2019届二轮复习回扣1　集合、常用逻辑用语、不等式与推理证明课件（53张）（全国通用） 53页

回扣 1 　集合、常用逻辑用语、不等式与推理证明 板块四　考前回扣 回归教材 易错提醒 内容索引 回扣训练 回归教材 1. 集合 (1) 集合的运算性质 ① A ∪ B ＝ A ⇔ B ⊆ A ； ② A ∩ B ＝ B ⇔ B ⊆ A ； ③ A ⊆ B ⇔∁ U A ⊇∁ U B . (2) 子集、真子集个数计算公式 对于含有 n 个元素的有限集合 M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 2 n ,2 n － 1,2 n － 1,2 n － 2. (3) 集合运算中的常用方法 若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用 Venn 图求解 . 2. 四种命题及其相互关系 (1) (2) 互为逆否命题的两命题同真同假 . 3. 含有逻辑联结词的命题的真假 (1) 命题 p ∨ q ：若 p ， q 中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真 . (2) 命题 p ∧ q ：若 p ， q 中至少有一个为假，则命题为假命题， p ， q 同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真 . (3) 命题 綈 p ：与命题 p 真假相反 . 4. 全称命题、特称 ( 存在性 ) 命题及其否定 (1) 全称命题 p ： ∀ x ∈ M ， p ( x ) ，其否定为特称 ( 存在性 ) 命题 綈 p ： ∃ x 0 ∈ M ， 綈 p ( x 0 ). (2) 特称 ( 存在性 ) 命题 p ： ∃ x 0 ∈ M ， p ( x 0 ) ，其否定为全称命题 綈 p ： ∀ x ∈ M ， 綈 p ( x ). 5. 充分条件与必要条件的三种判定方法 (1) 定义法：正、反方向推理，若 p ⇒ q ，则 p 是 q 的充分条件 ( 或 q 是 p 的必要条件 ) ；若 p ⇒ q ，且 q ⇏ p ，则 p 是 q 的充分不必要条件 ( 或 q 是 p 的必要不充分条件 ). (2) 集合法：利用集合间的包含关系 . 例如，若 A ⊆ B ，则 A 是 B 的充分条件 ( B 是 A 的必要条件 ) ；若 A  B ，则 A 是 B 的充分不必要条件 ( B 是 A 的必要不充分条件 ) ；若 A ＝ B ，则 A 是 B 的充要条件 . (3) 等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题 . 6. 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步骤：一化 ( 将二次项系数化为正数 ) ；二判 ( 判断 Δ 的符号 ) ；三解 ( 解对应的一元二次方程 ) ；四写 ( 大于取两边，小于取中间 ). 解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑： ① 二次项系数，它决定二次函数的开口方向； ② 判别式 Δ ，它决定根的情形，一般分 Δ >0 ， Δ ＝ 0 ， Δ <0 三种情况； ③ 在有根的条件下，要比较两根的大小 . 7. 一元二次不等式的恒成立问题 (2) 在利用基本不等式求最值时，要特别注意 “ 拆、拼、凑 ” 等技巧，满足基本不等式中 “ 正 ” 、 “ 定 ” 、 “ 等 ” 的条件 . 10. 线性规划 (1) 可行域的确定， “ 线定界，点定域 ”. (2) 线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得 . (3) 线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个 . 11. 推理 推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论 . 合情推理的思维过程 (1) 归纳推理的思维过程 12. 证明方法 (1) 分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知 . 推理模式 框图表示 (2) 综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知 . 推理模式 (3) 反证法 一般地，假设原命题不成立 ( 即在原命题的条件下，结论不成立 ) ，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法 . 易错提醒 1. 描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义 —— 抓住集合的代表元素 . 如 { x | y ＝ lg x }—— 函数的定义域； { y | y ＝ lg x }—— 函数的值域； {( x ， y )| y ＝ lg x }—— 函数图象上的点集 . 2. 易混淆 0 ， ∅ ， {0} ： 0 是一个实数； ∅ 是一个集合，它含有 0 个元素； {0} 是以 0 为元素的单元素集合，但是 0 ∉∅ ，而 ∅⊆ {0}. 