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- 2021-04-15 发布
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数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解不等式,即可得集合A、集合B，将作为全集，即可求得集合的补集．
【详解】因为集合，
解得，
则
所以
所以选C
【点睛】本题考查了集合交集、并集、补集的混合运算，尤其要注意边界等号的取舍问题，属于基础题．
2.（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
根据诱导公式和两角差的正弦公式进行化简，由此求得正确选项.
【详解】依题意，原式，故选A.
【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查两角差的正弦公式，属于基础题.
3. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 的定义域是 B. 的值域为
C. 的递减区间为 D. 的最小正周期是
【答案】D
【解析】
本题考查函数的定义域与值域
当时，无意义，A错；
函数的定义域为，且为增函数 ，则，B错；
函数的定义域为，且在区间和区间都递减，但当时，当时，故C错；
由得其周期为，故D正确
正确答案为D
4.已知，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：由条件利用诱导公式求得，再利用同角三角函数基本关系求得的值.
详解：因为，
所以，
则，故选B.
点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简三角函数式是解答的关键，特别属于符号的选取，这是解答的一个易错点，属于基础题，着重考查了推理与运算能力.
5.化简(a, b为正数)的结果是（ ）
A. B. ab C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数幂的运算，直接计算即可得出结果.
【详解】原式=
故选C
【点睛】本题主要考查指数幂的化简，熟记运算法则即可，属于常考题型.
6.若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出的值，结合，可得
，可求出答案.
【详解】由题意，，则，
由于，则.
故选A.
【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的应用，考查了三角函数求值，属于基础题.
7.已知函数，若其图象是由图象向左平移（）个单位得到，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由，而的图象向左平移个单位后的解析式为，只需，，即可求出的最小值为.
【详解】由，
所以，函数的图象向左平移个单位后的解析式为，从而，，有的最小值为．故选C．
【点睛】本题考查了三角函数恒等变换，三角函数图象的平移变换，属于基础题．
8.设是方程的两个实根，则的最小值是（ ）
A. B. 8 C. 18 D. 不存在
【答案】B
【解析】
∵α、β是方程x2−2kx+k+6=0的两个实根，
∴判别式△=4k2−4(k+6)=4(k−3)(k+2)⩾0，
解得k⩾3，或k⩽−2
且，则：
故当k=3时，有最小值是，
本题选择B选项.
点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
9.已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意得出函数在上单调递增，比较，，的大小，结合函数的单调性即可得出的大小关系.
【详解】因为函数在上单调递减，且的图象关于直线对称
所以函数在上单调递增
又因为，所以，即
故选:D.
【点睛】本题主要考查了函数的对称性的应用以及利用函数单调性比较大小，属于中档题.
10.函数，的图象可能是下列图象中的( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断出函数奇偶性，再由和时范围，即可得出结果.
【详解】因为，所以为偶函数，图像关于轴对称，
排除A;
因为当时，，所以排除C;
因为当时，，所以，所以排除B;故选D.
【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数性质即可，属于常考题型.
11.已知函数，，当时，方程的所有实根之和为（ ）
A. -2 B. -1
C. 0 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
作出函数，在的图像，判断图像的对称性，观察图像的交点个数，利用对称性求出所有交点横坐标的和可解.
【详解】作出函数，在的图像，由反比例函数及三角函数性质，
的图像都关于点P对称，所以它们的交点关于点P对称.两个函数图像在有2个交点，所以方程在有4个根，，，所有实根之和为.故选A.
【点睛】本题考查函数的图像与方程根的问题，函数图像的对称性，属于基础题.
12.已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围为( )
A. [－，] B. [1，]
C. [2,3] D. [1,2]
【答案】B
【解析】
【分析】
由二次函数的性质可得：t≥1，利用二次函数的性质将“对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2”转化为：“f(0)－f(t)≤2成立”，解不等式即可．
【详解】由于函数f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为x＝t，
且函数f(x)＝x2－2tx＋1在区间(－∞，1]上单调递减，
所以t≥1.
则在区间[0，t＋1]上，0距对称轴x＝t最远，故要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，
只要f(0)－f(t)≤2即可，即1－(t2－2t2＋1)≤2，
求得－≤t≤.
再结合t≥1，可得1≤t≤.
故选B..
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及转化能力，还考查了计算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数的单调递减区间为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域，然后利用复合函数同增异减法求出该函数的单调递减区间.
【详解】由题意得，即，解得.
内层函数的单调递增区间为，单调递减区间为，而外层函数为减函数，
因此，函数的单调递减区间为.
故答案为.
【点睛】本题考查复合型对数函数单调区间的求解，首先应求出函数的定义域，然后分析出内层函数和外层函数的单调性，最后利用复合函数同增异减法得出函数的单调区间，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14.如图，在中， ，以为圆心、为半径作圆弧交于点．若圆弧等分的面积，且弧度，则=________.
【答案】
【解析】
设扇形的半径为，则扇形的面积为，直角三角形中， ，
，面积为，由题意得，∴，∴，故答案为.
点睛：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题；设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出与的关系，即可得出结论.
15.已知定义在上的函数满，当时，，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由可得周期为4，再利用周期性，再利用求解即可．
【详解】由题，，所以，故周期为4．所以，又，故．
【点睛】本题考查周期性，在求较大数的函数值时可以先利用周期性将自变量变换到较小的数，再根据题目函数性质，将自变量变换到已知函数表达式的定义域中进行求解．
16.已知函数是奇函数，当时，，若不等式 且对任意的恒成立，则实数的取值范围是____
【答案】
【解析】
【分析】
先求出在的解析式，不等式且对任意的恒成立，转化为在上恒成立，分为和讨论即可．
【详解】函数是奇函数，当时，，
∴，
设，则，∴
∴，
∵不等式且对任意的恒成立，
∴且对任意的恒成立，
∴，即，
当时，，而，故时不合题意；
当时，令，
当时，函数单调递增，
∴，即
∴，
，解得，此时，
综上所述的取值范围为．
故答案为.
