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- 2021-04-15 发布
2017-2018学年浙江省杭州市西湖高级中学高二（上）12月月考数学试题
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（ ）
A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0
2．（5分）已知直线l的方程为x+y+4=0，则直线l的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（1，1） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣1，﹣1）
4．（5分）若一圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+5）2=3，则此圆的圆心和半径分别为（ ）
A．（﹣1，5）， B．（1，﹣5）， C．（﹣1，5），3 D．（1，﹣5）
5．（5分）直线3x+2y﹣3=0与6x+my+1=0互相平行，则m的值为（ ）
A．﹣9 B．3 C．4 D．﹣4
6．（5分）以两点A（﹣3，﹣1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（ ）
A．（x﹣1）2+（y+2）2=100 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2=100
C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 D．（x+1）2+（y+2）2=25
7．（5分）已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）
A． cm3 B． cm3 C． cm3 D． cm3
8．（5分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ）
A．20π B．25π C．50π D．200π
9．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
10．（5分）当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣2x+4y=0 B．x2+y2+2x+4y=0
C．x2+y2+2x﹣4y=0 D．x2+y2﹣2x﹣4y=0
二．填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）．
11．（4分）经过原点，圆心在x轴的正半轴上，半径等于5的圆的方程是 ．
12．（4分）给出下列四个命题：
①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
②两条直线可以确定一个平面；
③若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l；
④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．
其中真命题的个数为 ．
13．（4分）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 ．
14．（4分）已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为 ．
15．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BDD1B1所成角的正弦值为 ．
三、解答题：（满分30分，每题15分）
16．（15分）若P（2，﹣1）为圆C：（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点．
（1）求圆心C的坐标；
（2）求直线AB的方程．
17．（15分）已知六棱锥P﹣ABCDEF，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影为正六边形中心O，底面边长为2，侧棱长为3，
（1）求正六边形ABCDEF的面积；
（2）求六棱锥P﹣ABCDEF的体积．
四．选择题（每题5分，共10分）
18．（5分）已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣3且k≠﹣ B．﹣3＜k＜2且k≠﹣
C．k＞2 D．k＜﹣3
19．（5分）已知椭圆的焦点分别为F1，F2，b=4，离心率，过F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
五、填空题（每题5分，共10分）
20．（5分）已知中心在原点，长轴在x轴上，一焦点与短轴两端点连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为4（﹣1），则此椭圆方程是 ．
21．（5分）设e是椭圆+=1的离心率，且e∈（，1），则实数k的取值范围是 ．
六．解答题（共30分，每题15分）
22．（15分）已知椭圆C的方程为：+y2=1．
（1）求椭圆的长轴长2a，短轴长2b；
（2）求椭圆的焦点F1、F2的坐标、离心率e．
23．（15分）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与A交于A，B两点．
（1）写出C的方程；
（2）若⊥，求k的值．
2017-2018学年浙江省杭州市西湖高级中学高二（上）12月月考数学试题
参考答案与试题解析
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（ ）
A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0
【分析】根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．
【解答】解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，
由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，
又知其过点（﹣1，3），
由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．
【点评】本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况．
2．（5分）已知直线l的方程为x+y+4=0，则直线l的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【分析】化直线的一般式方程为斜截式，得到直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率求解倾斜角．
【解答】解：由直线l的方程为x+y+4=0，
化为斜截式得：，
∴直线l的斜率为，
设直线的倾斜角为α （0°≤α＜180°）．
由，得α=150°．
故选：D．
【点评】本题考查了直线的倾斜角，考查了倾斜角与斜率之间的关系，是基础题．
3．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（1，1） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣1，﹣1）
【分析】利用两点的中点坐标公式，直接求解即可．
【解答】解：由中点坐标公式可得，点A（﹣1，2），B（3，0），
那么线段AB中点的坐标为：（），即（1，1）．
故选B．
【点评】本题是基础题，考查线段的中点坐标公式的应用．
4．（5分）若一圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+5）2=3，则此圆的圆心和半径分别为（ ）