3. 集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性 . 4. 空集是任何集合的子集 . 由条件 A ⊆ B ， A ∩ B ＝ A ， A ∪ B ＝ B 求解集合 A 时，务必分析研究 A ＝ ∅ 的情况 . 5. 区分命题的否定与否命题，已知命题为 “ 若 p ，则 q ” ，则该命题的否定为 “ 若 p ，则 綈 q ” ，其否命题为 “ 若 綈 p ，则 綈 q ”. 6. 在对全称命题和特称 ( 存在性 ) 命题进行否定时，不要忽视对量词的改变 . 7. 对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论 . 8. 判断命题的真假要先明确命题的构成 . 由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算 . 9. 不等式两端同时乘一个数或同时除以一个数时，如果不讨论这个数的正负，容易出错 . 10. 解形如 ax 2 ＋ bx ＋ c >0( a ≠ 0) 的一元二次不等式时，易忽视系数 a 的讨论导致漏解或错解，要注意分 a >0 ， a <0 进行讨论 . 13. 解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中 y 的系数的正负；注意最优整数解 . 15. 类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象 ( 某一点表面相似 ) 迷惑，应从本质上类比 . 用数学归纳法证明时，易盲目以为 n 0 的起始值为 1 ，另外注意证明传递性时，必须用 n ＝ k 成立的归纳假设 . 回扣训练 1. 已知集合 M ＝ { x |log 2 x <3} ， N ＝ { x | x ＝ 2 n ＋ 1 ， n ∈ N } ，则 M ∩ N 等于 A.(0,8) B .{3,5,7} C.{0,1,3,5,7} D .{1,3,5,7} 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 答案 √ 解析　 ∵ M ＝ { x |0< x <8} ， 又 N ＝ { x | x ＝ 2 n ＋ 1 ， n ∈ N } ， ∴ M ∩ N ＝ {1,3,5,7} ，故选 D. 2. 下面几种推理过程是演绎推理的是 A. 由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质 B. 所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电 C. 高一参加军训的有 12 个班， 1 班 51 人， 2 班 53 人， 3 班 52 人，由此 推测 各 班都超过 50 人 D. 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 2 ， a n ＝ 2 a n － 1 ＋ 1( n ≥ 2) ，由此归纳出 { a n } 的 通项 公式 解析 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析　 A. 由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质为类比推理 . B. 所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电 . 由一般到特殊，为演绎推理 . C. 高一参加军训的有 12 个班， 1 班 51 人， 2 班 53 人， 3 班 52 人，由此推测各班都超过 50 人，为归纳推理 . D. 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 2 ， a n ＝ 2 a n － 1 ＋ 1( n ≥ 2) ，由此归纳出 { a n } 的通项公式，为归纳推理 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 3. 用反证法证明命题：三角形的内角中至少有一个是钝角 . 假设正确的是 A. 假设至少有一个是钝角 B. 假设至少有两个是钝角 C. 假设没有一个是钝角 D. 假设没有一个是钝角或至少有两个是钝角 答案 √ 解析 解析　 原命题的结论为至少有一个是钝角，则反证法需假设结论的反面 . “ 至少有一个 ” 的反面为 “ 没有一个 ” ，即假设没有一个是钝角 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 4. 已知集合 A ＝ { y | y ＝ sin x ， x ∈ R } ，集合 B ＝ { x | y ＝ lg x } ，则 ( ∁ R A ) ∩ B 为 A.( － ∞ ，－ 1) ∪ (1 ，＋ ∞ ) B .[ － 1,1] C.(1 ，＋ ∞ ) D .[1 ，＋ ∞ ) 答案 √ 解析 解析　 因为 A ＝ { y | y ＝ sin x ， x ∈ R } ＝ [ － 1,1] ， B ＝ { x | y ＝ lg x } ＝ (0 ，＋ ∞ ) ， 所以 ( ∁ R A ) ∩ B ＝ (1 ，＋ ∞ ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 5.