2019届二轮复习归纳与类比课件（43张）（全国通用） 43页

- 1 - 知识梳理 考点自诊 1 . 合情推理 (1) 归纳推理 : 根据一类事物中 　　　　 　 具有 某种属性 , 推断该类事物 中 　　　　 都有这种属性 . 我们将这种推理方式称为归纳推理 . 简言之 , 归纳推理是由 　　　 到 　　　 , 由 　　　 到 　　　 的推理 .   归纳推理的基本模式 : a , b , c ∈ M 且 a , b , c 具有某属性 , 结论 : 任意 d ∈ M , d 也具有某属性 . (2) 类比推理 : 由于两类不同对象具有 　　　 　　　 , 在此基础上 , 根据 　　　　　　　　 的其他特征 , 推断 　　　　　　　　 也具有类似的其他特征 , 我们把这种推理过程称为类比推理 . 简言之 , 类比推理是由 　　　　　　　 的推理 .   类比推理的基本模式 : A : 具有属性 a , b , c , d ; B : 具有属性 : a' , b' , c' ; 结论 : B 具有属性 d'. ( a , b , c , d 与 a' , b' , c' , d' 相似或相同 ) 部分 事物 每一 个 部分 　 整体 个别 　 一般 某些类似的 特征 一类 对象 另一类 对象 特殊到 特殊 - 2 - 知识梳理 考点自诊 (3) 合情推理 : 根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论 ( 定义、公理、定理等 ), 推测出某些结果的推理方式 . 归纳推理和类比推理是最常见的合情推理 . 2 . 演绎推理 从一般性的原理出发 , 推出某个特殊情况下的结论 , 我们把这种推理称为演绎推理 . 简言之 , 演绎推理是由一般到 　　　　 的推理 .   特殊 - 3 - 知识梳理 考点自诊 - 4 - 知识梳理 考点自诊 1 . 判断下列结论是否正确 , 正确的画 “ √ ”, 错误的画 “ × ” . (1) 归纳推理得到的结论不一定正确 , 类比推理得到的结论一定正确 . ( 　　 ) (2) 归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理 . ( 　　 ) (3) 在类比时 , 平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适 . ( 　　 ) (4)“ 所有 3 的倍数都是 9 的倍数 , 某数 m 是 3 的倍数 , 则 m 一定是 9 的倍数 ”, 这是三段论推理 , 但其结论是错误的 . ( 　　 ) (5) 一个数列的前三项是 1,2,3, 那么这个数列的通项公式是 a n =n ( n ∈ N + ) . ( 　　 ) (6) 在演绎推理中 , 只要符合演绎推理的形式 , 结论就一定正确 . ( 　　 ) × × × × × × - 5 - 知识梳理 考点自诊 2 . 下面几种推理过程是演绎推理的是 ( 　　 ) A. 在数列 { a n } 中 , a 1 = 1, ( n ≥ 2), 由此归纳数列 { a n } 的通项公式 B. 由平面三角形的性质 , 推测空间四面体性质 C. 两直线平行 , 同旁内角互补 , 如果 ∠ A 和 ∠ B 是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角 , 则 ∠ A+ ∠ B= 180° D. 某校高二共 10 个班 ,1 班 51 人 ,2 班 53 人 ,3 班 52 人 , 由此推测各班都超过 50 人 C 解析 : A 、 D 是归纳推理 ,B 是类比推理 ,C 符合三段论模式 , 故选 C . - 6 - 知识梳理 考点自诊 3 . 如 图 , 根据图中的数构成的规律 , a 表示的数是 ( 　　 ) 1 2 　 2 3 　 4 　 3 4 　 12 　 12 　 4 5 　 48 　 a 　 48 　 5 A.12 B.48 C.60 D.144 D 解析 : 由题干图中的数据可知 , 每行除首末两数外 , 其他数等于其上一行两肩上的数字的乘积 . 所以 a= 12 × 12 = 144 . - 7 - 知识梳理 考点自诊 4 . (2018 四川南充高中考前模拟 ,5) 甲、乙、丙三人代表班级参加校运会的跑步、跳远、铅球比赛 , 每人参加一项 , 每项都要有人参加 , 他们的身高各不同 . 现了解到以下情况 :(1) 甲不是最高的 ;(2) 最高的没报铅球 ;(3) 最矮的参加了跳远 ;(4) 乙不是最矮的 , 也没参加跑步 . 可以判断丙参加的比赛项目是 ( 　　 ) A. 跑步比赛 B. 跳远比赛 C. 铅球比赛 D. 无法判断 A 解析 : 由 (1),(3),(4) 可知 , 乙参加了铅球 , 由 (2) 可知乙不是最高的 , 所以三人中乙身高居中 ; 再由 (1) 可知 , 甲是最矮的 , 参加了跳远 , 所以丙最高 , 参加了跑步比赛 . 