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- 2021-04-15 发布
2019-2020学年度第一学期永泰一中期中联考
高中三年文科数学试卷
完卷时间：120分钟 满 分：150分
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：每小题各5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2. 若复数满足，则的共轭复数=（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数是奇函数，则实数（ ）
A． B． C． D．
4.已知 ，， ， 则( )
A． B． C． D．
5.若向量，是非零向量，则“”是“，夹角为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.函数在的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
7.已知定义在R上的奇函数满足，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8.在中，，则的最大值为( )
A． B． C. D．
9.已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且，则向量＝（ ）
A． B． C． D．
10.函数（， ）的最小正周期是，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（ ）
A. 关于点对称 B. 关于直线对称
C. 关于点对称 D. 关于直线对称
11.若，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数的定义域为，其图象关于点中心对称，其导函数，当时， ，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：每小题各5分, 共20分．把答案填在答题卡的相应位置上．
13.函数的单调递增区间是 ．
14.等差数列的前项和为，若，则 .
15.若，满足约束条件，则的最大值为__________．
16.已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
三、 解答题：本大题共6题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分10分）
为等差数列的前项和，已知，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证.
18. （本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）若求的值；
（Ⅱ）求函数最小正周期及单调递减区间．
19. （本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数在的最值.
20．(本小题满分12分)
已知数列满足，，其中为数列的前n项和.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.
21. （本小题满分12分）
如图，四边形中，，，设.
（Ⅰ）若面积是面积的4倍，求；
（Ⅱ）若，求.
22. （本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ） 设函数，求函数h（x）的极值；
（Ⅱ） 若在[1，e]上存在一点x0，使得成立，求a的取值范围．
参考答案
一． 选择题：（各5分, 共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答题
C
D
B
C
C
B
A
C
C
B
D
C
二. 填空题（各5分, 共20分）
13． ；（也正确） 14． 52；
15. 9； 16.
三、解答题：共70分
17、解：（1）由设数列的公差为，则
………………………………2分
解得， ……………………………………3分
……………………………4分
所以是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为
……………………………5分
（2）由
……………………7分
……………………………10分
18、解：
………………………………………2分
=…………………………………………4分
=…………………………………………6分
（2）
=…………………………………………8分
的最小正周期为T=…………………………………………9分
由，解得
…………………………………………11分
所以的单调递减区间为…………………12分
19、解：（1），………………………………1分
则，………………………………4分
．………………………………6分
（2）的定义域为，，
令，则，………………………………………………8分
· 当时，，单调递减；
· 当时，，单调递增，………………………10分
，∵，，且，
∴．………………………………………………12分
20、解：（1）.由，，当时，可得.…………………………1分
当时，，两式相减得：，即，
…………………………3分
且.…………………………4分
故是以1为首项，3为公比的等比数列。…………………………5分
所以………………………………………6分
（2）.由题意，所以.…………7分
所以…………………8分
相减得…………………9分
…………………………………………………11分
…………………………………………12分
21、解：（1）设，则，，，………………………………2分
由题意，
则，………………………………4分
所以.………………………………5分
（2）由正弦定理，中，，即①
………………………………7分
中，，即②
……………………………9分
①÷②得：，化简得，……………11分
所以.………………………………12分
22、解：（Ⅰ） 依题意，定义域为（0, +∞），
∴, …………3分
①当a+1＞0，即a＞时，令，∵x＞0，∴0＜x＜1+ a,
此时，h（x） 在区间（0, a+1）上单调递增，
令，得 x＞1+ a．
此时，h（x）在区间（a+1,+∞）上单调递减． …………………………4分②当a+1≤0，即a≤时，恒成立， h（x）在区间（0,+∞）上单调递减． ………5分
综上，当a＞时，h（x）在x＝1+a处取得极大值h（1+a）＝，无极小值；
当a≤时，h（x）在区间（0,+∞）上无极值． …………………6分
（Ⅱ）依题意知，在[1, e]上存在一点x0，使得成立,即在[1, e]上存在一点x0，使得h（x0）≥0，
故函数在[1, e]上，有h（x）max≥0． ………………8分
由（Ⅰ）可知，①当a+1≥e, 即a≥时，h（x）在[1, e]上单调递增，
∴, ∴,
∵，∴． ……………………9分
②当0＜a+1≤1，或a≤，即a≤0时，h（x）在[1, e]上单调递减，
∴，∴a ≤． ……………………………10分
③当1＜a+1＜e，即0＜a＜时，
由（Ⅱ）可知，h（x）在x＝1+a处取得极大值也是区间（0, +∞）上的最大值，
即h（x）max＝h（1+a）＝，
∵0＜ln（a+1）＜1, ∴h（1+a）＜0在[1, e]上恒成立，
此时不存在x0使h（x0）≥0成立．…………………………………………11分
综上可得，所求a的取值范围是或a≤． ……………………12分