【数学】内蒙古集宁一中（西校区）2020-2021学年高二上学期第一次月考（理）（解析版） 18页

内蒙古集宁一中（西校区）2020-2021学年 高二上学期第一次月考（理）‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）‎ 一、 选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的。每小题5分， 共60分。）‎ ‎1．已知向量，，，则（ ）‎ A． B． C．0 D．1‎ ‎2．若向量，，，满足条件，则x等于（ ）‎ A．6 B．2 C．4 D．3‎ ‎3．设非零向量，满足，则（ ）‎ A．⊥ B．‎ C．// D．‎ ‎4．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如图，在中，，，分别是边，，上的中线，它们交于点，则下列各等式中不正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．在中，，则的形状为（ ）．‎ A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定 ‎7．已知平面上的非零向量，，，下列说法中正确的是（ ）‎ ‎①若，，则；‎ ‎②若，则；‎ ‎③若，则，；‎ ‎④若，则一定存在唯一的实数，使得.‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎8．下面函数中为偶函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．函数的单调递增区间为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎10．为得到的图象，只需要将的图象（ ）‎ A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 ‎11．已知是，夹角为的两个单位向量，则与的夹角是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎12．在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（ ）‎ A．1 B． C．－1 D．-2‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 一、 填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知向量，，，则________.‎ ‎14．已知，则向量在方向上的投影为_________.‎ ‎15．已知O为坐标原点，在x轴上求一点P，使有最小值，则P点的坐标为__________‎ ‎16．设x∈（0，π），则f（x）=cos2x+sinx的最大值是 ．‎ 三、 解答题、(本大题共6小题满分70分)‎ ‎17．写出函数的振幅、周期、初相，并求出此函数的单调递增区间和对称轴.‎ ‎18．（1）化简：；‎ ‎（2）设两个非零向量与不共线.如果，，，求证：、、三点共线.‎ ‎19．如图，平行四边形ABCD中，已知,，设，，‎ ‎（1）用向量和表示向量，；‎ ‎（2）若，，求实数x和y的值.‎ ‎20．已知，且与不共线.‎ ‎（1）当向量与互相垂直时，求的值；‎ ‎（2）当与的夹角为时，求的模.‎ ‎21．已知，其中是的一个内角.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断是锐角三角形还是钝角三角形；‎ ‎（3）求的值.‎ ‎22．如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的一个三等分点，与交于点.设，.‎ ‎（1）用，表示.‎ ‎（2）过点的直线与边，分别交于点，.设，，求的值.‎ 参考答案 ‎1．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量共线，列出方程求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为向量，，，‎ 所以，解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.‎ ‎2．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出向量数量积的坐标表示，可解得．‎ ‎【详解】‎ 由题意，，解得．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题．‎ ‎3．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量加法与减法的几何意义求解.‎ ‎【详解】‎ 因为非零向量，满足，‎ 所以以非零向量，的模长为边长的平行四边形是矩形，‎ 所以⊥.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量加法与减法的几何意义，属于基础题.‎ ‎4．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 平面内三点共线的充要条件为：存在实数，使，且.求得，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由，可得，‎ 所以，‎ 又三点共线，由三点共线定理，可得：，‎ ‎，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量共线定理的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎5．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面共线定理、平面向量加法的几何意义，结合三角形重心的性质进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，，分别是边，，上的中线，它们交于点，‎ 所以点是的重心.‎ 选项A：因为点是的重心，所以，因此，所以本选项正确；‎ 选项B：因为是边上的中线，所以，又因为点是的重心，所以有，因此，所以本选项正确；‎ 选项C：因为点是的重心，所以，因此，所以本选项不正确；‎ 选项D：因为是边上的中线，点是的重心，所以有，因此本选项正确.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了三角形重心的性质，考查了平面向量共线定理和平面向量加法的几何意义，属于基础题.‎ ‎6．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量运算可知三角形中中线与垂线重合，可知三角形为等腰三角形，即可确定三角形形状.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 即，‎ 所以在中，与边上的中线垂直，则，‎ 同理，，‎ 所以，是等边三角形．‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的数量积，向量垂直，考查了运算能力，属于中档题.‎ ‎7．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量共线定理判断①④，由模长关系只能说明向量，的长度关系判断②，举反例判断③.‎ ‎【详解】‎ 对于①，由向量共线定理可知，，则存在唯一的实数，使得，，则存在唯一的实数，使得，由此得出存在唯一的实数，使得，即，则①正确；‎ 对于②，模长关系只能说明向量，的长度关系，与方向无关，则②错误；‎ 对于③，当时，由题意可得，则，不能说明，，则③错误；‎ 由向量共线定理可知，④正确；‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义，属于中档题.‎ ‎8．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数奇偶性的逐项判断各选项中函数的奇偶性，可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，设，该函数的定义域为，，所以，函数为奇函数；‎ 对于B选项，设，该函数的定义域为，，所以，函数为奇函数；‎ 对于C选项，设，该函数的定义域为，，所以，函数为偶函数；‎ 对于D选项，设，则，，则，，所以，函数为非奇非偶函数.