故选 A . - 8 - 知识梳理 考点自诊 D 解析 : 设四面体的内切球的球心为 O , 则球心 O 到四个面的距离都是 r , 根据三角形的面积的求解方法 —— 分割法 , 将 O 与四个顶点连起来 , 可得四面体的体积等于以 O 为顶点 , 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和 , V= ( S 1 +S 2 +S 3 +S 4 ) ·r , 故选 D . - 9 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 归纳推理 ( 多考向 ) 考向 1 　 数的归纳 例 1 (2018 河北名校联考 ,16) 有一个数阵排列如下 : 1 　 2 　 3 　 4 　 5 　 6 　 7 　 8… 2 　 4 　 6 　 8 　 10 　 12 　 14… 4 　 8 　 12 　 16 　 20… 8 　 16 　 24 　 32… 16 　 32 　 48 　 64… 32 　 64 　 96… 64 　 … 则第 10 行从左至右第 10 个数字为 　　　　　 .  5 120 - 10 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 解析 : 由数表可发现规律 : 第 n 行第一个数为 2 n- 1 , 第 n 行组成以 2 n- 1 为首项 , 以 2 n- 1 为公差的等差数列 , 所以第 10 行第 1 个数字为 2 9 = 512, 则第 10 行第 10 个数字为 512 + (10 - 1) × 512 = 5 120, 故答案为 5 120 . 思考 归纳推理的步骤是什么 ? 思路分析 由数表可发现规律 : 第 n 行第一个数为 2 n- 1 , 第 n 行组成以 2 n- 1 为首项 , 以 2 n- 1 为公差的等差数列 , 由等差数列的通项公式可得结果 . - 11 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考向 2 　 式的 归纳 C - 12 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 思考 式的归纳如何实现 ? 思路分析 观察下列各式 , 右边分母组成以 3 为首项 ,1 为公差的等差数列 ; 分子组成以 1 为首项 ,1 为公差的等差数列 , 即可得出结论 . - 13 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考向 3 　 形的 归纳 - 14 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 思考 形的归纳有几种 ? - 15 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 解题心得 1 . 归纳推理的一般步骤 : 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质 . 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 ( 猜想 ) . 2 . 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类 : (1) 与数字有关的等式的推理 : 观察数字的变化特点 , 找出等式左右两侧的规律及符号可解 . (2) 与式子有关的归纳推理 : ① 与不等式有关的推理 : 观察每个不等式的特点 , 注意是纵向看 , 找到规律后可解 ; ② 与数列有关的推理 : 通常是先求出几个特殊项 , 采用不完全归纳法 , 找出数列的项与项数的关系 , 列出即可 . (3) 与图形变化有关的推理 : 合理利用特殊图形归纳推理得出结论 , 采用赋值检验法验证其真伪性 . - 16 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 对点训练 1 (1)(2018 成都一模 ,14) 数表的第 1 行只有两个数 2 、 3, 从第 2 行开始 , 先保序照搬上一行的数再在相邻两数之间插入这两个数的和 , 如下图所示 , 那么第 20 行的各个数之和等于 　 　　　 .  2 　 3 2 　 5 　 3 2 　 7 　 5 　 8 　 3 2 　 9 　 7 　 12 　 5 　 13 　 8 　 11 　 3 - 17 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 (2)(2018 福建泉州二模 ,13) 若正偶数由小到大依次排列构成一个数列 , 则称该数列为 “ 正偶数列 ”, 且 “ 正偶数列 ” 有一个有趣的现象 : ① 2 + 4 = 6; ② 8 + 10 + 12 = 14 + 16; ③ 18 + 20 + 22 + 24 = 26 + 28 + 30; …… 按照这样的规律 , 则 2 018 所在等式的序号为 ( 　　 ) A.29 B.30 C.31 D.32 C - 18 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 (3)(2018 黑龙江哈尔滨师范大学附属中学三模 ,10) 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科 . 