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- 2021-04-15 发布
3.1 导数的概念及运算
最新考纲
考情考向分析
1.了解导数概念的实际背景．
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义．
3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.
1．导数与导函数的概念
(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，
即f′(x0)＝＝.
(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区(a，b)间内的导函数．记作f′(x)或y′.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sinx
f′(x)＝cosx
f(x)＝cosx
f′(x)＝－sinx
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝axlna
f(x)＝lnx
f′(x)＝
f(x)＝logax(a>0，a≠1)
f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
知识拓展
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( × )
(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( × )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )
(4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx．( × )
题组二 教材改编
2．[P85A组T5]若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝.
答案 2e
解析 ∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
3．[P85A组T7]曲线y＝在点M(π，0)处的切线方程为．
答案 x＋πy－π＝0
解析 ∵y′＝，∴y′|x＝π＝＝－，
∴切线方程为y＝－(x－π)，即x＋πy－π＝0.
题组三 易错自纠
4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
答案 D
解析 由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.
又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.
5．有一机器人的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为( )
A.B.C.D.
答案 D
6．(2018·青岛调研)已知f(x)＝x2＋2xf′(2018)＋2018lnx，则f′(2018)等于( )
A．2018 B．－2019
C．2019 D．－2018
答案 B
解析 由题意得f′(x)＝x＋2f′(2018)＋，
所以f′(2018)＝2018＋2f′(2018)＋，
即f′(2018)＝－(2018＋1)＝－2019.
7．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝.
答案 1
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1，
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，
又点(2,7)在切线上，可得a＝1.
题型一 导数的计算
1．f(x)＝x(2018＋lnx)，若f′(x0)＝2019，则x0等于( )
A．e2B．1C．ln2D．e
答案 B
解析 f′(x)＝2018＋lnx＋x×＝2019＋lnx，故由f′(x0)＝2019，得2019＋lnx0＝2019，则lnx0＝0，解得x0＝1.
2．(2018·上海质检)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A．－1B．－2C．2D．0
答案 B
解析 f′(x)＝4ax3＋2bx，
∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，
∴f′(－1)＝－2.
3．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝.
答案 －4
解析 ∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2.
∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.
思维升华导数计算的技巧
求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量．
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
典例 (1)曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为．
答案 2x＋y＋1＝0
解析 根据题意可知切点坐标为(0，－1)，
f′(x)＝＝，
故切线的斜率k＝f′(0)＝＝－2，
则直线的方程为y－(－1)＝－2(x－0)，
即2x＋y＋1＝0.
(2)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为．
答案 x－y－1＝0
解析 ∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，
∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋lnx，
∴直线l的方程为y＋1＝(1＋lnx0)x.
∴由
解得x0＝1，y0＝0.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
引申探究
本例(2)中，若曲线y＝xlnx上点P的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是．
答案 (e，e)
解析 y′＝1＋lnx，令y′＝2，即1＋lnx＝2，
∴x＝e，∴点P的坐标为(e，e)．
命题点2 求参数的值
典例 (1)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b＝.
答案 1
解析 由题意知，y＝x3＋ax＋b的导数y′＝3x2＋a，
则
由此解得k＝2，a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.
(2)(2018届东莞外国语学校月考)曲线y＝4x－x2上两点A(4,0)，B(2,4)，若曲线上一点P
处的切线恰好平行于弦AB，则点P的坐标是( )
A．(3,3) B．(1,3)
C．(6，－12) D．(2,4)
答案 A
解析 设点P(x0，y0)，∵A(4,0)，B(2,4)，
∴kAB＝＝－2.
∵在点P处的切线l平行于弦AB，∴kl＝－2.
∴根据导数的几何意义知，曲线在点P的导数
＝＝4－2x0＝－2，
即x0＝3，∵点P(x0，y0)在曲线y＝4x－x2上，
∴y0＝4x0－x＝3，∴P(3,3)．
命题点3 导数与函数图象
典例 (1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
答案 B
解析 由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.
(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝.
答案 0
解析 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－.
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由题图可知f(3)＝1，
∴g′(3)＝1＋3×＝0.
思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)．
(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．
(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．
跟踪训练 (1)(2017·山西孝义模拟)已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)过点P(－1,0)的切线方程是．
答案 y＝0或4x＋y＋4＝0
解析 设切点坐标为(x0，x)，
∵f′(x)＝2x，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，
∴x＝2x0(x0＋1)，解得x0＝0或x0＝－2，
∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，
即y＝0或4x＋y＋4＝0.
(2)设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝.
答案 －1
解析 ∵y′＝，∴＝－1.
由条件知＝－1，∴a＝－1.
求曲线的切线方程
典例若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值．
错解展示：
现场纠错
解 易知点O(0,0)在曲线y＝x3－3x2＋2x上．
(1)当O(0,0)是切点时，
由y′＝3x2－6x＋2，得y′|x＝0＝2，
即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x.
由得x2－2x＋a＝0，
依题意Δ＝4－4a＝0，得a＝1.
(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，则y0＝x－3x＋2x0，k＝＝3x－6x0＋2，①
又k＝＝x－3x0＋2，②
联立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，所以k＝－，
故直线l的方程为y＝－x.
由得x2＋x＋a＝0，
依题意知Δ＝－4a＝0，得a＝.
综上，a＝1或a＝.
纠错心得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况．
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( )
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
答案 C
解析 f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)·(2x－2a)＝(x－a)·(x－a＋2x＋4a)＝3(x2－a2)．
2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是( )
答案 C
解析 原函数的单调性是当x<0时，f(x)单调递增；
当x>0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增，
故当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)的符号变化依次为＋，－，＋.故选C.
3．(2017·西安质检)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3)
答案 C
解析 f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.
4．若直线y＝x是曲线y＝x3－3x2＋px的切线，则实数p的值为( )
A．1B．2C.D．1或
答案 D
解析 ∵y′＝3x2－6x＋p，设切点为P(x0，y0)，
∴
解得或
5．(2018·广州调研)已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为( )
A．eB．－eC.D．－
答案 C
解析 y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，
设切点为(x0，lnx0)，则＝，
切线方程为y－lnx0＝(x－x0)，
因为切线过点(0,0)，所以－lnx0＝－1，
解得x0＝e，故此切线的斜率为.
6．(2017·重庆诊断)已知函数f(x)＝＋sinx，其导函数为f′(x)，则f(2019)＋f(－2019)＋f′(2019)－f′(－2019)的值为( )
A．0B．2C．2017D．－2017
答案 B
解析 ∵f(x)＝＋sinx，
∴f′(x)＝－＋cosx，
f(x)＋f(－x)＝＋sinx＋＋sin(－x)＝2，f′(x)－f′(－x)＝－＋cosx＋－cos(－x)＝0，
∴f(2019)＋f(－2019)＋f′(2019)－f′(－2019)＝2.
7．已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为．
答案 3
解析 f′(x)＝a＝a(1＋lnx)，
由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.
8．(2016·全国Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是．
答案 2x－y＝0
解析 设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x，因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，故f′(1)＝2，所以曲线在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
9．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，P点处切线倾斜角α的取值范围为．
答案 ∪
解析 因为y′＝3x2－≥－，故切线斜率k≥－，
所以切线倾斜角α的取值范围是∪.
10．(2018·成都质检)已知f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．
(1)若f(1)＝1，则f(－1)＝；
(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则h(－1)，h(0)，h(1)的大小关系为．(用“<”连接)
答案 (1)1 (2)h(0)