2014年高考真题——理科数学（浙江卷）解析版 15页

2014 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（理科） 一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. （1）设全集  2|  xNxU ，集合  5| 2  xNxA ，则 ACU （ ） A.  B. }2{ C. }5{ D. }5,2{ 【答案】B 【解析】 .},2{},4,,3{},4,3,2{ BACAU u 选=∴==  （2）已知i 是虚数单位， Rba , ,则“ 1 ba ”是“ ibia 2)( 2  ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 .. ∴.1-,1∴,2) ,2),1 .1-,1 .22,0-∴22-) 2 2 22222 A babaibia ibiaba baba abbaiabibabia 选件综上，是充分不必要条 不是必要条件，或（ 是充分条件，（ 或 （ =====+ =+∴== ====∴ ===+=+    （3）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 90 2cm B. 129 2cm C. 132 2cm D. 138 2cm 【答案】D 【解析】 .138 .93*3.186*3.363*4*3 .935*34*6363*4*3 DSSSSSS SSS SS 。选几何体表面面积 左面面积右面面积前后面面积 ，上底面面积几何体下底面面积 右右前后上下 左右前后 上下 =++++=∴ ====== =+=== 4.为了得到函数 xxy 3cos3sin  的图像，可以将函数 xy 3sin2 的图像（ ） A.向右平移 4  个单位 B.向左平移 4  个单位 C.向右平移 12  个单位 D.向左平移 12  个单位 【答案】C 【解析】 .12 π 6 π(3sin2 2 π3sin(23cos2∴)12 π(3sin2)4 π3sin(23cos3sin Cx xxyxxxxy 可以得到。选）右移 ）把 += +==+=+=+= 5.在 46 )1()1( yx  的 展 开 式 中 ， 记 nm yx 项 的 系 数 为 ),( nmf ，则  )3,0(2,1()1,2()0,3( ffff ） （ ） A.45 B.60 C.120 D. 210 【答案】C 【解析】 .120.4*16*64*1520f(0,3)f(1,2)f(2,1)f(3,0)∴ )1464)(161520()1()1 232346 C yyyxxxyx 选 （ =+++=+++ ++++++++=++  6.已知函数 则且 ,3)3()2()1(0,)( 23  fffcbxaxxxf （ ） A. 3c B. 63  c C. 96  c D. 9c 【答案】C 【解析】 .(6,9],∴ 3≤6-0,11,6.33-927-2-48--1-0. Cc cbacbacbacba 选 解得由题知， ∈ +<==≤++=++=++< 7.在同意直角坐标系中，函数 xxgxxxf a a log)(),0()(  的图像可能是（ ） 【答案】D 【解析】 . )1,1(,log),1,0(∈:D∴ .log)1,0(∈log1 .373780592∴,0)∞1(∈ ,0)1,0(∈.)1,1(1≠,0 .)1-( 2-1- D xyxya xyaxya qqya yaaa xaayaxyxy a a aa aaa 所以，选 点、递增、且是凸的过递减正确只有 递减时，递增；当时，当 凹是的图像时，，当 图像是凸的；时，当点为单调递增的，且过当 ，， == ==> >′′+ ∴<′′> =′′=′=   8.记 ,max{ , } , x x yxy y x y    ， ,min{ , } , y x yxy x x y    ，设 ,ab为平面向量，则（ ） A.min{| |,| |} min{| |,| |}a b a b a b   B. min{| |,| |} min{| |,| |}a b a b a b   C. 2 2 2 2min{| | ,| | } | | | |a b a b a b    D. 2 2 2 2min{| | ,| | } | | | |a b a b a b    【答案】D 【解析】 ...