- 1.04 MB
- 2021-04-15 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！高三数学试卷（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足则，则 （ ）
A. B. 41 C. 5 D. 25
【答案】C
【解析】，故选C。
2. 已知集合，则的子集的个数为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】 的子集有四个，故选B。
3. 在等差数列中，，公差，则（ ）
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
【答案】D
【解析】
本题选择D选项.
4. 如图，在中，为线段的中点，依次为线段从上至下的3个四等分点，若，则（ ）
A. 点与图中的点重合 B. 点与图中的点重合
C. 点与图中的点重合 D. 点与图中的点重合
【答案】C
【解析】
∴点P与图中的点F重合.
本题选择C选项.
5. 分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，则（ ）
A. 4 B. 3 C. D. 2
【答案】A
本题选择A选项.
6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有个面是矩形，体积为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由三视图可知，该几何体为直五棱柱，底面为俯视图所示，高为2，
故.
本题选择D选项.
点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．
7. 已知点是平面区域内的任意一点，则的最小值为（ ）
A. -3 B. -2 C. -1 D. 0
【答案】B
【解析】作出不等式组表示的可行域，
由图可知，当a=0,b=2时，目标函数z=在点处取得最小值-2.
本题选择B选项.
8. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得：，
据此整理可得：，
则：.
本题选择C选项.
点睛：(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．
(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．
9. 设函数的导函数为，若为偶函数，且在上存在极大值，则的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意,若f(x)为偶函数,则其导数f′(x)为奇函数，
结合函数图象可以排除B. D，
又由函数f(x)在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，
结合选项可以排除A，
只有C选项符合题意；
本题选择C选项.
10. 我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）
A. ①②③
B. ①②③
C. ①②③
D. ①②③
【答案】B
【解析】程序运行过程中，各变量值如下表所示：
第1次循环：，
第2次循环：，
第3次循环：，…
依此类推,第7次循环：，
此时不满足条件，退出循环，
其中判断框内①应填入的条件是：i⩽128?，
执行框②应填入：，
③应填入：i=2i.
本题选择B选项.
点睛：(1)解决程序框图问题要注意的三个常用变量
①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1.
②累加变量：用来计算数据之和，如S＝S＋i；
③累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i.
(2)使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．
11. 已知多面体的每个顶点都在球的表面上，四边形为正方形，，且在平面内的射影分别为，若的面积为2，则球的表面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设AB=a,BE=b,则△ABE的面积为
多面体可以通过补形成长方体，
如图所示，则球O即为该长方体的外接球，
其表面积为
本题选择A选项.
12. 若函数恰有4个零点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
当 仅与轴交于时，与轴有三个交点，满足题意，此时与满足；当 与轴有两个交点，与
轴有两个时，满足题意，此时满足；当 与轴有三个交点，与轴有一个时，满足题意，此时满足；故选C。
点睛： 与在 与轴的交点都是三个，本题的分段函数与轴交点为四个，需分情况讨论：与轴交点个数：0，1，2，3四种情况即可得结论。本题难度较大，主要考查了的图象。
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13. 为应对电信诈骗，工信部对微信、支付宝等网络支付进行规范，并采取了一些相应的措施，为了调查公众对这些措施的看法，某电视台法制频道节目组从2组青年组，2组中年组2，2组老年组中随机抽取2组进行采访了解，则这2组不含青年组的概率为__________．
【答案】
【解析】设2组青年组的编号分别为1,2,2组中年组的编号分别为3,4,2组老年组的编号为5,6，则从中抽取两组所有的情况为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,4），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），（5,6），共15种，其中不含青年组的情况有6种，故所求概率为
点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
14. 设椭圆的离心率为，则直线与的其中一个交点到轴的距离为__________．
【答案】
【解析】由，得
∴直线与的其中一个交点到轴的距离为.
15. 若是公比为2的等比数列，且，则__________．（用数字作答）
【答案】1013
【解析】因为，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以
所以
16. 已知且，函数存在最小值，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】当时，的最小值为2.
当时，若01，要使存在最小值，必有解得
三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
17. 的内角所对的边分别为.已知，且.
（1）求的面积；
（2）若，求的周长.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：
(1)由正弦定理角化边可得，然后利用面积公式可得的面积.
(2)由题意结合余弦定理可得，则的周长为.
试题解析：
（1）由，得，∴，
∵，∴，故的面积.
（2）由余弦定理得：，∴，
∴，∴，∴，
即的周长为.