A．（﹣1，5）， B．（1，﹣5）， C．（﹣1，5），3 D．（1，﹣5）
【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标与半径即可．
【解答】解：∵圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+5）2=3，
∴圆心坐标为（1，﹣5），半径r=．
故选B
【点评】此题考查了圆的标准方程，是一道基础题．解题的关键是掌握圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），其中圆心坐标为（a，b），半径为r．
5．（5分）直线3x+2y﹣3=0与6x+my+1=0互相平行，则m的值为（ ）
A．﹣9 B．3 C．4 D．﹣4
【分析】由直线平行可得3m﹣2×6=0，解之可得答案．
【解答】解：因为直线3x+2y﹣3=0与6x+my+1=0互相平行，
所以3m﹣2×6=0，解得m=4，
故选C
【点评】本题考查直线方程的一般式，和直线的平行关系，属基础题．
6．（5分）以两点A（﹣3，﹣1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（ ）
A．（x﹣1）2+（y+2）2=100 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2=100
C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 D．（x+1）2+（y+2）2=25
【分析】要求圆的方程，即要求圆心坐标和半径，由AB为所求圆的直径，利用中点坐标公式求出线段AB的中点坐标即为圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出线段AC的长度即为圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．
【解答】解：设线段AB的中点为C，则C的坐标为（，）即为（1，2），
所求圆的圆心坐标为（1，2）；
又|AC|==5，则圆的半径为5，
所以所求圆的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．
故选C
【点评】此题考查学生灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程，是一道综合题．
7．（5分）已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）
A． cm3 B． cm3 C． cm3 D． cm3
【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是1，高是1的三角形，做出面积三棱锥的高是1，根据三棱锥的体积公式得到结果．
【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱锥，
三棱锥的底面是一个底边是1，高是1的三角形，面积是=，
三棱锥的高是1，
∴三棱锥的体积是=cm3，
故选：C．
【点评】本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度，本题解题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高．本题是一个基础题．
8．（5分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ）
A．20π B．25π C．50π D．200π
【分析】设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．
【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，
∴R=．
∴S球=4π×R2=50π．
故选C
【点评】本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．
9．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
【分析】通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．
【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；
B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；
C、α，β平行与同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；
D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．
故选 D．
【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题．
10．（5分）当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣2x+4y=0 B．x2+y2+2x+4y=0
C．x2+y2+2x﹣4y=0 D．x2+y2﹣2x﹣4y=0
【分析】先求直线过的定点，然后写出方程．
【解答】解：由（a﹣1）x﹣y+a+1=0得（x+1）a﹣（x+y﹣1）=0，
∴x+1=0且x+y﹣1=0，解得x=﹣1，y=2，该直线恒过点（﹣1，2），
∴所求圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5．即x2+y2+2x﹣4y=0．
故选C
【点评】本题考查恒过定点的直线，圆的一般方程，是基础题．
二．填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）．
11．（4分）经过原点，圆心在x轴的正半轴上，半径等于5的圆的方程是 （x﹣5）2+y2=25 ．
【分析】根据题意，设圆的标准方程为（x﹣a）2+y2=25（a＞0），将原点的坐标代入得到关于a的等式，解出a=5，即可得出所求圆的方程．
【解答】解：设圆的圆心为（a，0）（a＞0），
由圆的半径为5，可得圆的方程为（x﹣a）2+y2=25，
又∵原点O（0，0）在圆上，
∴（0﹣a）2+02=25，得a2=25，解得a=5（舍负）．
由此可得圆的方程为（x﹣5）2+y2=25．
故答案为：（x﹣5）2+y2=25．
【点评】本题已知圆满足的条件，求圆的标准方程．着重考查了圆的标准方程、点与圆的位置关系等知识，属于基础题．
12．（4分）给出下列四个命题：
①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
②两条直线可以确定一个平面；
③若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l；
④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．
其中真命题的个数为 1 ．
【分析】根据平面的基本性质，结合一些特殊情形，如：两个平面有三个共线公共点，那么这两个平面不一定重合，对于两条异面直线不在同一个平面内，借助于在正方体中，从一个顶点出发的三条线不共面等等即可判断．
【解答】解：对于①，如果两个平面有三个共线公共点，那么这两个平面不一定重合；故错．
对于②，两条异面直线不可以确定一个平面，故错；
对于③，由平面的基本性质知其正确；
对于④，在正方体中，从一个顶点出发的三条线不共面，故错．
答案：1
【点评】本题主要考查了平面的基本性质及推论，属于基础题．
13．（4分）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 ．
【分析】根据圆锥的体积公式直接计算即可．
【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．
V=S•h=πR2•h
=π×22×2=．
