换底公式推论的应用以及对数的运算法则的应用．
3.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解得，即
故选
4.在中，角A，B，C的对边分别为，若，则的形状为
A. 正三角形 B. 等腰三角形或直角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目分别为角A，B，C的对边，且可知，利用边化角的方法，将式子化为，利用三角形的性质将化为，化简得，推出，从而得出的形状为直角三角形．
【详解】由题意知，
由正弦定理得
又
展开得，
又角A，B，C是三角形的内角
又
综上所述，的形状为直角三角形，故答案选C．
【点睛】本题主要考查了解三角形的相关问题，主要根据正余弦定理，利用边化角或角化边，若转化成角时，要注意的应用．
5.已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为（ ）
A 14 B. C. 240 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由二项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：，令展开式通项中的指数为，即可求得，问题得解．
【详解】二项展开式的第项的通项公式为
由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：.
解得：.
所以
令，解得：，
所以的系数为
故选C
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．
6.函数 的图像上关于原点对称的点有（ ）对
A. 0 B. 2 C. 3 D. 无数个
【答案】B
【解析】
【分析】
作出函数的图象如图所示，再作出关于原点对称的图象，根据交点个数得解.
【详解】作出函数的图象如图所示，再作出关于原点对称的图象，记为曲线.容易发现与曲线有且只有两个不同的交点，所以满足条件的对称点有两对，即图中的就是符合题意的点.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了基本初等函数的图象及其应用，考查了数形结合的思想方法，属于中档题.解答本题的关键是作出函数位于轴左侧的图象关于原点的对称图象，从而转化为二次函数图象与指数函数图象的交点个数问题，就容易解答了. 作关于原点对称的图象时，要把握好其三要素开口方向、对称轴和顶点.
7.下列说法错误的是( )
A. 若＋＝，则－＝
B. 若＋＝，则-＝
C. 若＋＝，则－＝
D. 若＋＝，则＋＝
【答案】D
【解析】
【分析】
由向量的减法就是向量加法的逆运算判断，由相反向量的定义判断.
【详解】由向量的减法就是向量加法的逆运算可知正确；
由相反向量的定义可知，
所以若＋＝，则－＝，正确；
若＋＝，由相反向量定义知，
＋＝-＝＋ ，故错误，故选D．
【点睛】本题主要考查向量的运算，以及相反向量的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.
8.已知实数满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析: 作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可．
详解: 作出不等式组对应的平面区域如图，
z的几何意义是区域内的点到定点P（﹣1，1）的斜率，
由图象知当直线过B（1,3）时，直线斜率最大，此时直线斜率为1，
则的最大值为1，
故选A．
点睛: 本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
9.若，则下列不等式错误是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意得,此题比较适合用特殊值法，令，那么对于A选项，正确，B选项中，可化简为，即成立，C选项，成立，而对于D选项，，不等式不成立，故D选项错误，综合选D.
考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.特殊值法.
【思路点晴】本题主要考查是利用指数函数的单调性和对数函数的单调性比较大小问题，属于难题，此类题目的核心思想就是指数函数比较时，尽量变成同底数幂比较或者是同指数比较，对数函数就是利用换底公式将对数转换成同一个底数下，再利用对数函数的单调性比较大小，但对于具体题目而言，可在其取值范围内，取特殊值（特殊值要方便计算），能够有效地化难为易，大大降低了试题的难度，又快以准地得到答案.
10.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得凹函数f（x）的解析式，再利用y=的图象变换规律，得出结论．
【详解】由函数f（x）=的部分图象，
可得A=2，∵，∴T=π，ω=2，f（x）=2sin（2x+φ），
将代入得，∵﹣π＜φ＜0，
∴．
故可将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到的图象，即为的图象，
故选B．
【点睛】由的图象变换出 的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.
二、填空题
11.定义运算，例如，，则函数的最大值为 .
【答案】
【解析】
【详解】
由；
所以，
此函数图象如图所示，
所以最大值是；
12.函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式及分式成立的条件,即可求得函数的定义域.