≥})-(,)max{(. ≥2-2∴2)( 222222 2222222 Dbabababa babababababababa 选其它都不对即 中总有一个和正负零，不论， +++ +++±+=± 9.已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有 m 个红球和 n 个篮球 3, 3mn，从乙盒中 随机抽取  1,2ii 个球放入甲盒中. （a）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为  1,2i i  ； （b）放入i 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为  1,2ipi . 则 A.    1 2 1 2,p p E E B.    1 2 1 2,p p E E C.    1 2 1 2,p p E E D.    1 2 1 2,p p E E 【答案】A 【解析】 ..∴ 30 20 3 1 30 6 3 2 30 18 30 612 4 3 2 1 2 1 2 111)2( EξEξ∴ 230 6*118*26*3Eξ∴,30 6)1(,30 18)2(,30 6)3( 3737805923,2,12 .2 3Eξ∴,2 11,211)( 3,3 21 2 1 12 22 6 2 3 2 6 1 3 1 3 2 6 2 3 1 App p p C CpC CCpC Cp qq nm 选 个，是红球的概率个后，再从甲中取从乙中取 个，是红球的概率个后，再从甲中取从乙中取 分别，概率是个后，甲中的红球可能从乙中取 ，概率均为是个后，甲中的红球可能从乙中取 令 > =++= =+= > =++======= = == 10.设函数 2 1 )( xxf  ， ),(2)( 2 2 xxxf  |2sin|3 1)(3 xxf  ， 99,,2,1,0,99  iiai ，记 |)()(||)()(||)()(| 98991201 afafafafafafI kkkkkkk   ， .3,2,1k 则 A. 321 III  B. 312 III  C. 231 III  D. 123 III  【答案】 B 【解析】 BIII afafafafafafI iiafaf afafafafafafI iiaaaaafaf afafafafafafI iaaafaf iaaiiaa ii iiiiii iiii iiii ，选所以， ） 213 983993132303133 313 982992122202122 22 11212 981991112101111 22 1111 11 1)99 25π2sin(3 8])99 74π2sin(2-)99 25π2sin(2[3 1 |)(-)(||)(-)(||)(-)(| )]99π2sin(-)99 1π2[sin(3 1)(-)( 19999 4920049)982(9999 2)98209698(9999 2 |)(-)(||)(-)(||)(-)(| 9999 )2-2(98 99 12-1(99 2)]-(-)-[(2)(-)( 1)99 198231(99 1|)(-)(||)(-)(||)(-)(| 99 12 99 1-)(-)( 99 12,99 1 99-99 1- >> >•=••= +++= •+•= <• •=•+••=++++++•= +++= •=+== =+•+++=+++= +•== +=+=+= + +++ ++ ++     二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分. 11.若某程序框图如图所示，当输入 50 时，则该程序运算后输出的结果是________. 【答案】 6 【解析】 6i 6 57 5 26 4 11 3 4 2 1 1 0 )2,50( = +== 所以， ：变量变化情况如下 iS issn 12.随机变量 的取值为 0,1,2，若   10 5P  ，   1E   ，则  D   ________. 【答案】 5 2 【解析】 5 2ξ.5 2 5 12)-(15 31)-(15 10)-(1ξ∴ 5 3,1)-5 4(20ξ(-5 1-12ξ(,1ξ( 222 ==++= ==++===== DD pppEpppp 所以， 解得），）则）设 13.当实数 x ， y 满足 2 4 0, 1 0, 1, xy xy x          时，14ax y   恒成立，则实数 a 的取值范围是 ________. 