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- 2021-04-15 发布
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河北武邑中学2017—2018学年高二上学期第一次月考
数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列试验中，是古典概型的为（ ）
A. 种下一粒花生，观察它是否发芽
B. 向正方形内，任意投掷一点，观察点是否与正方形的中心重合
C. 从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率
D. 在区间内任取一点，求此点小于2的概率
【答案】C
【解析】对于A，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性；对于B，正方形内有无限多个点，不满足有限性；对于C，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于D，区间内的点有无限多个，不满足有限性。
故选C.
2. 一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】该树枝的树梢有6处，共有2处能找到食物，所以获得食物的概率为.
故选B.
3. 从一批产品中取出三件产品，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ ）
A. 与互斥 B. 任何两个均互斥 C. 与互斥 D. 任何两个均不互斥
【答案】A
【解析】依据互斥的定义知：、与中的元素没有公共的元素，因此与互斥，与有公共元素，所以与不互斥，故答案B、C、D都不正确，应选答案A。
4. 先后抛掷三枚均匀的壹角、伍角、壹元硬币，则出现两枚正面，一枚反面的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】先后抛掷三枚均匀硬币共有8中情况，其中两正一反共有3种情况，所求概率为.
故选A.
5. 已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】边长为4的正三角形为面积为，分别以为圆心，1为半径在中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点距离超过1的区域，其面积为.
故所求概率.
故选B.
点睛：对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.
6. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是种结果，其中这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有种结果，故这两位同学不在同一个兴趣小组的概率，故选C.
考点：列举法计算基本事件及其发生的概率.
7. 下列说法中正确的是（ ）
A. 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B. “”与“”不等价
C. “，则，全为0”的逆否命题是“若，全不为0，则”
D. 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
【答案】D
【解析】试题分析：A中逆命题和否命题真假性相同；B中由可得，反之成立，因此两者等价；C中逆否命题为“若不全为， 则”；D中正确
考点：四种命题
8. 设函数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
∴，
反之不成立,例如,但是无意义。
∴则“”是“”的必要不充分条件。
故选：B.
9. 的内角，，的对边分别为，，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】试题分析：在三角形中，等价为，即．若，由正弦定理，得．充分性成立．若，则正弦定理，得，必要性成立．所以，“”是“”的充要条件．即是成立的充要条件，故选C．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
10. 方程所表示的曲线围成的图形面积为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】先考虑简单的情况：当时：即：，或且
故方程表示的曲线所围成的图形如图所示：曲线围成一个边长为的正方形，
故方程表示的曲线所围成的图形面积为，
∵的在坐标系内的图象只不过是将的图象向右又向上移动了一个单位，图象的形状并未改变，
∴其面积依然为2.
故选B.
11. 方程所表示的曲线（ ）
A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称
【答案】D
【解析】将方程中的换为换为方程变为与原方程相同，故曲线关于直线对称，
故选D.
点睛：函数关于轴对称得到；
函数关于轴对称得到;
函数关于对称得到；
函数关于轴对称得到.
12. 已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：对任意的x1∈[－1，2]，f（x1）的取值范围是[－1，3]，要使得g（x2）与之相等，则g（x）在[－1，2]上的值域必须包含[－1，3]，又由于a＞0，故g（－1）≤－1且g（2）≥3
即－a＋2≤－1且2a＋2≥3，解得a≥3，选D
考点：函数的值域，任意性与存在性
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为，且、.若，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为__________．
【答案】
【解析】试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个共有10×10种不同的结果，
则的情况有0，0；1，1；2，2；3，3；4，4；5，5；6，6；7，7；8，8；9，9；
0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；3，4；4，3；4，5；5，4；5，6；6，5；6，7；7，6；7，8；8，7；8，9；9，8共28种情况，
甲乙出现的结果共有10×10=100，
∴他们”心有灵犀”的概率为.
故答案为：.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
14.