【详解】函数
所以自变量的取值满足
解不等式组可得
即
故答案为:
【点睛】本题考查了函数定义域的求法,属于基础题.
13.设集合，，若，则的取值范围为________．
【答案】.
【解析】
【分析】
先化简集合A,再根据得到关于a的不等式求出a的取值范围.
【详解】由得，∴，由得，∴．
又当时，满足，时，也满足，∴.
故答案为
【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和关系运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)
利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意．
14.已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点，满足，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点满足，则平面区域内必存在一个C点在直线的下方，A在直线是上方，由图象可得m的取值范围．
【详解】作出x，y的不等式组对应的平面如图：
交点C的坐标为，
直线的斜率为，斜截式方程为，
要使平面区域内存在点满足，
则点必在直线的下方，
即，解得，并且A在直线的上方；，
可得，解得，
故m的取值范围是：
故答案为
【点睛】本题主要考查线性规划基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．
15.已知函数，则f（log23）＝_____．
【答案】
【解析】
由已知得
三、解答题
16.已知函数（且）是定义在上的奇函数.
（1）求值；
（2）当时， 恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1） ；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数的定义，，即可求出的值；
（2）由（1）得函数的解析式，当 时，，将不等式转化为.利用换元法：令，代入上式转化为时， 恒成立，根据二次函数的图象与性质，即可求出的取值范围.
【详解】解：（1）∵在上奇函数，即恒成立，
∴.即，
解得.
（2）由（1）知，
原不等式，即为.即.
设，∵，∴，
∵时， 恒成立，
∴时， 恒成立，
令函数,根据二次函数的图象与性质，可得
，即
解得.
【点睛】本题考查奇函数的定义与性质，二次函数的图象与性质，考查不等式恒成立含参数的取值范围，考查转化思想和换元法
17.已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣12x+20＜0}，C={x|x＜a}．
（1）求A∪B；（∁RA）∩B；
（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．
【答案】（1）A∪B={x|2＜x＜10}；（CRA）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}．（2）a＞3．
【解析】
试题分析：（1）先通过解二次不等式化简集合B，利用并集的定义求出A∪B，利用补集的定义求出CRA，进一步利用交集的定义求出（CRA）∩B；
（2）根据交集的定义要使A∩C≠∅，得到a＞3．
解：（1）B═{x|x2﹣12x+20＜0}={x|2＜x＜10}；
因为A={x|3≤x＜7}，
所以A∪B={x|2＜x＜10}；（1分）
因为A={x|3≤x＜7}，
所以CRA={x|x＜3或x≥7}；（1分）
（CRA）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}．（1分）
（2）因为A={x|3≤x＜7}，C={x|x＜a}．
A∩C≠∅，
所以a＞3．（2分）
考点：交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题．
18.已知函数.
求：（1）函数的最值及相应的的值；
（2）函数的最小正周期.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
试题分析：（1）由，可推得，即可求解函数的最值及其相应的的值.
（2）利用三角函数的周期公式，即可求解函数的最小正周期.
试题解析：
（1）因为，所以，
所以，
所以，此时，即；
所以，此时，即.
（2）函数的最小正周期.
19.已知向量，，，求作和.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
根据向量加减法的三角形法则作图即可.
【详解】由向量加法的三角形法则作图：
由向量三角形加减法则作图：
【点睛】本题主要考查了向量加减法的三角形法则，属于中档题.
20.设 (1-x)15=a0+ a1x+ a2x2++ a15x15
求: (1) a1+ a2+ a3+ a4+ + a15
(2) a1+ a3+ a5+ + a15
【答案】(1) -1 (2) -214
【解析】
试题分析：
(1)利用赋值法，令可得，再令即可求得；
(2)利用赋值法，令，，所得的两式做差计算可得.
试题解析：
(1)题中的等式中，令可得：，即，
令可得：，
据此可得：.
(2)题中的等式中，令可得：，①
令可得：，②
①-②可得：，
则：.
点睛：求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为0，1，－1.
21.化简求值
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：根据实数指数幂和对数的运算公式，即可求解上述各式的值.
试题解析：
（1）原式
；
（2）原式===