2017届高考数学（文）二轮复习（江苏专用）解答题+第三周+星期四 2页

星期四　(数列问题)　2017年____月____日 在正项数列{an}(n∈N*)中，Sn为{an}的前n项和，若点(an，Sn)在函数y＝的图象上，其中c为正常数，且c≠1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)是否存在正整数M，使得当n＞M时，a1·a3·a5·…·a2n－1＞a101恒成立？若存在，求出使结论成立的c的取值范围和相应的M的最小值；‎ ‎(3)若存在一个等差数列{bn}，对任意n∈N*，都有b1an＋b2an－1＋b3an－2＋…‎ ‎＋bn－1a2＋bna1＝3n－n－1成立，求{bn}的通项公式及c的值.‎ 解　(1)Sn＝，n≥2时，‎ Sn－Sn－1＝－.‎ an＝，(c－1)an＝an－1－an，can＝an－1，＝，‎ ‎∴{an}是等比数列.‎ 将(a1，S1)代入y＝中，得a1＝c，‎ 故an＝.‎ ‎(2)由a1·a3·a5·…·a2n－1＞a101得 c···…·＞，‎ ‎∴＞.‎ 若＞1，即0＜c＜1时，n(n－2)＞99，得n＞11或n＜－9(舍去).‎ 若＜1，即c＞1时，n(n－2)＜99，得－9＜n＜11.‎ 不符合n＞M时，a1·a3·a5·…·a2n－1＞a101恒成立，‎ 故舍去，‎ ‎∴c的取值范围是(0，1)，相应的M的最小值为11.‎ ‎(3)由(1)知an＝.由{bn}为等差数列，设bn＝b1＋(n－1)d.‎ b1an＋b2an－1＋b3an－2＋…＋bn－1a2＋bna1＝3n－n－1(n∈N*).①‎ 当n＝1时，b1c＝3－－1＝.②‎ 当n≥2时，b1an－1＋b2an－2＋b3an－3＋…＋bn－2a2＋bn－1a1＝3n－1－(n－1)－1.③‎ 注意到b2－b1＝b3－b2＝…＝bn－bn－1＝d，‎ ① ‎－③得b1an＋d(an－1＋an－2＋…＋a2＋a1)＝3n－3n－1－，‎ ② 将an＝代入上式，‎ 得b1＋＝2×3n－1－，‎ 整理得＋＝2×3n－1－.④‎ ‎∵④式对一切n(n≥2)恒成立，则必有 解得故bn＝10n－9，c＝.‎