【答案】 ]2 3,1[ 【解析】 ]2 3,1][,.2 3≤≤0,42 5≤≤ 2 1- ,4≤≤1,41).1,2(),2 3,1(),0,1( 1,01--,04-2 ∈ ≤+≤ ===+ aaa ayax xyxyx 所以 解得代入目标函数分别是 的三角形区域的顶点，计算三条直线 14.在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）. 【答案】 60 【解析】 种情况共有所以 第二种情况张有奖券，第一种情况接着分配 第二种情况第一种情况，，或张空奖券分配情况有： 60, 24:,36:3 :,:.1,1,120,1,2,25 3 3 1 4 1 3 2 4 1 4 2 4 =•=• ACCA CA 15.设函数        0, 0, 2 2 xx xxxxf 若    2aff ，则实数 a 的取值范围是______ 【答案】 ]2∞- ，（ 【解析】 ]2∞- .].2∞-∈,∞,2-[∈)()2( ∞,2-[∈;,0[∈,0,2≤-;0,2-[,0,2≤,2)()1( 22 ，的取值范围为（所以， 此题用图像法解更简洁，（解得）设 ））解得且或）解得且则设 a xxf tttttttttf + +∴+∞≥∈<+≤ 16.设直线 )0(03  mmyx 与双曲线 12 2 2 2  b y a x （ 0ab）两条渐近线分别交于点 BA, ，若点 )0,(mP 满足 PBPA  ,则该双曲线的离心率是__________ 【答案】 2 5 【解析】 2 5,.2 5∴ 4 51∴ 4 10,6-13 3- 1-3 3,x0,6-3 3- -3 3 ,06a--3-)-3(-3)3(,06a-)-3()3( ,0)2-(3-3- -2 1 2 -∴ 3-,3 1),2 -,2(∴ -3-,-3,03-∴ 03-, ),0,(),-,(),,(, 2 2 22 2 2 2 21 2121 21 21 2121 2111 2211 离心率为所以 则令 ，联立得 且中点 同理解得解得 上也在直线且 设渐近线方程为 ==+=+= ==+++==+++ =++=++ =++=+• ==+ ===+ =+ ±= a cxa ba a c xx x x x a b ab ab ab ab mab mabaab maabmxbaxab mxxabxbx mxxa bxbx KKa bxbxxxDAB ab maxab maxmxa bx myxBA mPxa bxBxa bxAxa by PDAB  17、如图，某人在垂直于水平地面 的墙面前的点 处进行射击训练.已知点 到墙面的距离 为 ，某目标点 沿墙面的射击线 移动，此人为了准确瞄准目标点 ，需计算由点 观察点 的仰角 的大小.若 则 的最大值 【答案】 39 5 【解析】 39 5θtan, 39 5 27 25≤θtan∴ 25 27)25 32025(25 320340-3≥25 h 340-3 25 h 340-3 1 25340-3 θtan25340-3 15)20-3(|20-3||-|,3,2 ,,.20∴,25,15 2 222 2 2 222 22 2222 的最大值为所以 ， ， 则点到地面垂足为设 ==++ + = + ==+= +=+===== ==== h h hh h AN PNhh hABNBANhBCNCNBhNChPC PNhNPBCACAB   三．解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 18.（本题满分 14 分）在 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ab ， 3c  ， 22cos cos 3 sin cos 3 sin cos .A B A A B B- = - (I) 求角 C 的大小； (II) 若 4sin ,5A  求  ABC 的面积。 【答案】 （1） 3 π （2） 25 3818+ 【解析】 （1） .3 πCπ3 2∴,≠∴≠ .π6 π-26 π-2,6 π-26 π-2∴ 6 π-2sin6 π-2sin∴ 2cos-2sin32cos-2sin3∴,cossin3-cossin3cos-cos 22 ==+ =+== == ，所以解得 或）（）（ ， BABAba ABABAB BBAABBAABA   （2） 25 3818.25 3818 10 33435 8 2 1sin2 1∴ .5 8∴ sin a sin c,3c )(010 33-4 10 334sincoscossin)sin(sin 5 3-,5 3cosA∴ 5 4sin3 πC Δ ++=+•••== === <+=+=+= === 所以，三角形面积为 舍去，或 或， BacS aAC CACACAB A ABC    19（本题满分 14 分） 已 知 数 列  na 和  nb 满足     Nnaaa nb n 221  . 