其中 , 把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形 . 分形是一种具有自相似特性的现象 , 图像或者物理过程 . 标准的自相似分形是数学上的抽象 , 迭代生成无限精细的结构 . 也就是说 , 在分形中 , 每一组成部分都在特征上和整体相似 , 只仅仅是变小了一些而已 , 谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形 , 是由波兰数学家谢尔宾斯基在 1915 年提出的 , 按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形 . 则当 n= 6 时 , 该黑色三角形内共去掉 ( 　　 ) 个小三角形 .   A.81 B.121 C.364 D.1 093 C - 19 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 - 20 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 (3) 由题图可知 , 每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的 3 倍加 1, 所以 , n= 1 时 , a 1 = 1; n= 2 时 , a 2 = 3 + 1 = 4; n= 3 时 , a 3 = 3 × 4 + 1 = 13; n= 4 时 , a 4 = 3 × 13 + 1 = 40; n= 5 时 , a 5 = 3 × 40 + 1 = 121; n= 6 时 , a 6 = 3 × 121 + 1 = 364, 故选 C . - 21 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 类比推理 - 22 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 解析 : (1) 线段长度类比到空间为体积 , 再结合类比到平面的结论 , 可得空间中的结论为 - 23 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 思考 类比推理的关键是什么 ? 解题心得 类比推理的关键及类型 1 . 类比推理是指依据两类数学对象的相似性 , 将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去 . 一般步骤 : ① 找出两类事物之间的相似性或者一致性 . ② 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 , 得出一个明确的命题 ( 或猜想 ) . 2 . 类比推理常见的情形有 : 平面与空间类比 ; 低维与高维类比 ; 等差数列与等比数列类比 ; 运算类比 ( 加与积 , 乘与乘方 , 减与除 , 除与开方 ); 数的运算与向量运算类比 ; 圆锥曲线间的类比等 . - 24 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 - 25 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 演绎推理 - 26 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 - 27 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 - 28 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 解题心得 演绎推理是由一般到特殊的推理 , 常用的一般模式为三段论 . 演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系 , 解题时要找准正确的大前提 . 一般地 , 若大前提不明确时 , 可找一个使结论成立的充分条件作为大前提 , 只要大前提、小前提和推理形式是正确的 , 结论必定是正确的 . - 29 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 对点训练 3 (1) 已知函数 y=f ( x ) 满足 : 对任意 a , b ∈ R , a ≠ b , 都有 af ( a ) +bf ( b ) >af ( b ) +bf ( a ), ① 试证明 : f ( x ) 为 R 上的增函数 ; ② 若 x , y 为正实数 且 , 比较 f ( x+y ) 与 f (6) 的大小 . - 30 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 (2) 下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是 ( 　　 ) A. 大前提 : 无限不循环小数是无理数 ; 小前提 : π 是无理数 ; 结论 : π 是无限不循环小数 B. 大前提 : 无限不循环小数是无理数 ; 小前提 : π 是无限不循环小数 ; 结论 : π 是无理数 C. 