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- 2021-04-15 发布
吉林省蛟河市第一中学校2018－2019学年第二学期期中考试
高二数学（文）
（考试时间：100分钟。试卷满分：120分。）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．将答案填在相应的答题卡内，在试题卷上作答无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式或数据：
1．K2＝．
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
2．回归方程＝x＋中，＝，＝－．
3．相关指数：R2＝1－．
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。每题只有一个选项是最符合题意的。
1．极坐标方程2018cosθ＝1009（ρ∈R）表示的曲线是
A．两条相交直线 B．两条射线
C．一条直线 D．一条射线
2．i是虚数单位，则的虚部是
A．i B．－ C． D．－i
3．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关，且＝20.18x－1；
②y与x负相关，且＝－20.18x＋1；
③y与x正相关，且＝20.18x＋1；
④y与x正相关，且＝－20.18x－1．
其中一定不正确的结论的序号是
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4．与参数方程，等价的普通方程为
A．x2＋y＋1＝0，x∈［－1，1］，y∈［0，1］
B．x2＋y－1＝0，x∈［0，＋∞)，y∈（－∞，1］
C．x2＋y－1＝0，x∈R，y∈（－∞，1］
D．x2＋y＋1＝0，x∈［－1，1］，y∈［0，1］
5．变量x，y的散点图如图所示，那么x，y之间的样本相关系数r最接近的值为
O x
y
A．1
B．－0.5
C．0
D．0.5
6．把圆ρ＝2sinθ绕极点按顺时针方向旋转而得圆的极坐标方程为
A．ρ＝2sin(θ－) B．ρ＝2cos(θ＋)
C．ρ＝2cos(θ－) D．ρ＝2sin(θ＋)
7．某一算法流程图如右图，输入x＝－1，则输出结果为
开始
否
输入x
x≥0？
是
结束
y＝0
x＞0？
y＝x＋3
y＝x－5
是
否
输出y
A． B．0 C．－ D．－
8．集合M＝{（x，y）|（θ为参数，0＜θ＜π）}，N＝{（x，y）|y＝x＋b}．若集
合M∩N＝Ø，则b应满足
A．b≤－3或b＞3 B．0＜b≤3
C．b≤0或b＞3 D．－3＜b≤3
9．若点P的柱坐标为（4，，），则P到直线Oy的距离为
A．1 B．2
C． D．
i＝i＋1
开始
否
输入n
i＞n？
S＝S＋
是
结束
输出S
i＝1，S＝0
10．执行右图所示的程序框图，如果输入n＝4，则输出的S＝
A．
B．
C．
D．
11．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，
a5＋b5＝11，…，则a12＋b12＝
A．322 B．521
C．123 D．199
12．已知f (x)＝，f (1)＝1（x∈N*），猜想f (x)的表达式为
A．f (x)＝ B．f (x)＝
C．f (x)＝ D．f (x)＝
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝－20＋18i，则
z2＝ ．
14．已知直线的极坐标方程2ρsin(θ＋)＝2＋，则极点到直线的距离为 ．
15．有人发现，多看手机容易使人变近视，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：
近视
不近视
总计
少看手机
20
38
58
多看手机
68
42
110
总计
88
80
168
则在犯错误的概率不超过 的前提下认为多看手机与人变近视有关系．
16．点P（x，y）是曲线3x2＋4y2－6x－8y－5＝0上的点，则z＝x＋2y的最大值和最小值的差是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
有下列要素：导数实际背景、导数意义、导数几何意义、导函数、基本导数公式、函数四则运算求导法则、复合函数求导法则、求简单函数的导数、导数的应用．
设计一个结构图，表示这些要素及其关系．
18．（10分）
已知圆C1的参数方程为（t为参数），圆C2的参数方程为（t为参
数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）．
19．（12分）
已知复数z＝cosθ＋isinθ（θ∈R），求|z－i(1－i)3|的最大值．
20．（12分）
如图，已知直线l交抛物线于A，B两点，其参数方程为（t为参数，α≠0），
y
O
x
F
A
B
l
抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F．
求证：＋为定值．
21．（12分）
某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x（元）
14
16
18
20
22
销量y（件）
12
10
7
5
3
（1）求回归直线方程＝x＋．
（2）利用R2刻画回归效果．
高二数学（文）期中卷答案
一、选择题：本大题共12小题，共48分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
C
A
D
A
A
D
C
A
B
二、填空题：本大题共4小题，共16分。
13．20－18i 14． 15．0.001 16．8
三、解答题：本大题共5小题，共56分。
17．（10分）
解：在如图的知识结构图中：
导数实际背景
导数意义
导数几何意义
函数四则运算求导法则
导函数
复合函数求导法则
基本导数公式
求简单函数的导数
导数的应用
……10分
18．（10分）
解：由已知在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4；圆C2：(x－2)2＋y2＝4．
故圆C1的极坐标方程为：ρ＝2；
圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ； ……6分
联立方程组，
解得：ρ＝2，θ＝±．
故圆C1，C2的交点极坐标为（2，），（2，－）． ……10分
19．（12分）
解：（解法一）由于i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，
∴|z－i(1－i)3|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|＝＝． ……8分
当sin(θ－)＝1时，|z－i(1－i)3|取得最大值，
从而得到|z－i(1－i)3|的最大值2＋1． ……12分
（解法二）|z|＝1可看成半径为1，圆心为（0，0）的圆，
令z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，
则z1对应坐标系中的点（2，－2）． .……8分
∴|z－z1|的最大值可以看成点（2，－2）到圆上的点距离最大，
则|z－z1|max＝2＋1．
从而得到|z－i(1－i)3|的最大值2＋1． ……12分
20．（12分）
证明：由题意可得，直线l过点F，
将代入y2＝2px整理，
得：t2sin2α－2ptcosα－p2＝0． ……4分
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则由根与系数的关系，
得：t1＋t2＝，t1t2＝． ……6分
所以＋＝＋＝＝＝
＝＝（定值）． ……12分
21．（12分）
解：（1）＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18；
＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4；
＝142＋162＋182＋202＋222＝1660；
＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620．
∴＝＝＝＝－1.15，
∴＝7.4＋1.15×18＝28.1．
∴线性回归方程为：＝－1.15x＋28.1． ……8分
（2）列出残差表为：
yi－
0
0.3
－0.4
－0.1
0.2
yi－
4.6
2.6
－0.4
－2.4
－4.4
∴＝0.3，＝53.2，
R2＝1－≈0.994．
故R2≈0.994说明拟合效果较好． ……12分