故答案为：
【点评】本题考查圆锥的体积公式，是基础题．
14．（4分）已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为 π ．
【分析】先求圆锥的底面圆的周长，就是展开图的扇形的弧长，求出圆锥的母线长，再求其高，可求体积．
【解答】解：因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为2，
所求体积V=×π×12×2=．
故答案为：
【点评】本题考查圆锥的体积公式，考查学生空间想象能力，是基础题．
15．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BDD1B1所成角的正弦值为 ．
【分析】连接A1C1交B1D1于O，连接BO，则可得∠C1BO为BC1与平面BBD1B1所成角，利用正弦函数，即可求得结论．
【解答】解：连接A1C1交B1D1于O，连接BO，则
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2
∴C1O⊥平面BDD1B1
∴∠C1BO为BC1与平面BDD1B1所成角
∵C1O=A1C1=，BC1=
∴sin∠C1BO===
故答案为：
【点评】本题考查线面角，解题的关键是正确作出线面角，属于中档题．
三、解答题：（满分30分，每题15分）
16．（15分）若P（2，﹣1）为圆C：（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点．
（1）求圆心C的坐标；
（2）求直线AB的方程．
【分析】（1）由圆的标准方程直接求得圆心坐标；
（2）求出PC所在直线的斜率，利用直线方程的点斜式求得直线AB的方程．
【解答】解：（1）由圆C：（x﹣1）2+y2=25，可知圆心C的坐标为C（1，0）；
（2）∵P（2，﹣1），圆心C（1，0），
∴，
又P（2，﹣1）为圆C：（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，
∴直线AB的斜率为1，
由点斜式得直线AB的方程 y+1=1×（x﹣2），
即 x﹣y﹣3=0，
∴直线AB的方程为x﹣y﹣3=0．
【点评】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．
17．（15分）已知六棱锥P﹣ABCDEF，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影为正六边形中心O，底面边长为2，侧棱长为3，
（1）求正六边形ABCDEF的面积；
（2）求六棱锥P﹣ABCDEF的体积．
【分析】（1）求出底面ABCDEF正六边形的边长即可求解面积；
（2）由已知条件可以判断六棱锥为正六棱锥，要求其体积，求出高即可．
【解答】解：（1）如图，O为正六边形中心，则PO为六棱锥的高，G为CD中点，
则PG为六棱锥的斜高，由已知得：CD=2，则OG=，CG=1，
SABCDEF=6××22=6
（2）在Rt△PCG中，PC=3，CG=1，则
PG==2．
在Rt△POG中，PG=2，OG=，则
PO==．
VP﹣ABCDEF=SABCDEF•PO=×6××22×=2．
【点评】本题考查空间几何体的条件的求法，棱锥的判断，考查空间想象能力以及计算能力．
四．选择题（每题5分，共10分）
18．（5分）已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣3且k≠﹣ B．﹣3＜k＜2且k≠﹣
C．k＞2 D．k＜﹣3
【分析】利用椭圆的简单性质列出不等式组，求解即可．
【解答】解：方程+=1表示椭圆，只需满足：，解得﹣3＜k＜2且k≠﹣．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
19．（5分）已知椭圆的焦点分别为F1，F2，b=4，离心率，过F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
【分析】先根据条件求出椭圆的标准方程中a的值，再由△ABF2的周长是 （|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a 求出结果．
【解答】解：椭圆的焦点分别为F1，F2，b=4，离心率，
∴a=5，
∵△ABF2的周长是 （|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=20，
故选D．
【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用椭圆的定义是解题的关键．
五、填空题（每题5分，共10分）
20．（5分）已知中心在原点，长轴在x轴上，一焦点与短轴两端点连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为4（﹣1），则此椭圆方程是 ．
【分析】利用已知条件列出方程组，求出长半轴与短半轴的长，即可得到椭圆方程．
【解答】解：由题意中心在原点，长轴在x轴上，一焦点与短轴两端点连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为4（﹣1），得，解得，
所以椭圆方程为：．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力．
21．（5分）设e是椭圆+=1的离心率，且e∈（
，1），则实数k的取值范围是 ．
【分析】对k分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数k的取值范围．
【解答】解：由于椭圆+=1，
①若4＞k＞0，a2=4，b2=k，c2=4﹣k，
∴e2==＞，∴k＜3，
则有0＜k＜3；
②若k＞4，则a2=k，b2=4，c2=k﹣4，
∴e2==＞，∴k＞．
则有实数k的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查计算能力，属于中档题．
六．解答题（共30分，每题15分）
22．（15分）已知椭圆C的方程为：+y2=1．
（1）求椭圆的长轴长2a，短轴长2b；
（2）求椭圆的焦点F1、F2的坐标、离心率e．
【分析】（1）利用椭圆的简单性质求解长轴长，短轴长即可．
（2）利用椭圆方程，求出c，然后可得焦点坐标以及椭圆的离心率．
【解答】解：（1）a2=2，a=，b2=1，所以a=，b=1，所以椭圆的长轴长2a=2，2b=2．
（2）c=1，所以椭圆的焦点坐标F1（﹣1，0）、F2（1，0）、离心率e==．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．
23．（15分）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与A交于A，B两点．
（1）写出C的方程；
（2）若⊥，求k的值．
【分析】（1）根据椭圆的定义求出C的方程即可；
（2）联立直线和椭圆，根据韦达定理以及向量的垂直关系得到关于k的方程，求出k的值即可．
【解答】解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以（0，﹣），（0，）为焦点，长半轴为2的椭圆．
它的短半轴b==1，
故曲线C的方程为x2+=1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
其坐标满足，
消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3=0，
故x1+x2=﹣，x1x2=﹣，
若⊥，即x1x2+y1y2=0．
而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，
于是x1x2+y1y2=﹣﹣﹣+1=0，
化简得﹣4k2+1=0，所以k=±．
【点评】本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．