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- 2021-04-15 发布
合作一中2019-2020学年第一学期期中考试高二（理科）
数学试卷
一、单选题（每小题5分，共60分）
1.若，且那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】对于A，当a＝1，b＝0，c＝1，d＝﹣1时，则不成立，故A不正确；
对于B，当a＝1，b＝0，c＝﹣1，d＝﹣2时，则不成立，故B不正确；
对于C，当a＝1，b＝0，c＝﹣1，d＝﹣2时，则不成立，故C不正确；
对于D，根据不等式的性质可得，∵a＞b，c＞d，∴﹣d＞﹣c，∴a﹣d＞b﹣c，
故选D．
2.在△ABC中，已知，，A＝30°，则c等于（ ）
A. B. C. 或 D. 无解
【答案】C
【解析】
分析】
由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA，代入解出即可得出．
【详解】由余弦定理可得：，，，A＝30°，
∴，
化为：，
解得或.
故选：C.
【点睛】本题考查余弦定理的应用，属于简单题.
3.设数列是等差数列, 若则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
4.不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用分式不等式和高次不等式的解法解不等式得解.
【详解】由题得所以
所以
所以，
所以.
故选D
【点睛】本题主要考查分式不等式和高次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5.中，若，，，则的面积为
A. B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用三角形的面积公式S计算求解.
【详解】由题得的面积．
故选C.
【点睛】本题主要考查三角形面积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
6.等比数列中，，，，则（ ）
A 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式代入首项和公比求得n．
【详解】等比数列中，，，，
∴，
∴，n−1=3，n=4；
故选B.
【点睛】本题考查等比数列通项公式及解指数方程，考查基本求解能力，属于基础题.
7.不等式（－2）2+2(－2)-4＜0,对一切∈R恒成立，则a的取值范围是（ ）
A. （-∞,2] B. （-2,2] C. （-2,2） D. （-∞,2)
【答案】B
【解析】
【详解】因为不等式（－2）2+2(－2)-4＜0,对一切∈R恒成立
所以或，即，选B
8.设等比数列的前项和记为,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等比数列前项和的性质求解可得所求结果．
【详解】∵数列为等比数列，且其前项和记为，
∴成等比数列．
∵，即，
∴等比数列的公比为，
∴，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】在等比数列中，其前项和记为，若公比，则成等比数列，即等比数列中依次取项和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．
9. 已知△ABC中,acosB=bcosA,则△ABC为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰或直角三角形 D. 钝角三角形
【答案】A
【解析】
本题考查正、余弦定理与和差角公式．先统一边角，再进行恒等变形．
10.函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中m，n均大于0，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．
解：∵x=﹣2时，y=loga1﹣1=﹣1，
∴函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），
∵点A在直线mx+ny+1=0上，
∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0，=（）（2m+n）=4+++2≥4+2•=8，
当且仅当m=，n=时取等号．
故选C．
考点：基本不等式在最值问题中的应用．
11.数列的前项和等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：因,故,故应选A.
考点：等差数列和等比数列的前项和.
12.如图，海中有一小岛，一小船从地出发由西向东航行，望见小岛在北偏东
，航行8海里到达处，望见小岛在北偏东，若此小船不改变航行的方向继续前行海里，则离小岛的距离为（ ）
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
【答案】C
【解析】
【详解】
所以离小岛的距离为
，选C
【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.在中，已知，则最大角等于 ．
【答案】
【解析】
由正弦定理得：，所以最大角为C，由余弦定理得：
考点：正余弦定理
14.在中, 若,则的外接圆的半径为 _____.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意求出sinA，利用正弦定理直接求出△ABC的外接圆的半径．
【详解】因为在△ABC中，若a＝3，cosA＝﹣，所以sinA＝，
由正弦定理，可得：＝＝．
故答案为．
【点睛】本题是基础题，考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系式，考查计算能力．
15.，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 ______．
【答案】2020
【解析】
【分析】
先证得，利用倒序相加法求得表达式的值.
