数学理卷·2018届北京师大附中高三上学期期中考试（2017 7页

北京师大附中2018届上学期高中三年级期中考试数学试卷（理科）‎ 本试卷共150分，考试时间120分钟.‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题纸上.‎ ‎1. 已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎2. 设命题，则为（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎3. 已知为等差数列，为其前n项和.若，则=（ ）‎ ‎（A）6 （B）12 （C）15 （D）18‎ ‎4. 设函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ）‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎5. 设函数的图象为C，下面结论中正确的是（ ）‎ ‎（A）函数的最小正周期是 ‎（B）图象C关于点对称 ‎（C）图象C可由函数的图象向右平移个单位得到 ‎（D）函数在区间上是增函数 ‎6. 若则a，b，c的大小关系是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7. 设D为不等式组表示的平面区域，点B（1，b）为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点A（x，y），都有成立，则b的最大值等于（ ）‎ ‎（A）1 （B）2‎ ‎（C）0 （D）3‎ ‎8. 已知函数，。若函数 ‎ 恰有6个不同的零点，则的取值范围是( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题纸上.‎ ‎9. 若等比数列满足，则前n项和=______________.‎ ‎10. 若，且，则的最小值是___________.‎ ‎11. 已知向量a，b不共线，若∥，则实数=___________.‎ ‎12. 设向量，向量，向量，若∥且，则与的夹角大小为_______.‎ ‎13. 在△ABC中，∠C=120°，，则_______________‎ ‎14. 对有限数列，定义集合，集合S中不同的元素个数记为 ‎（1）若，则=_________；‎ ‎（2）若有限数列是单调递增数列，则最小值为_____________‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15. 设函数，其中向量，，，且的图象经过点.‎ ‎（I）求实数m的值；‎ ‎（II）求函数的最小值及此时x值的集合.‎ ‎16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.‎ ‎（1）求角C；‎ ‎（2）若,△ABC的面积为，D为AB的中点，求sin∠BCD.‎ ‎17. 已知数列的前n项和，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前n项和.‎ ‎18. 已知函数，，且.‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）判断对应的曲线的交点个数，并说明理由.‎ ‎19. 设函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若在区间上恒成立，求a的最小值.‎ ‎20. 现有m个（）实数，它们满足下列条件：①，‎ ‎②记这m个实数的和为，‎ 即.‎ ‎（1）若，证明：；‎ ‎（2）若m=5，满足题设条件的5个实数构成数列.设C为所有满足题设条件的数列构成的集合.集合，求A中所有正数之和；‎ ‎（3）对满足题设条件的m个实数构成的两个不同数列与，证明：.‎ 参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 B B A C B D A D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9. 10. 64 11. 12. 13. 2‎ ‎14. 6；‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.‎ ‎15. 解：（I），‎ 由已知，得.‎ ‎（II）由（I）得，‎ ‎∴当时，的最小值为，‎ 由，得x值的集合为.‎ ‎16. （1）由，得，‎ 由正弦定理可得 因为，所以，因为，‎ 所以. 5分 ‎（2）因为，故△ABC为等腰三角形，且顶角， 6分 故， 7分 所以，在△DBC中，由余弦定理得，‎ 所以，‎ 在△DBC中，由正弦定理可得，即，‎ 所以.‎ ‎17. 1.（1）由，‎ 当时，.‎ 当时，，而，‎ 所以数列的通项公式，.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 当n为偶数时，，‎ 当n为奇数时，n+1为偶数，.‎ 综上，‎ ‎18. 解（1）由已知可得的对称轴是，因此 ‎（2）考虑 列表可知，仅有一个根x=0，先减后增，在x=0处取得最小值0，‎ 即.因此单调递增，注意到，可得对应的曲线只有1个交点 ‎19. 解：（I）设切线的斜率为k ‎ ‎ 因为，切点为（1,0）.‎ 切线方程为，化简得：.‎ ‎（II）要使：在区间（0，+∞）恒成立，‎ 等价于：在（0，+∞）恒成立，‎ 等价于：在（0，+∞）恒成立 因为 ‎①当时，，不满足题意 ‎②当时，令，则或（舍）.‎ 所以时，在上单调递减；‎ 时，在上单调递增；‎ 当时 当时，满足题意 所以，得到a的最小值为 ‎20.（1）证明：由题意知，，所以或.‎ 当时，数列前m-1项和在各项取正数时取最大值，所以的最大值为 ‎.不合题意，舍去.‎ 当时，‎ ‎.‎ 所以，.‎ ‎（2）解：若，由（I）知，.由题意知，.所以满足题意的所有数列为1,2,4,8,16；-1,2,4,8,16；1，-2,4,8,16；1,2，-4,8,16；…共16个.在这16个数列中，除最后一项外，其他各项正、负各取8次，求和时正负相抵.从而，A中正数之和为16×16=256.‎ ‎（3）证明：设使得，，，，…m，则 ‎，‎ 所以.‎