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- 2021-04-15 发布
南昌二中2017—2018学年度上学期期末考试
高二数学（理）试卷
命题人：周启新 审题人：姚翠兰
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）
1．证明不等式“”最适合的方法是（ ）
A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．数学归纳法
2．命题“，使得”的否定形式是（ ）
A．，使得
B．，使得
C．，使得
D．，使得
3．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．经过点且与双曲线有同渐近线的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．设，，都是正数，则三个数，，（ ）
A． 至少有一个不小于2 B．至少有一个大于2
C．都大于2 D．至少有一个不大于2
7．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．在下列结论中，正确的结论为（ ）
①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件
②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件
③“p或q”为真是“”为假的必要不充分条件
④“”为真是“p且q”为假的必要不充分条件
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
9．若不等式的解集为，则曲线与直线及直线，所围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，若过点可作曲线的三条切线，
则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
11．若关于的不等式恰好有4个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数是定义在的可导函数， 为其导函数，当且 时, ,若曲线在处的切线的斜率为,则 （ ）
A． B．0 C． D．1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知，，是虚数单位，若，
则复数的模 ；
14．已知函数，则 ；
15．在平面直角坐标系中，的顶点，分别是离心率为的圆锥曲线
的焦点，顶点在该曲线上．一同学已正确地推得：当时，有
．类似地，当，时，有____________；
16．共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为，，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以为极点，以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点，求的值.
18．（本小题满分12分）
已知函数.
(Ⅰ)若不等式的解集为，求实数的值；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.
19．（本小题满分12分）
已知函数在处有极值.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数在区间上有且仅有一个零点,求实数的取值范围.
20．（本小题满分12分）
已知数列的前n项和满足：，且.
(I)求；
(Ⅱ)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．
21．（本小题满分12分）
设顶点在原点，焦点在轴上的拋物线过点，过作抛物线的动弦，，并设它们的斜率分别为，.
(Ⅰ)求拋物线的方程；
(Ⅱ)若，求证：直线的斜率为定值，并求出其值；
（III）若，求证：直线恒过定点，并求出其坐标.
22．（本小题满分12分）
已知函数（）在其定义域内有两个不同的极值点.
(Ⅰ)求实数的取值范围；
(Ⅱ)记两个极值点分别为，（），求证：.
南昌二中2017—2018学年度上学期高二期末考试
数学理参考答案
一、选择题
BDCAC AABDA BC
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：（Ⅰ）将方程消去参数得，
∴曲线的普通方程为，
将代入上式可得，
∴曲线的极坐标方程为： ．………5分
（Ⅱ）设两点的极坐标方程分别为,
由消去得，
根据题意可得是方程的两根，
∴，
∴． ………10分
18．解：（Ⅰ） ，，即得，得.………5分
（Ⅱ）∵，∴ .
∵，且存在实数使，
∴.………………12分
19．解: (Ⅰ) ，由题意知: ,得a=, …… 2分
∴, 令,得或, 令,得,
∴的单调递增区间是和, 单调递减区间是……… 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
为函数的极大值,为极小值 ………………… 8分
又∵f(-3)=f(0)=b
要使得函数在区间上有且仅有一个零点
则, 即 , ∴,
即的取值范围是 …………………… 12分
20．解： (Ⅰ)，所以.
又因为，所以
，所以
，所以 …………………… 5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想，.…………………… 6分
下面用数学归纳法加以证明：
①当时，由（1）知成立．
②假设()时，成立．
当时，
所以,解得：，
所以
即当时猜想也成立．
综上可知，猜想对一切都成立．…………………… 12分]
21．解：(Ⅰ)依题意，可设所求拋物线的方程为,
因拋物线过点，故，拋物线的方程为. …………… 2分
(Ⅱ)设，则，
同理
,∴，.
，即直线的斜率恒为定值，且值为. …………… 7分
（III），∴，∴.
直线的方程为 ，即.
将代入上式得即为直线的方程，
所以直线恒过定点，命题得证. …………… 12分
22．解：（Ⅰ）依题，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根，即，方程在有两个不同根.转化为，函数与函数的图象在上有两个不同交点，可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只须.
令切点，所以，又，所以，
解得，，于是，所以.………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，分别是方程的两个根，即.
作差得，，即.
所以不等式，等价于，………………8分
下面先证，即证，
令，∵，∴，即证（），
令（），则，
∴在上单调递增，∴，
即得证，从而得证；………………10分
再证，即证，即证（），
令（），则，
∴在上单调递减，∴，
即得证，从而得证，
综上所述，成立，即.………………12分