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数奇偶性定义以及特殊值法的应用，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎9．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦型函数的单调性进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ 当，时，函数单调递增，‎ 即当，时，函数单调递增.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦型函数的单调增区间，属于基础题，考查了数学运算能力.‎ ‎10．D ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移个单位；故选D．‎ 考点：三角函数的图像变换．‎ ‎11．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，根据向量夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 设的夹角为，‎ ‎.‎ 故选:B,‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的夹角、向量的模长、向量的数量积，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎12．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为建立平面直角坐标系，设，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值．‎ ‎【详解】‎ 如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，‎ ‎，，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，取得最小值．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示．‎ ‎13．5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以根据得出，然后根据得出，最后通过化简即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 即，。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的模以及向量的运算，考查向量的模的求法，若，则，考查计算能力，是简单题。‎ ‎14．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的数量积的坐标运算，求得，结合向量的投影的概念，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由向量，可得，‎ 所以向量在方向上的投影数列为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的概念，其中解答中熟记向量的投影的概念，以及向量的数量积的坐标运算公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.‎ ‎15．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点的坐标，计算并把结果利用二次函数的性质，配方求出其取最大值时的条件．‎ ‎【详解】‎ 设，所以，当时， 有最小值，此时 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两个向量的数量积公式的应用，二次函数取最大值的条件．属于基础题.‎ ‎16．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意利用正弦函数的值域，二次函数的性质，求得函数f（x）取得最大值．‎ 解：∵f（x）=cos2x+sinx=1﹣sin2x+sinx=﹣+，‎ 故当sinx=时，函数f（x）取得最大值为，‎ 故答案为．‎ 考点：三角函数的最值．‎ ‎17．；；；单调递增区间：，（）；对称轴：，（），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题先求，，，再根据图象与性质求单调递增区间与对称轴.‎ ‎【详解】‎ 解：∵ 函数的解析式为：，‎ ‎∴ ，，，‎ ‎∵ 当，（）时，单调递增，‎ ‎∴ 当，（）即，（）时，单调递增，‎ ‎∴ 函数的单调递增区间：，（），‎ ‎∵ 的对称轴是：，（），‎ ‎∴ 的对称轴是：，（）即，（），‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的图象与性质，是基础题.‎ ‎18．（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）进行向量的数乘运算即可；‎ ‎（2）根据，进行向量的数乘运算即可得出，从而得出共线，进而得出、、三点共线.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式；‎ ‎（2），，‎ 又、有公共点，、、三点共线.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的数乘运算，向量加法的几何意义，共线向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎19．（1）；；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用平面向量的线性运算整理可得：，，代入已知向量即可得到.（2）用平面向量的线性运算整理可得：，结合题干条件，可得到等式，解等式即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎（2）因为 ‎.‎ 即 因为与不共线，从而，解得 ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的线性运算，考查向量的基底表示，考查学生的运算能力、转换能力以及思维能力，属于中档题.‎ ‎20．（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用向量垂直的性质求出的值；‎ ‎（2）由，再利用向量的数量积公式求解即可 ‎【详解】‎ 解：（1）因为，且与不共线，向量与互相垂直，‎ 所以，‎ 解得，‎ ‎（2）当与的夹角为时，‎ ‎，‎ ‎【点睛】‎ 此题考查向量模的求法，考查平面向量数量积运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎21．（1）；（2）钝角三角形；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对两边平方即可得到答案.‎ ‎（2）根据和的范围即可得到答案.‎ ‎（3）首先计算得到，联立方程组，得到，‎ 再利用同角三角函数商数关系即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，‎ 解得.‎ ‎（2）因为是的一个内角，‎ 所以，即，为钝角三角形.‎ ‎（3）因为，且，‎ 所以.‎ 因为，解得.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查同角三角函数的关系，同时考查了三角形形状的判定，属于简单题.‎ ‎22．（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，利用，，三点共线和，，三点共线可以得出的两个方程，然后解出即可 ‎（2）利用，共线即可推出 ‎【详解】‎ ‎（1）设，则，‎ ‎∵，，三点共线，‎ ‎∴，共线，从而.①‎ 又，，三点共线. ∴，共线，‎ 同理可得.②‎ 联立①②，解得，‎ 故.‎ ‎（2）∵，‎ ‎，且，共线，‎ ‎∴，整理得.‎ ‎【点睛】‎ ‎1.平面向量共线定理：若与共线且，则存在唯一实数使得 ‎2.平面向量基本定理：若，是平面内两个不共线的向量，则对于平面中的任一向量，使的实数，存在且唯一.‎