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- 2021-04-15 发布
专题二 平面向量、复数运算
1．向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是＝λ1＋λ2(其中λ1＋λ2＝1)．
2．三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量与向量、的关系是＝(＋)．
3．三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心⇔＋＋＝0⇔G.
·＝·＝·⇔O为△ABC垂心．
4．a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)．
5．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
6．z·＝|z|2，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝i，＝－i.
类型一 平面向量的概念及线性运算
[典例1] (1)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A.＝－＋
B.＝－
C.＝＋
D.＝－
解析：通解一：＝＋＝＋＋＝＋＝＋(－)＝－＋.故选A.
通解二：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋.选A.
优解：如图，建立平面直角坐标系，设B(0,0)，A(0,1)，C(1,0)，则D.
∴＝，＝(1，－1)，＝(0，－1)．
＝－.选A.
答案：A
(2)已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则等于( )
A．－ B.
C．－2 D．2
解析：通解：(直接法，利用向量共线定理)
∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则解得＝－2.
优解：(用向量坐标表示)
将e1，e2视为x轴，y轴上的单位向量，
∵a＝(m,2)，b＝(n，－1)
∴a∥b⇔＝＝－2.故选C.
答案：C
平面向量线性运算的两种技巧
(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算；
(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断．
[自我挑战]
1．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝( )
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
解析：选B.由于M为BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋
)＝(＋＋)
＝＋，故选B.
2．已知A、B、C三点不共线，且＝－＋2，则＝( )
A. B.
C．6 D.
解析：选C.如图，取＝－，＝2，以AM，AN为邻边作平行四边形AMDN，
此时＝－＋2.
由图可知S△ABD＝3S△AMD，S△ACD＝S△AND，而S△AMD＝S△AND，
∴＝6，故选C.
类型二 平面向量数量积及其应用
[典例2] (1)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析：通解：根据向量的夹角公式求解．
∵＝，＝，∴||＝1，||＝1，·＝×＋×＝，
∴cos∠ABC＝cos〈，〉＝＝.
∵0°≤〈，〉≤180°，∴∠ABC＝〈，〉＝30°.
优解：如图，以B为原点建立平面直角坐标系，则A.
∴∠ABx＝60°，C∠CBx＝30°，∴∠ABC＝30°.
答案：A
(2)已知⊥，||＝，||＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于( )
A．13 B．15
C．19 D．21
解析：通解：(借“底”数字化) 由题意，⊥，故分别与
，同向共线的单位向量可以作为平面向量的一组基底，设＝a，＝b，则|a|＝|b|＝1，且〈a，b〉＝，所以a·b＝0.
所以＝a，＝tb，＝a＋4b.
而＝－＝a－(a＋4b)＝a－4b，
＝－＝tb－(a＋4b)＝－a＋(t－4)b，
故·＝[a－4b]·[－a＋(t－4)b]
＝－a2－4(t－4)b2＋a·b
＝－×1－4(t－4)×1＋×0
＝1－－4t＋16
＝17－.
由已知||＝，所以t＞0.
由基本不等式可得＋4t≥2＝4(当且仅当＝4t，即t＝时等号成立)，
所以·＝17－≤17－4＝13.
综上，当t＝时，·取得最大值13.故选A.
优解：(借“系”坐标化)由题意，⊥，故以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可得，B，C(0，t)．
而＝(1,0)，＝(0,1)，
所以＝＋＝(1,4)，故P(1,4)．
故＝，＝(－1，t－4)，
所以·＝×(－1)＋(－4)×(t－4)＝1－－4t＋16＝17－.
由已知||＝，所以t＞0.
由基本不等式可得＋4t≥2＝4(当且仅当＝4t，即t＝时等号成立)，
∴·＝17－(t＋4t)≤17－4＝13.
综上，当t＝时，·取得最大值13，故选A.
答案：A
[母题变式]
(1)本例中，已知条件不变，改为求||的值？
解：∵＝－＝－＝
∴||＝＝.
1．一般地，用向量方法解决模的问题的途径有三：一是利用公式|a|2＝a2，将模的平方转化为数量积问题；二是利用模的几何意义；三是坐标法．解决向量的夹角问题主要是利用公式“cos〈a，b〉＝”将向量的夹角问题转化为数量积及模的问题来解决．
2．求解向量数量积最值问题的两种思路
(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．
(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．
[自我挑战]
1．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.
解析：通解：以、为基底表示和后直接计算数量积．
＝＋，＝－，
∴·＝·(－)
＝||2－||2＝22－×22＝2.
优解：(坐标法)先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解．
如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，
∴＝(1,2)，＝(－2,2)，
∴·＝1×(－2)＋2×2＝2.
答案：2
2．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.
解析：通解：∵b·c＝0，
∴b·[ta＋(1－t)b]＝0，ta·b＋(1－t)·b2＝0，
又∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
∴t＋1－t＝0，t＝2.
优解：由t＋(1－t)＝1知向量a、b、c的终点A、B、C
共线，在平面直角坐标系中设a＝(1,0)，b＝，则c＝.
把a、b、c的坐标代入c＝ta＋(1－t)b，得t＝2.
答案：2
类型三 复数的代数运算及几何意义
[典例3] (1)(2016·高考全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：(根据复数几何意义)由已知可得
⇒⇒－3＜m＜1.故选A.
答案：A
(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B.
C. D．2
解析：(根据复数相等及模计算)∵x，y∈R，(1＋i)x＝1＋yi，
∴x＋xi＝1＋yi，∴∴|x＋yi|＝|1＋i|＝＝.故选B.
答案：B
(3)(2016·高考全国卷Ⅲ)若z＝1＋2i，则＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
解析：利用z＝|z|2.
∵z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，
∴＝＝i，故选C.
答案：C
1．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
2．复数模的运算规律|z1z2|＝|z1|·|z2|；＝.
[自我挑战]
1．设复数z满足＝i，则|z|＝( )
A．1 B.
C. D．2
解析：通解：选A.由已知＝i，可得
z＝＝＝＝i，
∴|z|＝|i|＝1，故选A.
优解：∵＝i，∴z＝i，∴|z|＝1.
2．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：通解：选B.
∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i⇒4a＋(a2－4)i＝－4i，
∴解得a＝0.
优解：检验法：将a＝0代入适合题意，故选B.
1．(2017·高考全国卷Ⅱ)＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
解析：选D.＝＝＝2－i.故选D.
2．(2017·高考全国卷Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( )
A. B.
C. D．2
解析：选C.解法一：由(1＋i)z＝2i得z＝＝1＋i，
∴|z|＝.故选C.
解法二：∵2i＝(1＋i)2，
∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，
∴|z|＝.故选C.
3．(2017·高考全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C.
4．(2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
解析：选A.解法一：∵|a＋b|＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.
∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.
解法二：利用向量加法的平行四边形法则．
在▱ABCD中，设＝a，＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A.
5．(2016·高考山东卷)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A．4 B．－4
C. D．－
解析：选B.因为n⊥(tm＋n)，所以tm·n＋n2＝0，所以m·n＝－，又4|m|＝3|n|，
所以cos〈m，n〉＝＝＝－＝，所以t＝－4.故选B.
6．(2016·高考全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
解析：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，知a⊥b，
∴a·b＝m＋2＝0，∴m＝－2.
答案：－2