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- 2021-04-15 发布
高三期中质量检测理科数学试题
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 = ,选 C.
2. 下列命题中的假命题是（ ）
A. ， B.
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】 ， ; ; ， ; ， ,所以 D 为假命题,选
D.
3. 下列函数中，既是奇函数又是区间 上的减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 不是奇函数; 既是奇函数又是区间 上的减函数; 是奇函数
又是区间 上的增函数; 不是奇函数,所以选 B.
4. 数列 为等差数列， 是其前项的和，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ,选 A.
5. 已知向量，的夹角为 ，且 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ,所以
,选 D.
6. 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
【答案】A
【解析】 ,所以向左平移 个单位,选 A.
7. 的内角 、 、 的对边分别为、、，若、、成等比数列，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由、、成等比数列，得 ,所以
,选 B.
8. 函数 的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由 得 ,舍去 A; 当 时 ,舍去 B; 当 时 ,舍去 D;选
C.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：
（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由
函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的
周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的
数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
9. 我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法前两步分
为：
第一步：构造数列，，，，…，.①
第二步：将数列①的各项乘以，得数列（记为） ， ， ，…， .
则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ,所以
,选 B.
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间
若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的等差数列，c
为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一
项的裂项求和，如 或 .
10. 函数 零点的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】当 时,
当 时, 与 有两个交点,因此一共有三个零点,选 C.
11. 在平行四边形 中， ，边 ， ，若 、 分别是边 、 上的点，
且满足 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设
,选 D.
点睛：平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ；二是坐标公式
；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进
行化简.
12. 函数 是定义在 上的奇函数，且 为偶函数，当 时， ，若函数
有三个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为 为偶函数, 为奇函数,所以 ,即周期为 4
点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13. 的值为__________.
【答案】
【解析】
14. 计算： __________.
【答案】
【解析】
点睛： 三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，
从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通
分”等
15. 已知曲线 ： 与曲线 ： ，若两条曲线在交点处有相同的切线，则实数
的值为__________.
【答案】
【解析】设交点为 ，则切线斜率为
16. 若对任意的 ，均有 成立，则称函数 为函数 和函数 在区间
上的“中间函数”.已知函数 ， ， ，且 是 和 在
区间 上的“中间函数”，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】 在区间 上恒成立，所以
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单
调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，
构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
17. 已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（2）求 在 上的最小值.
【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为 ， .(2) .
【解析】试题分析：（1）先利用二倍角公式降幂，再利用两角差余弦公式以及辅助角公式将
函数化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求周期与单调区间（2）根据自变量范围确
定正弦函数取值范围，再根据正弦函数图像确定最小值
试题解析：（1）
，
所以函数 的最小正周期为.
由 ， ，
得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 ， .
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 在 上的最小值为 .
18. 在数列 中，已知 ， ， ，为常数.
（1）证明： ， ， 成等差数列；
（2）设 ，求数列 的前项和 .
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】试题分析：（1）根据递推关系求 ， ，再验证 成立即可（2）先构造
等差数列 ，再根据等差数列通项公式得 ，由等比数列定义得数列
为等比数列，最后根据等比数列求和公式求数列 的前项和 .
试题解析：（1）因为 ， ，
所以 ，
同理， ， ，
又因为 ， ，
所以 ，
故 ， ， 成等差数列.
（2）由 ，得 ，
令 ，则 ， ，
所以 是以为首项，公差为的等差数列，
所以 ，
即 ， ，两式相加，得： ，
所以 ，
，
当 ， ，
当 ， .
19. 已知 的内角 、 、 的对边分别为、、， .
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
试题解析：（1）由余弦定理及题设可知： ，得 ，
由正弦定理 ，得 .
（2）由题意可知 .
.
因为 ，所以 ，故 ，
所以 的取值范围是 .
20. 已知函数 （， ）.
（1）若 的图象在点 处的切线方程为 ，求 在区间 上的最大值
和最小值；
（2）若 在区间 上不是单调函数，求的取值范围.
【答案】(1)最大值为 8，最小值为 ；(2) .
【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得 ，求导函数解得 ；再根据 ，
得 .再根据导函数求得零点，列表可得导函数符号，确定函数单调性，最后得到最值（2）
由题意得导函数在 上存在零点，所以 的两根满足 或 ，
解得的取值范围.
试题解析：（1）∵ 在 上，∴ ，
∵点 在 的图象上，∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ，解得 ， .
∴ ， ，
由 可知 和 是 的极值点.
∵ ， ， ， ，
∴ 在区间 上的最大值为 8，最小值为 .
（2）因为函数 在区间 上不是单调函数，所以函数 在 上存在零点.
而 的两根为 ， ，
若 ， 都在 上，则 解集为空集，这种情况不存在；
若有一个根在区间 上，则 或 ，
∴ .
21. 在等差数列 中， ，其前项和为 ，等比数列 的各项均为正数， ，且
， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）令 ，设数列 的前项和为 ，求 （ ）的最大值与最小值.
【答案】(1) ， ；(2) 的最大值是，最小值是 .
【解析】试题分析：（1）由条件列关于公差与公比的方程组，解得 ， ，再根据等差
与等比数列通项公式求通项公式（2）化简可得 ，再根据等比数列求和公式得 ，
结合函数 单调性，可确定其最值
试题解析：（1）设等差数列 的公差为，等比数列 的公比为，则
解得 ， ，
所以 ， .
（2）由（1）得 ，故 ，
当为奇数时， ， 随的增大而减小，所以 ；
当为偶数时， ， 随的增大而增大，所以 ，
令 ， ，则 ，故 在 时是增函数.
故当为奇数时， ；
当为偶数时， ，
综上所述， 的最大值是，最小值是 .
22. 已知函数 .
（1）若函数 在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；
（3）设函数 ，若在 上至少存在一点 ，使得 成立，求实数的取值范
围.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】试题分析：（1）由题意得导函数在其定义域内恒非负，再根据二次方程恒成立条件
得实数的取值范围；（2）将不等式有解问题，利用参变分离法转化为对应函数最值问题，再
利用导数求对应函数最值，即得实数的取值范围.
试题解析：（1） ， ，
因为函数 在其定义域内为增函数，
所以 ， 恒成立，
当 时，显然不成立；
当 时， ，要满足 ， 时恒成立，则 ，
∴ .
（2）设函数 ， ，
则原问题转化为在 上至少存在一点 ，使得 ，即 .
① 时， ，
∵ ，∴ ， ， ，则 ，不符合条件；
② 时， ，
由 ，可知 ，
则 在 单调递增， ，整理得 .
综上所述， .
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一
端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，
另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数
后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.