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- 2021-04-15 发布
2016—2017学年下学期2015级
第五次双周练文数试卷
命题人：郑华 审题人：郭松
考试时间：2017年5月19日
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
．C
．已知，为虚数单位，且，则的值为
A．4 B． C． D．
．D【解析】易知“昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿”此推理属于演绎推理，“在平面中，对于三条不同的直线， ， ，若， 则，将此结论放到空间中也成立” 此推理属于合情推理中的类比推理，故选项A、B为真命题；因为存在极值有零点，则，所以“”是“函数存在极值”的必要不充分条件，即选项C正确；若，则， ，但，故选项D错误
．以下四个命题中是假命题的是
A. “昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿”此推理属于演绎推理.
B. “在平面中，对于三条不同的直线， ， ，若，则，将此结论放到空间中也成立” 此推理属于合情推理.
C. “”是“函数存在极值”的必要不充分条件.
D.若，则的最小值为.
．B
．已知、取值如下表: 从所得的散点图分析可知:与线性相关, 且,则
0
1
4
5
6
8
1.3
1.8
5.6
6.1
7.4
9.3
A．1.30 B．1.45 C．1.65 D．1.80
．C
．若正数满足，则的最小值为
A． B． C． D．
．B【解析】x2+y2＜1发生的概率为，当输出结果为804时，i=1001，m=804，x2+y2＜1发生的概率为，∴，即，故选B．
．我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为804，则由此可估计的近似值为
A．3.126 B．3.216 C．3.213 D．3.151
．D【解析】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为的扇形，高是4的圆锥体。容易算得底面面积，所以其体积，应选答案D。
．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的
体积为
A. B. C. D.
．A
．点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是
A． B．
C． D．
．D 【解析】共有四种等可能基本事件即取，计事件A为在上是减函数，由条件知是开口向上的函数，对称轴是，事件A共有三种等可能基本事件，所以.
．已知函数，其中，从中随机抽取个，则它在上是减函数的概率为
A. B. C. D.
．C 【解析】由题意，可设（），即，当时， ，当时， ，所以，又，所以，由图易知，当且仅当时，有最小值；当且仅当时，有最大值。
．已知实数，若关于的不等式对任意的都成立，则的取值范围是
A． B． C． D．
．D
．F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的点，已知|PF1|，|PF2|，|F1F2|
依次成等差数列，且公差大于0，则∠F1PF2=
A． B． C． D．
．A 解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，∴6=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=3．取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，解得b≥1．∴．
∴椭圆E的离心率的取值范围是．
．已知椭圆E： 的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=6，点M到直线的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
．B 解：由对任意的x＞1恒成立，得：（x＞1），
令，（x＞1），则，
令，由得：，
画出函数y=x﹣2，y=lnx的图象，如图示：
∴g（x）存在唯一的零点，又g（3）=1﹣ln3＜0，g（4）=2﹣ln4=2（1﹣ln2）＞0，
∴零点属于（3，4）设为，∴h（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，
且，则
而，∴k的最大值是3．
．已知函数，若对任意的恒成立，则整数的最大值为
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
． 【解析】由题设可得，解，则，则由几何概型的计算公式可得其概率为
．已知指数函数（且）的图象过点，则在内任取一个实数，使得的概率为 ．
． 【解析】为假命题，则为真命题．不等式有属于的解,即有属于的解．又时, ,所以=∈．故．
．设使函数有意义，若为假命题，则的取值范围 ．
．
．
如图，在圆内画1条线段，将圆分成两部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分；画3条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，将圆最多分割成11部分，那么，在圆内画n条线段，将圆最多分割成 部分。
． 解：函数有三个零点，即：方程有三个根，
令，∴，∴或，
∴当x∈（﹣∞，﹣）时，g（x）单调递增，
当x∈（﹣，1）时，g（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g（x）单调递增；∴，而时，
结合图象可得m∈
．若函数有三个零点，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共6小题，共70分，
．（I）（II）详见解析
试题分析：（I）由得，，三种情况即可求解不等式的解集；
（II）由题意，取得，即可运算，进而证得结论。
试题解析：
（I）由得，，即
或或，解得，或.
所以，集合.
（II），.
，，.
.
.
．已知函数，关于的不等式的解集记为.
（I）求；
（II）已知，求证：.
．解：(1),
.
(2)平均数，中位数.
(3)在空气质量指数为和的监测天数中分别抽取天和天，在所抽収的天中，将空气质量指数为的天分别记为；将空气质量指数为的天记为，从中任取天的基本事件分别为：共种，其中
事件“两天空气都为良”包含的基本事件为共种，所以事件“两天都为良”发生的概率是.
．全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2017年2月某日起连续天监测空气质量指数，数据统计如下：
空气质量指数
空气质量等级
空气优
空气良
轻度污染
中度污染
重度污染
天数
（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出的值，并完成頻率分布直方图：
（Ⅱ）由頻率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；
（Ⅲ）在空气质量指数分别为和的监测数据中，用分层抽样的方法抽取天，从中任意选取天，求事件“两天空气都为良”发生的概率.
．解析：（Ⅰ）∵点在平面内的射影恰好为点，∴平面，
又平面，∴平面平面．
又以为直径的圆经过点，，，∴为正方形．
又平面平面，∴平面．
∵平面，，又，∴，
又的中点为，∴，∵，∴，
又平面，平面，，∴平面．
又平面，∴平面平面．
（Ⅱ）连接，由（Ⅰ）知，平面，∴．
又，，∴平面，
又，∴平面．
∴．
∴几何体的体积为4.
（Ⅲ）球心就是的中点，
．如图，已知四边形和均为平行四边形，点在平面内的射影恰好为点，以为直径的圆经过点，，的中点为，的中点为，且．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求几何体的体积；
（Ⅲ）求四棱锥外接球的表面积．
．解析：（1）依题意，即椭圆的方程为。
（2）设过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点,则，即，由韦达定理可得： ，，椭圆的内接平行四边形面积为 ，令，则，
注意到在上单调递减，所以，当且仅当，即时等号成立，故这个平行四边形的面积最大值为。
．已知椭圆的短轴的一个顶点和两个焦点构成正三角形,且该三角形的面积为。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆的左右焦点,若椭圆的一个内接平行四边形的一组对边过点
和,求这个平行四边形面积的最大值。
．解析：（1），∴，，
，
（2）设，，，
①当，即时，，∴在单调递增，成立.
∴在上单调递增，∴，∴成立.
②当，即时，令，得，
当时，，在上单调递减，此时，∴不成立，舍去。
综上，.
．设函数，曲线过点，且在处的切线方程为.[
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数的取值范围.
．（1）；（2）.
解析：（Ⅰ）直线的极坐标方程分别是.
圆的普通方程分别是，所以圆的极坐标方程分别是.
（Ⅱ）依题意得，点的极坐标分别为和
所以，，从而.
同理，.所以，
故当时，的值最大，该最大值是.
．在直角坐标系中，直线的方程是，圆的参数方程是（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线和圆的极坐标方程；
（Ⅱ）射线：（其中）与圆交于、两点，与直线交于点，射线：与圆交于、两点，与直线交于点，求的最大值．