(2016· 全国 Ⅰ ) 若 a > b >1,0< c <1 ，则 A. a c < b c B. ab c < ba c C. a log b c < b log a c D.log a c b >1 ⇒ a c > b c ，故 A 错； 对于 B ：由于－ 1< c － 1<0 ， ∴ 函数 y ＝ x c － 1 在 (1 ，＋ ∞ ) 上单调递减， ∴ a > b >1 ⇔ a c － 1 < b c － 1 ⇔ ba c < ab c ，故 B 错； 对于 C ：要比较 a log b c 和 b log a c ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 只需比较 b ln b 和 a ln a . 构造函数 f ( x ) ＝ x ln x ( x >1) ， 则 f ′ ( x ) ＝ ln x ＋ 1>1>0 ， ∴ f ( x ) 在 (1 ，＋ ∞ ) 上单调递增， 又由 0< c <1 ，得 ln c <0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 对于 D ：要比较 log a c 和 log b c ， 而函数 y ＝ ln x 在 (1 ，＋ ∞ ) 上单调递增， 又由 0< c <1 ，得 ln c <0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 6. 设有两个命题，命题 p ：关于 x 的不等式 ( x － 3 )· ≥ 0 的解集为 { x | x ≥ 3} ；命题 q ：若函数 y ＝ kx 2 － kx － 8 的值恒小于 0 ，则－ 32< k <0 ，那么 A. “ p 且 q ” 为真命题 B . “ p 或 q ” 为真命题 C. “ 綈 p ” 为真命题 D . “ 綈 q ” 为假命题 解析 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 所以命题 p 为假命题 . 若函数 y ＝ kx 2 － kx － 8 的值恒小于 0 ， 则 － 32< k ≤ 0 ， 所以 命题 q 也是假命题 ， 所以 “ 綈 p ” 为真命题 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 p 1 ： ∀ ( x ， y ) ∈ D ， z ≥ 1; p 2 ： ∃ ( x 0 ， y 0 ) ∈ D ， z ≥ 1 ； p 3 ： ∀ ( x ， y ) ∈ D ， z ≤ 2; p 4 ： ∃ ( x 0 ， y 0 ) ∈ D ， z <0. 其中为真命题的是 A. p 1 ， p 2 B. p 1 ， p 3 C. p 1 ， p 4 D. p 2 ， p 3 解析 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析　 作出可行域如图阴影部分所示， 可知与 C 连线斜率最小，与 B 连线斜率最大 ， 联立方程 可得 C (2,1) ， B (1,3) ， 所以 p 2 ， p 3 为真命题，故选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 8. 设命题甲： ax 2 ＋ 2 ax ＋ 1>0 的解集是实数集 R ；命题乙： 0< a <1 ，则命题甲是命题乙成立的 A. 充分不必要条件 B . 充要条件 C. 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件 解析 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析 　 由命题甲： ax 2 ＋ 2 ax ＋ 1>0 的解集是实数集 R 可知 ， 当 a ＝ 0 时，原式＝ 1>0 恒成立， 解得 0< a <1 ，所以 0 ≤ a <1 ， 所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲 ， 因此 命题甲是命题乙成立的必要不充分条件，故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 x 2 ＋ y 2 是可行域上的动点 ( x ， y ) 到原点 (0,0) 距离的平方 ， 显然 ，当 x ＝ 3 ， y ＝－ 1 时， x 2 ＋ y 2 取得最大值，最大值为 10. 故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 答案 解析 11. 下列四个结论： ① 若 x >0 ，则 x >sin x 恒成立； ② 命题 “ 若 x － sin x ＝ 0 ，则 x ＝ 0 ” 的逆否命题为 “ 若 x ≠ 0 ，则 x － sin x ≠ 0 ” ； ③“ 命题 p ∧ q 为真 ” 是 “ 命题 p ∨ q 为真 ” 的充分不必要条件； ④ 命题 “ ∀ x ∈ R ， x － ln x >0 ” 的否定是 “ ∃ x 0 ∈ R ， x 0 － ln x 0 <0 ”. 