已知某运动员每次投篮命中的概率等于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0，表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下2-组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458
569 683 431 257 393 027 556 488
730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为__________．
【答案】0.25
【解析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393.
共5组随机数，
∴所求概率为.
答案为：0.25.
15. 已知，，若，或，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
∵当时，，
又∵，或
∴此时在，时恒成立
则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在(1,0)的左面
则
∴
故答案为：(−4,0)
16. 下列命题：
①“且”是“”的充要条件；
②“”是“不等式解集为”的充要条件；
③“”是“直线平行于直线”的充分不必要条件；
④“”是“”的必要而不充分条件.
其中真命题的序号为__________．
【答案】④
【解析】①当且时，成立，反之例如，则，故①为假命题.
②的解集为R等价于，故②为假命题.
③由直线和平行的充要条件知，解得，故③为假命题.
④由（）可得，而当时仍可成立，由此可知“”是“”的必要而不充分条件为真命题.
故真命题的序号为④.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知点，的坐标分别为，.直线，相交于点，且它们的斜率之和是2，求点的轨迹方程.
【答案】（）
【解析】略
18. 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率.
【答案】
【解析】试题分析：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|6＜x＜7，6＜y＜7}做出集合对应的面积是边长为1的正方形的面积，写出满足条件的事件对应的集合和面积，根据面积之比得到概率
试题解析：设甲到达时间为x,乙到达的时间为y
则全部结果构成的区域：
设“甲乙能会面”的事件记为A
则事件A的结果构成的区域：
∴P（A）=
考点：几何概型概率
19. 已知关于的二次函数.
（1）设集合和，分别从集合和中随机抽取一个数作为和，求函数在上是增函数的概率；
（2）设点是区域内的随机点，求函数在上是增函数的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是，满足条件的事件是函数在区间上为增函数，根据二次函数的对称轴，写出满足条件的结果，得到概率；（2）本题是一个等可能事件的概率问题，根据第一问做出的函数是增函数，得到试验发生包含的事件对应的区域和满足条件的事件对应的区域，做出面积，得到结果．
试题解析：要使函数在区间上是增函数, 需,且,即．
（1）所有的取法总数为个, 满足条件的有
共个, 所以所求概率．
（2）如图
求得区域的面积为,由,求得,
所以区域内满足且的面积为,所以所求概率．
考点：古典概型；几何概型．
【方法点晴】古典概型：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能相等．本题中的第一问属于古典概型，对于古典概型，任何事件的概率为：，所以做这类题，的主要方法就是计数；几何概型：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到所述区间内的某个特定区域中的点，这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等,本题就是利用面积比做的．
20. 已知函数，.
（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
（2）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由题设知：，即可转化为研究函数最值即可.
（2）由题设知．
试题解析：
（1）由题设知：，
∵在上递减，在上递增，∴
又∵在上递减，∴
∴有，的范围为
（2）由题设知，
∴有，即，∴的范围为
21. 先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，.
（1）求直线与圆相切的概率；
（2）将，，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：将基本事件一一列出来，利用古典概型概率公式求概率即可.
试题解析：
（1）∵直线与圆相切，
∴，整理得：.
由于，，
∴满足条件的情况只有，，或，两种情况.
∴直线与圆相切的概率是.
（2）∵三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形，
∴当时，，共1个基本事件；
当时，，共1个基本事件；
当时，，共2个基本事件；
当时，，共2个基本事件；
当时，，共6个基本事件；
当时，，共2个基本事件；
∴三条线段能围成等腰三角形的概率为.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
22. 已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：解：（1）命题：“，都有不等式成立”是真命题，
得在恒成立，
得即
（2）不等式
①当,即时解集，若是的充分不必要条件，
则, 此时.
②当即时解集，若是的充分不必要条件，则成立.
③当,即时解集，若是的充分不必要条件，则成立， 此时.
综上①②③：．
考点：解一元二次不等式
点评：若方程的两根为，则一元二次不等式的解集为，一元二次不等式的解集为。