大前提 : π 是无限不循环小数 ; 小前提 : 无限不循环小数是无理数 ; 结论 : π 是无理数 D. 大前提 : π 是无限不循环小数 ; 小前提 : π 是无理数 ; 结论 : 无限不循环小数是无理数 思考 演绎推理中得出的结论一定正确吗 ? - 31 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 (1) ① 证明 设 x 1 , x 2 ∈ R , 且 x 1 x 1 f ( x 2 ) +x 2 f ( x 1 ), 所以 x 1 [ f ( x 1 ) -f ( x 2 )] +x 2 [ f ( x 2 ) -f ( x 1 )] > 0,[ f ( x 2 ) -f ( x 1 )]( x 2 -x 1 ) > 0 . 因为 x 1 0 , 所以 f ( x 2 ) >f ( x 1 ) . 所以 y=f ( x ) 为 R 上的增函数 . - 32 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 (2)B 　 A 中小前提不是大前提的特殊情况 , 不符合三段论的推理形式 , 故 A 错 ;C,D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理 , 所以 A,C,D 都不正确 , 只有 B 正确 , 故选 B . - 33 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 生活中的合情推理 例 6 (1)(2018 东北师大附中四模 ,8) 学校艺术节对同一类的 A , B , C , D 四项参赛作品 , 只评一项一等奖 , 在评奖揭晓前 , 甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下 : 甲说 :“ C 或 D 作品获得一等奖 ”; 乙说 :“ B 作品获得一等奖 ”; 丙说 :“ A , D 两项作品未获得一等奖 ”; 丁说 :“ C 作品获得一等奖 ” . 若这四位同学只有两位说的话是对的 , 则获得一等奖的作品是 ( 　　 ) A. A 作品 B. B 作品 C. C 作品 D. D 作品 B - 34 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 (2)(2018 四川绵阳三诊 ,6) 甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车 , 汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利 . 甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车 , 丁说 :“ 甲买的是奇瑞 , 乙买的不是奇瑞 , 丙买的不是吉利 . ” 若丁的猜测只对了一个 , 则甲、乙所买汽车的品牌分别是 ( 　　 ) A. 吉利 , 奇瑞 B. 吉利 , 传祺 C. 奇瑞 , 吉利 D. 奇瑞 , 传祺 A - 35 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 解析 : (1) 若 B 作品获得一等奖 , 则根据题中所给的条件 , 可以判断乙和丙两位说的话是对的 , 而甲和丁说的都是错的 , 满足只有两位说的话是对的 ; 若 A 作品获一等奖 , 则没有一个同学说的是正确的 ; 若 C 作品获得一等奖 , 则甲、丙、丁三人说的话都正确 ; 若 D 作品获一等奖 , 则只有甲说的话是对的 , 故只能选 B . (2) 因为丁的猜测只对了一个 , 所以 “ 甲买的是奇瑞 , 乙买的不是奇瑞 ” 这两个都是错误的 . 否则 “ 甲买的不是奇瑞 , 乙买的不是奇瑞 ” 或 “ 甲买的是奇瑞 , 乙买的是奇瑞 ” 是正确的 , 这与三人各买了一辆不同的品牌矛盾 ,“ 丙买的不是吉利 ” 是正确的 , 所以乙买的是奇瑞 , 甲买的是吉利 , 选 A . - 36 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 思考 如何解决生活中的合情推理问题 ? 思路分析 (1) 首先假设每一项作品若获得一等奖 , 看看下边对应的预测 , 分析分别有几个同学说的是对的 , 如果有两位同学说的是对的 , 那就是该问题对应的那个结果 , 如果不是两位同学说的是对的 , 那就说明不是该作品获一等奖 . (2) 因为丁的猜测只对了一个 , 所以我们从 “ 甲买的是奇瑞 , 乙买的不是奇瑞 ” 这两个判断着手就可以方便地解决问题 . 解题心得 在进行合情推理时 , 要依据一定的 “ 规则 ”—— 已知条件、公式、法则、推理等 . 只有不断地观察、比较、分析、推理 , 才能得到正确的答案 . - 37 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 对点训练 4 (1)(2018 内蒙古呼和浩特调研一 ,16) 某煤气站对外输送煤气时 , 用 1 ~ 5 号 5 个阀门控制 , 且必须遵守以下操作规则 : ① 若开启 2 号 , 则必须同时开启 3 号并且关闭 1 号 ; ② 若开启 1 号或 3 号 , 则关闭 5 号 ; ③ 禁止同时关闭 4 号和 5 号 , 现要开启 2 号 , 则同时开启的另外 2 个阀门是 　　 　 .  