若  na 为 等 比 数 列 ， 且 .6,2 231 bba  （1）求 na 与 nb ； （2）设   Nnbac nn n 11 。记数列 nc 的前 n 项和为 nS . （i）求 nS ； （ii）求正整数 k ，使得对任意  Nn ，均有 nk SS  . 【答案】 （1） 省略 （2） 4 【解析】 （1） )1(,2 22.2,12,6,6,63, 63,2)2(,2)2( 2)2(2, 22 1 322332 32 222 1 23 22 1- 22 1- 1321 23 +== =∴===∴+=+= +===∴ =∴== + nnba qbbbbbb bbqq qqaaaaaq n n n bnn bb b n nbnn n n n nn 所以 解得 设公比为   （2） .≥4 373780592,,,,.,,,∴ .4,0-∴)2)(1(2 )2)(1(2 2-)2)(1( )2)(1( 1-2 1 2 1 1 1-2 1-2 1-)( *∈ 2 1-1 1 2 1-1 1 1 1-1 1 2 1-1)1-1 1 3 1-4 1 2 1-3 1 1 1-2 1( 2 1-1 2 1-1 2 1)( 1-1 1 2 1 )1( 1-2 11-1 46544321 1 1 1 1 111 nk n nn n n n nnnnn nn nn n n nn nn n SSk qqSSSSSSSSS nSSnn nn nn nnnnSSii NnnS nnnnSi nnnnbac 时，所以，当 大最递减递增 解得令变化快，比二次函数指数函数 令 ，所以， = <>++ ++ ++=++=+++= += +=++=++++++•= ++=+== + + + + +++    20. （ 本 题 满 分 15 分 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥 BCDEA 中 ， 平 面 ABC 平面  ACBEDECDABBEDCDEBCDE ,1,2,90, 0 2 . （1）证明： DE 平面 ACD ; （2）求二面角 EADB  的大小 【答案】 [ Ⅰ ] 省略 [ Ⅱ ] 6 π 【解析】 [ Ⅰ ] .⊥∴,∩,⊥,⊥ ,⊥⇒⊥∴,⊥,∩,⊥ .⊥,2,22 .2BCBCDE ACDDECDCACDCDEDEAC DEACBCDEACBCACBCBCDEABCBCDEABC BCACACBCABABC 面且 面面面面面 符合勾股定理，，中，在三角形 中，在平面四边形 = = === =   [ Ⅱ ] .6 π 2 3 201211 201|,cos|θcosθ ).2,0,1(0),,,( ).2,1,1(0),,,( )0,1,0()2-,0,2()2-,1,1(∴).0,1,2(),0,0,2(),2,0,0(),0,1,1( .,,)1( 21 2222222 1111111 夹角为与面所以，面 ，则夹角为与面设面 ，解得则法向量设面 ，解得则法向量设面 ，， 则轴正向建立坐标系为平行轴正向，以过为知，分别以由 ADEABD nnADEABD nADnAEnzyxnADE nADnABnzyxnABD DEADABEDAB XDECZXCACD = ++++ ++=><= ==== ==== === 21(本题满分15分) 如图，设椭圆  ,01: 2 2 2 2  bab y a xC 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点 P ，且点 P 在第一象限. （1）已知直线l 的斜率为 k ，用 kba ,, 表示点 P 的坐标； （2）若过原点O 的直线 1l 与l 垂直，证明：点 P 到直线 1l 的距离的最大值为 ba  . 【答案】 [ Ⅰ ] ) bka b, bka ka-( 222 2 222 2 ++ P [ Ⅱ ] 省略 【解析】 [ Ⅰ ] ) bka b, bka ka-(, bka by bka ka-x 1b y a x0b k2y a 2x∴ 0b y2y a 2x:1b y a x )y,P(x0,k 222 2 222 2 222 2 0222 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2 0 222 2 2 2 00 +++ = + = =+=+ =′+=+ < P，所以， ，联立求得：， 求导得对 设由题知 [ Ⅱ ] .