18. 如图，在底面为矩形的四棱锥中，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，二面平面，求三棱锥与三棱锥的表面积之差.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：
(1)由题中的几何关系可证得平面，结合面面垂直的判断定理即可证得平面平面；
(2)由题意分别求得三棱锥与三棱锥的表面积，两者做差可得结果为.
试题解析：
（1）证明：由已知四边形为矩形，得，
∵，，∴平面.
又，∴平面.
∵平面，∴平面平面.
（2）解：∵平面平面，平面平面 ，，
∴平面，∴，∴的面积为.
又，∴平面，∴，∴的面积为.
又平面，∴，∴的面积为.
又，∴的面积为8.
而的面积与的面积相等，且三棱锥与三棱锥的公共面为，
∴三棱锥与三棱锥的表面积之差为.
19.
共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态.一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：千辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：
租用单车数量（千辆）
2
3
4
5
8
每天一辆车平均成本（元）
3.2
2.4
2
1.9
1.7
根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙：.
（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：
①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：称为相应于点的残差（也叫随机误差））；
租用单车数量（千辆）
2
3
4
5
8
每天一辆车平均成本(元)
3.2
2.4
2
1.9
1.7
模型甲
估计值
2.4
2.1
1.6
残差
0
-0.1
0.1
模型乙
估计值
2.3
2
1.9
残差
0.1
0
0
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较的大小，判断哪个模型拟合效果更好.
（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6，0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4，0.6.问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）.
【答案】（1）模型乙的拟合效果更好（2）增加到投放1万辆
【解析】试题分析（1）①通过对回归方程的计算可得两种模型的估计值，代入，即可得残差；②计算可得可知模型乙拟合效果更好；（2）分别计算投放千辆和一万辆时该公司一天获得的总利润，即可得结论。
（1）①经计算，可得下表：
②，，
，故模型乙的拟合效果更好.
（2）若投放量为8千辆，则公司获得每辆车一天的收入期望为，
所以一天的总利润为（元）
若投放量为1万辆，由（1）可知，每辆车的成本为（元），
每辆车一天收入期望为，
所以一天的总利润为（元）
所以投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆.
20. 如图，已知抛物线，圆，过抛物线的焦点且与轴平行的直线与交于两点，且.
（1）证明：抛物线与圆相切；
（2）直线过且与抛物线和圆依次交于，且直线的斜率，求的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：
(1)联立抛物线与圆的方程，可得所得的二次方程，∴抛物线与圆相切.
(2)设出直线方程，联立直线与抛物线的方程，结合题意可得，换元令 可得的取值范围是．
试题解析：
（1）证明：∵，∴，故抛物线的方程为，
联立与，得，
∵，∴抛物线与圆相切.
（2），直线的方程为，
圆心到直线的距离为，
∴，
设，
由，得，
则，
∴，
∴，设 ，则，
设，则，
∵，∴，∴函数在上递增，
∴，∴，即的取值范围为.
21. 已知函数，曲线在
处的切线方程为.
（1）若在上有最小值，求的取值范围；
（2）当时，若关于的不等式有解，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
（1），
由题意可知，解得.
所以，当，即时，递增；
当，即时，递减.
因为在上有最小值，所以的取值范围为.
（2）关于的不等式在上有解等价于
不等式在上有解.
设，则，
当，即时，递增；
当，即时，递减.
又 ，，
所以，
所以，所以，
所以的取值范围是.
点睛：(1)首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．
(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．
(3)在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．
（二）选考题（共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）
22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】
在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点.以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.已知直线（为参数）与曲线交于两点，且.
（1）若为曲线上任意一点，求的最大值，并求此时点的极坐标；
（2）求.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）由两角和的正弦公式可得，可以求出的最大值及此时点的极坐标方程；（2）将曲线转化成普通方程，将的参数方程代入，由的几何意义可得的大小，可得结论。
（1）∵，，
∴当时，取得最大值，此时，的极坐标为.
（2）由，得，即，
故曲线的直角坐标方程为.
将代入并整理得：，解得，
∵，∴由的几何意义得，，，
故.
点睛：在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两坐标系的关系，注意 的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同．
23. 【选修4-5：不等式选讲】
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的图象在上与轴有3个不同的交点，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）本题可转化为含两个绝对值的不等式，分三种情况去绝对值即可；（2）本题转化为当有三个不同交点时，的范围，可作的图象，得的范围。
（1）由，得，
∴或或，
解得，故不等式的解集为.
（2） ，
当时， ，当且仅当，即时取等号，
∴，
当时，递减，
由，得，
又，结合的图像可得.