其中正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析　 对于 ① ，令 y ＝ x － sin x ，则 y ′ ＝ 1 － cos x ≥ 0 ，则函数 y ＝ x － sin x 在 R 上单调递增，则当 x >0 时， x － sin x >0 － 0 ＝ 0 ，即当 x >0 时， x >sin x 恒成立，故 ① 正确； 对于 ② ，命题 “ 若 x － sin x ＝ 0 ，则 x ＝ 0 ” 的逆否命题为 “ 若 x ≠ 0 ，则 x － sin x ≠ 0 ” ，故 ② 正确； 对于 ③ ，命题 p ∨ q 为真即 p ， q 中至少有一个为真， p ∧ q 为真即 p ， q 都为真，可知 “ p ∧ q 为真 ” 是 “ p ∨ q 为真 ” 的充分不必要条件，故 ③ 正确； 对于 ④ ，命题 “ ∀ x ∈ R ， x － ln x >0 ” 的否定是 “ ∃ x 0 ∈ R ， x 0 － ln x 0 ≤ 0 ” ，故 ④ 错误 . 综上，正确结论的个数为 3 ，故选 C . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 12. 下列类比推理的结论不正确的是 ① 类比 “ 实数的乘法运算满足结合律 ” ，得到猜想 “ 向量的数量积运算满足结合律 ” ； ② 类比 “ 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则 S 4 ， S 8 － S 4 ， S 12 － S 8 成等差数列 ” ，得到猜想 “ 设等比数列 { b n } 的前 n 项积为 T n ，则 T 4 ， 成 等比数列 ” ； ③ 类比 “ 平面内，垂直于同一条直线的两直线相互平行 ” ，得到猜想 “ 空间中，垂直于同一条直线的两直线相互平行 ” ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 答案 解析 ④ 类比 “ 设 AB 为圆的直径， P 为圆上任意一点，直线 PA ， PB 的斜率存在，则 k PA · k PB 为常数 ” ，得到猜想 “ 设 AB 为椭圆的长轴， P 为椭圆上任意一点，直线 PA ， PB 的斜率存在，则 k PA · k PB 为常数 ”. A. ①④ B . ①③ C. ②③ D. ②④ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 ① 类比 “ 实数的乘法运算满足结合律 ” ，得到猜想 “ 向量的数量积运算满足结合律 ” 不成立，即 ( a · b )· c ≠ a ·( b · c ) ，这是由向量数量积的定义决定的 . ③ 类比 “ 平面内，垂直于同一条直线的两直线相互平行 ” ，得到猜想 “ 空间中，垂直于同一条直线的两直线相互平行 ” 不成立，空间中可能出现相交，异面的情况 . 故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 当 a ＝ 0 时，显然不成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解得 9< a ≤ 25 ，当 a <0 时，不符合条件 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 答案 解析 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 故 m ≤ (tan x ＋ 1) min ， ∴ m ≤ 0 ，故实数 m 的最大值为 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 答案 解析 15. 在平面上，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有 c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 . 猜想若正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O － LMN ，如果用 S 1 ， S 2 ， S 3 表示三个侧面面积， S 4 表示截面面积，那么类比得到的结论是 __________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析 　 将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析 16. 要制作一个容积为 4 m 3 ，高为 1 m 的无盖长方体容器 . 已知该容器的底面造价是 20 元 / m 2 ，侧面造价是 10 元 / m 2 ，则该容器的最低总造价是 ________ 元 . 答案 160 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析　 由题意知，体积 V ＝ 4 m 3 ，高 h ＝ 1 m ， 所以底面积 S ＝ 4 m 2 ，设底面矩形的一条边长是 x m ， 又设总造价是 y 元， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15