【点睛】本题主要考查恒成立问题，通过研究函数的单调性，借助于最值求出参数的范围，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.已知 的值域为集合A，定义域为集合B，其中．
（1）当，求；
（2）设全集为R，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）欲求，先求A,B，再求他们交集即可
（2）由条件，先求，对m进行分类讨论，结合端点的不等关系，可得出m的取值范围
【详解】（1）
，此时成立.
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考察对数函数的定义域，指数函数的值域，集合的包含关系的判断及应用，相对较综合，值得一提的是分类讨论思想，遇到不确定的情况我们要进行分类讨论，注意分类的标准，然后再分类下每一类下求交集，再将所有分类的结果求并集
18.（1）已知函数y＝ln（－x2＋x－a）的定义域为（－2,3），求实数a的取值范围；
（2）已知函数y＝ln（－x2＋x－a）在（－2,3）上有意义，求实数a的取值范围．
【答案】（1）-6 （2）a≤－6
【解析】
【详解】试题分析：解 （1）据题意，不等式－x2＋x－a>0的解集为（－2,3），
∴方程－x2＋x－a＝0的两根分别为－2和3．
∴a＝（－2）×3＝－6．
（2）据题意，不等式－x2＋x－a>0的解集{x|－x2＋x－a>0}⊇（－2,3），
∴方程f（x）＝－x2＋x－a＝0的两根分别在（－∞，－2]和[3，＋∞）内．
∴．
∴a的取值范围为a≤－6．
考点：一元二次不等式的解集
点评：主要是考查了二次不等式的求解，以及方程根的问题，属于中档题．
19.已知函数．
（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；
（2）讨论函数在上的单调性．
【答案】（1）最小正周期，对称轴方程为，；（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减．
【解析】
分析：（1）利用二倍角公式、两角和的余弦公式化简函数表达式，再利用周期公式和整体思想进行求解；（2）利用整体思想和三角函数的单调性进行求解．
详解：（1） ，
因为，所以最小正周期，
令，所以对称轴方程为，．
（2）令，得，，
设，，
易知，
所以，当时，区间上单调递增；在区间上单调递减．
【名师点睛】本题考查二倍角公式、两角和公式、辅助角公式、三角函数的图象和性质等知识，意在考查学生的转化能力和基本计算能力．
20.如图，已知底角为的等腰梯形，底边长为，腰长为，当一条垂直于底边（垂足为）的直线从左至右移动（与梯形有公共点）时，直线把梯形分成两部分，令，
（1）试写出直线左边部分的面积与的函数．
（2）已知，,若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）过A、D分别作于G，于H，由平面图形的知识可得线段长度，由面积公式分段可得函数解析式；（2）化简A、B集合，由可得，得到关于a 的不等式，从而求出的取值范围．
【详解】（1）过A、D分别作于G，于H，
因为ABCD是等腰梯形，底角为，AB=cm ，
所以BG=AG=DH=HC=2cm ,
又BC=7cm ，所以AD=GH=3cm，
（1）当点F在BG上，即时，；
（2）当点F在GH上，即时，；
（3）当点F在GH上，即时，
=
=，即
所以函数解析式为；
（2）因为，
所以点F必在GH上，
即
解得，
所以
由，得
所以a的取值范围为
【点睛】本题考查结合平面几何求函数的解析式及集合的包含关系，属于基础题．
21.若函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0， 的部分图象如图所示．
（I）设x∈（0， ）且f（α）= ，求sin 2α的值；
（II）若x∈[ ]且g（x）=2λf（x）+cos（4x﹣）的最大值为，求实数λ的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
【详解】（Ⅰ）由图得，A=2．
，解得T=π，
于是由T=，得ω=2．
∵，即，
∴，即，k∈Z，又，故，
∴．
由已知，即，
因为，所以，
∴．
∴=
=
=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
=
=
=，…
∵x∈，于是0≤≤，
∴0≤≤1．
①当λ＜0时，当且仅当=0时，g（x）取得最大值1，与已知不符．
②当0≤λ≤1时，当且仅当=λ时，g（x）取得最大值2λ2+1，
由已知得2λ2+1=，解得λ=．
③当λ＞1时，当且仅当=1时，g（x）取得最大值4λ﹣1，
由已知得4λ﹣1=，解得λ=，矛盾．
综上所述，λ=．
点睛：由三角函数的图象求函数的解析式的一般思路：先利用最高点和最低点的纵坐标列出关于的方程组求得值，利用相邻零点间的距离、相邻对称轴间的距离、零点和对称轴间的距离求出值，再代入最高点或最低点的坐标求出值.
22.已知.
（1）当时，若恰好存在两个实数使得，求实数的取值范围；
（2）若，函数在上不单调，且它的图象与轴相切，记，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）有两个解，由图象可知有两个不等的根且无根，所以总判别式，解不等式可解．（2）由题意可得，
，对称轴在内，解得，由，得，令可求得范围．
试题解析：可得方程有两个不等的根且无根，所以可得
(2)由，函数在上不单调，且它的图象与轴相切，可得
即，由，得，
令，且