3 号和 4 号 - 38 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 (2)(2018 山东寿光期末 ,11)“ 干支纪年法 ” 是中国历法上自古以来使用的纪年方法 , 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为 “ 十天干 ”, 子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做 “ 十二地支 ” . “ 天干 ” 以 “ 甲 ” 字开始 ,“ 地支 ” 以 “ 子 ” 字开始 , 两者按干支顺序相配 , 组成了干支纪年法 , 其相配顺序为 : 甲子、乙丑、丙寅 ,…, 癸酉 , 甲戌 , 乙亥 , 丙子 ,…, 癸未 , 甲申、乙酉、丙戌 ,…, 癸巳 ,…, 共得到 60 个组成 , 周而复始 , 循环记录 ,2014 年是 “ 干支纪年法 ” 中的甲午年 , 那么 2020 年是 “ 干支纪年法 ” 中的 ( 　　 ) A. 乙亥年 B. 戊戌年 C. 庚子年 D. 辛丑年 C - 39 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 解析 : (1) 由题意得 : ① 若开启 2 号 , 则必须同时开启 3 号并且关闭 1 号 ; ② 若开启 1 号或 3 号 , 则关闭 5 号 ; ③ 禁止同时关闭 4 号和 5 号 , 故要开启 4 号阀门 . ∴ 现在要开启 2 号阀门 , 则同时开启的 2 个阀门是 3 和 4 . 故答案为 3 号和 4 号 . (2)2015 年是 “ 干支纪年法 ” 中的乙未年 ,2016 年是 “ 干支纪年法 ” 中的丙申年 , 那么 2017 年是 “ 干支纪年法 ” 中的丁酉年 ,2018 是戊戌年 ,2019 年是己亥年 , 以此类推得到 2020 年是庚子年 . 故选 C . - 40 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 1 . 合情推理与演绎推理的区别 (1) 归纳推理是由特殊到一般的推理 ; (2) 类比推理是由特殊到特殊的推理 ; (3) 演绎推理是由一般到特殊的推理 ; (4) 从推理的结论来看 , 合情推理的结论不一定正确 , 有待证明 ; 而演绎推理若大前提、小前提和推理形式正确 , 得到的结论一定正确 . 2 . 在数学研究中 , 在得到一个新结论前 , 合情推理能帮助猜测和发现结论 . 在证明一个数学结论之前 , 合情推理常常能为证明提供思路与方向 . 数学结论的证明主要通过演绎推理来进行 . 3 . “ 三段论 ” 式的演绎推理一定要保证大前提正确 , 且小前提是大前提的子集关系 , 这样经过正确推理 , 才能得出正确结论 . - 41 - 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 1 . 演绎推理常用来证明和推理数学问题 , 要 注意 推理过程的严密性 , 书写格式的规范性 . 2 . 合情推理中运用猜想时不能凭空想象 , 要有猜想或拓展依据 . - 42 - 易错警示 —— 归纳不准确致 误 典例 如图所示 , 坐标纸上的每个单元格的边长为 1, 由下往上的六个点 :1,2,3,4,5,6 的横、纵坐标分别对应数列 { a n }( n ∈ N + ) 的前 12 项 , 如表所示 . 按如此规律下去 , 则 a 2 013 +a 2 014 +a 2 015 等于 ( 　　 ) A.1 004 B.1 007 C.1 011 D.2 014 - 43 - 易错分析 : 本题中的 “ 按如此规律下去 ” 就是要求由题目给出的 6 个点的坐标和数列的对应关系 , 归纳出该数列的一般关系 . 可能出现的错误有两种 : 一是归纳时找不准 “ 前几项 ” 的规律 , 胡乱猜测 ; 二是弄错奇、偶项的关系 . 本题中各个点的纵坐标对应数列的偶数项 , 并且逐一递增 , 即 a 2 n =n ( n ∈ N + ), 各个点的横坐标对应数列的奇数项 , 正负交替后逐一递增 , 并且满足 a 4 n- 3 +a 4 n- 1 = 0( n ∈ N + ), 如果弄错这些关系就会得到错误的结果 , 如认为当 n 为偶数时 a n =n , 就会得到 a 2 013 + a 2 014 +a 2 015 = 2 014 的错误结论 , 而选 D . 答案 : B 解析 : a 1 = 1, a 2 = 1, a 3 =- 1, a 4 = 2, a 5 = 2, a 6 = 3, a 7 =- 2, a 8 = 4, … , 这个数列的规律是奇数项为 1, - 1,2, - 2,3, … , 偶数项为 1,2,3, … , 故 a 2 013 +a 2 015 = 0 , a 2 014 = 1 007, 故 a 2 013 +a 2 014 +a 2 015 = 1 007 .