- - ba2ab )b-(a bak bka2 )b-(a≤ bak bka )b-(a bk1)a(k )b-k(a-| 1k bka kb bka ka- | ) bka b, bka ka-( .037373805920,k 1 22 22 22 2 2 22 22 22 2 2 22 22 2222 22 2 222 2 222 2 1222 2 222 2 1 balP ba d lP kyxqqll 的距离最大值为到直线所以，点 的距离到直线点 为方程直线斜率为设直线 = ++ = +++++ = ++ = + + + += ++ =+< 22.（本题满分 14 分）已知函数   ).(33 Raaxxxf  （1）若  xf 在 1,1 上的最大值和最小值分别记为 )(),( amaM ，求 )()( amaM  ； 设 ,Rb 若    42  bxf 对  1,1x 恒成立，求 ba 3 的取值范围. 【答案】 [ Ⅰ ] 1a≤ 3 1-32 3 1a1--3-41-≤8 1≥4 )(-)( 33 <+<<= ，或；，；或，或；， aaaaaaamaM [ Ⅱ ] [-2, 0] 【解析】 [ Ⅰ ] 1a≤ 3 1-32 3 1a1--3-4 )(-)( 1-≤8 1≥4 .-32)(-)(,32)1-()(1a≤ 3 14-3 .-3-4)(-)(,3-4)1()(3 1a1-3-3 ,3 106-21-(-)1(,32)1-(,3-4)1( )()(∴ )].1(),(∈)(,a-3)(1≤2-3 )].1-(),([∈)(,a-3-)(≤≤1-1-3 11-3 .8)(-)(3-4-)1-()(,3-4)1()(,a-3)(1-≤2 .4)(-)(2-3)1()(,32)1-()(,a-3-)(1≥1 .37378059220140619 .↓)(0≤1-3)(,a-3-)( .↑)(0≥13)(,a-3)( ].1,1-[∈|a-|3)( 3 3 3 3 3 3 3 3 3 23 23 3 <+ <<= +=+==< ===<< <>=+== == +=< = << =====+= ===+=== =′= +=′+= += ， ，综上， ， ， 时，）当（ 时，）当（ 所以，解得）令 （由前知，）（时，）当（ 由前知，）（时，）当（ 时，）当（ ，由前知，）（时，）当（ ，由前知，）（时，）当（ 下讨论如 递减，）（则）（若 递增，）（则）（若 ， aa aaamaM a a aaamaMafaM aaamaMafaM aaffafaf aafam fafxfxxxfxa fafxfxxxfax a amaMafamafaMxxxfa amaMafamafaMxxxfa qq xfxxfxxxf xfxxfxxxf xxxxf [ Ⅱ ] ∈[-2,0].3a,0].27 28-[∪[-2,0∪}0{∈3a ,0]27 28-[≤3a∴ 0≤3a 27 28-≥↑a-2-3a≥3a1≤ 3 1∴ ,1≤ 3 10,≤a-2-3a 0.3-2-23a)(-23a≤3a .a-2-3am(a)-2-3≥3a1≤ 3 14 [-2,0)≤3a∴ 0↑2-6a≤3a -2≥↑a-2-3a≥3a3 1≤0∴ 0,≥a2,-6a≤a-2-3a 2.-6a3a4-23a)(-23a≤3a .a-2-3am(a)-2-3≥3a3 11-3 .03a∴0,≤3a,0≥3a∴ 0.2-3a-23a)(-23a≤3a 0.23a-2-3am(a)-2-3≥3a1≥2 . 2,-6a≤3a,26≥3a∴ 2,-6a3a4-23a)(-23a≤3a ,263a42-3am(a)-2-3≥3a1-≤1 373780592),(-23a≤3a,(a)-2-3a≥3a∴ 2≤)(≤2-∴],1,1-[∈,4≤])([ 3 3 3 3 3 3 2 bb b b ba a aaMb aba b b ba aMb aba bbb aMb aba bab aMb aaba qqaMbmb bxfxbxf ++ + + +< < =+=++ =+< + <+ +< =++=++ =+<< =+++ =+=++ =+=+ +++ =++=++ +=++=+ +++ ++ 所以，）综上， 且 ）（递增时，当 解得令 时，）当（ ）（递增且 ）（递增时，当 解得令 时，）当（ 且 时，）当（ 显然空集且 时，）当（ 上知，由且 