【详解】解：由题意可知，
令S=
则S=
两式相加得，
．
故填：
【点睛】本题考查借助倒序相加求函数值的和，属于中档题，解题关键是找到的规律．
16.已知二次不等式的解集为且a>b,则的取值范围为___
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次不等式ax2+2x+b≤0的解集，可得，利用a＞b，可知a＞1，从而，利用换元法，再利用基本不等式，即可求得结论．
【详解】由题意，二次不等式ax2+2x+b≤0的解集为，
∴a＞0，且a＝0
∴∵a＞b，∴a＞1
∴,令t＝，则t＞0
∴
∵t＞0，∴（当且仅当t＝时，取等号）
∴
∴
∴的取值范围为
故答案为
【点睛】本题考查二次不等式的运用，考查基本不等式的运用，利用基本不等式求最值是解题的关键．
三、解答题（17题满分10分，其余满分12分）
17.已知等差数列满足，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设是等比数列的前项和，若，，求．
【答案】(I)；(Ⅱ)，或
【解析】
【分析】
（I）由，可计算出首项和公差，进而求得通项公式．
（Ⅱ）由，并结合（1）可计算出首项和公比，代入等比数列的求和公式可求得.
【详解】(I)设等差数列的公差为，∵．∴，
，
解得，， ∴．
(Ⅱ)设等比数列的公比为，，，联立解得，，
∴，或．
【点睛】本题考查数列基本公式．等差数列的通项公式 , 等比数列的前n项和公式 .
18.已知中，，.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若的面积为，求的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：(1)利用正弦定理得到.又，得到锐角的值； (2)利用面积公式解得. 由余弦定理知.
试题解析：
（Ⅰ）解：由正弦定理，可得.所以.
在三角形中，由已知，所以.
（Ⅱ）由面积公式可得，解得.
由余弦定理知，所以
19.数列对任意，满足.
（1）求数列通项公式；
（2）若，求的通项公式及前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】试题分析：解：（1）由已知得，
故数列是等差数列，且公差.
又，得，所以.
（2）由（１）得，，
所以
.
.
考点：等差数列和等比数列的求和
点评：主要是考查了等差数列和等比数列的求和的运用，属于基础题．
20.已知不等式x2﹣5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}
（1）求实数a，b的值；
（2）若0＜x＜1，f（x）=，求f（x）的最小值．
【答案】（1）；（2）9.
【解析】
试题分析：（1）根据题意，分析可得方程的两个根是1和4，由根与系数的关系分析可得，，解可得、的值；（2）由（1）知的解析式，将其表示为由基本不等式分析可得答案.
试题解析：（1）根据题意，不等式的解集为或， 则方程的两个根是和，则有，，即，.
（2）由（1）知，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9．
点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
21.已知数列的前项和.
（1）证明：数列为等比数列，并求的通项公式.
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）由可得，利用可得是首项为，公比为的等比数列，故而可得的通项公式；（2）由（1）可求出，利用错位相减法可得最后结果.
试题解析：（1），，两式相减，得，即，，又，即，，是首项为，公比为的等比数列，从而的通项公式是.
（2）由（1）知，设数列的前项和为，则，两式相减得 ，.
点睛：本题主要考查了以及等比数列的概念，数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.
22.在锐角中，，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）当BC=2时，求面积的最大值.
【答案】（I）（II）．
【解析】
【分析】
（I）由正弦定理化简已知等式，可得，结合△ABC是锐角三角形，可得；
（II）由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA的式子，代入题中数据化简得到b2+c2=bc+4
，再根据基本不等式加以计算得到bc≤4，利用三角形的面积公式即可得到当b=c=2时，△ABC面积S有最大值为．
【详解】(Ⅰ)∵，
∴由正弦定理,得，
又∵B为三角形的内角，得sinB>0，
∴,可得,
∵△ABC是锐角三角形，
∴；
(Ⅱ)设角A、B、C所对的边分别为a、b、c.
由题意a=2,根据余弦定理，
可得，
化简得，
∵，
∴bc+4≥2bc，解得bc≤4，
∵△ABC面积，
∴当且仅当b=c=2时,△ABC面积S达到最大值,
面积的最大值为.
【点睛】本题考查余弦定理,正弦定理应用，在解三角形中，通常利用正余弦定理进行边角转化，最值问题通常借助基本不等式或函数思想求解，本题难度不大，属于基础题.