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- 2021-04-15 发布
第1讲 空间几何体
考情解读 1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题．
1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系
2．空间几何体的三视图
(1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形．
(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．
(3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．看不到的线画虚线．
3．直观图的斜二测画法
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
4．空间几何体的两组常用公式
(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：
①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；
②S锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)；
③S台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上，下底面的周长，h′为斜高)；
④S球表＝4πR2(R为球的半径)．
(2)柱体、锥体和球的体积公式：
①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
②V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
③V台＝(S＋＋S′)h(不要求记忆)；
④V球＝πR3.
热点一 三视图与直观图
例1 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B．8
C. D．16
(2)(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )
思维启迪 (1)根据三视图确定几何体的直观图；(2)分析几何体的特征，从俯视图突破．
答案 (1)B (2)D
解析 (1)由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图：
则该几何体的体积V＝×2×2×4＝8.
(2)由俯视图易知答案为D.
思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．
(1)(2013·课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )
(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
答案 (1)A (2)D
解析 (1)根据已知条件作出图形：四面体C1－A1DB，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图为正方形，如图(2)所示．故选A.
(2)如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.
热点二 几何体的表面积与体积
例2 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.π B．2π
C. D.
(2)如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连接EF，FB，DE，则几何体EFC1－DBC的体积为( )
A．66 B．68
C．70 D．72
思维启迪 (1)由三视图确定几何体形状；(2)对几何体进行分割．
答案 (1)D (2)A
解析 (1)由三视图知，原几何体是两个相同的圆锥的组合，∴V＝(×π×12)×2＝π.
(2)如图，连接DF，DC1，那么几何体EFC1－DBC被分割成三棱锥D－EFC1及四棱锥D－CBFC1，那么几何体EFC1－DBC的体积为V＝××3×4×6＋××(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.
故所求几何体EFC1－DBC的体积为66.
思维升华 (1)利用三视图求解几何体的表面积、体积，关键是确定几何体的相关数据，掌握应用三视图的“长对正、高平齐、宽相等”；(2)求不规则几何体的体积，常用“割补”的思想．
多面体MN－ABCD的底面ABCD为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 过M，N分别作两个垂直于底面的截面，将多面体分割成一个三棱柱和两个四棱锥，由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形，面积为S1＝×2×2＝2，高为2，所以体积为V1＝4，两个四棱锥为全等四棱锥，棱锥的体积为V1＝2××2×1×2＝，所以多面体的体积为V＝＋4＝，选D.
热点三 多面体与球
例3 如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )
A.π B．3π C.π D．2π
思维启迪 要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置，由于△BCD是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等，只要再证明这个点到点A的距离等于这个点到B，C，D的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可．
答案 A
解析 如图，取BD的中点E，BC的中点O，
连接AE，OD，EO，AO.
由题意，知AB＝AD，所以AE⊥BD.
由于平面ABD⊥平面BCD，AE⊥BD，
所以AE⊥平面BCD.
因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝，
所以AE＝，EO＝.
所以OA＝.
在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝BC＝，
所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.
所以该球的体积V＝π()3＝π.故选A.
思维升华 多面体与球接、切问题求解策略
(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2＝a2＋b2＋c2求解．
(1)(2014·湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是________；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是________．
答案 (1)B (2) 3π
解析 (1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r＝×(6＋8－10)＝2.因此选B.
(2)由三视图可知，该几何体是四棱锥P－ABCD(如图)，其中底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝1，∴该四棱锥的体积为V＝×1×1×1＝.又PC为其外接球的直径，∴2R＝PC＝，则球的表面积为S＝4πR2＝3π.
1．空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．
2．在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外)，因此体积计算中的关键一环就是求出这个量．在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面．
3．一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体，而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方法进行补形)、还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何量不易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规则几何体的一部分来求解)．
4．长方体的外接球
(1)长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即＝2R；
(2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即a＝2R.
真题感悟
1．(2014·北京)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，)．若S1，S2，S3分别是三棱锥D－ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则( )
A．S1＝S2＝S3 B．S2＝S1且S2≠S3
C．S3＝S1且S3≠S2 D．S3＝S2且S3≠S1
答案 D
解析 如图所示，△ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影，所以
S1＝×2×2＝2.
三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与△DEF(E，F分别为OA，BC的中点)全等，
所以S2＝×2×＝.
三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△DGH(G，H分别为AB，OC的中点)全等，
所以S3＝×2×＝.
所以S2＝S3且S1≠S3.故选D.
2．(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．
答案
解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由＝，
得＝，则＝.
由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，
即r1h1＝r2h2，则＝，
所以＝＝.
押题精练
1．把边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，连接AC，得到三棱锥C－ABD，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示)，则其侧视图的面积为( )
A. B.
C．1 D.
答案 B
解析 在三棱锥C－ABD中，C在平面ABD上的投影为BD的中点O，∵正方形边长为，∴AO＝OC＝1，∴侧视图的面积为S△AOC＝×1×1＝
.
2．在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球体积为( )
A.π B．2π C．3π D．4π
答案 A
解析 如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，
∴三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长．
据题意解得
∴长方体的体对角线长为＝，
∴三棱锥外接球的半径为.
∴三棱锥外接球的体积为V＝π·()3＝π.
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一、选择题
1．已知正三棱锥V－ABC的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图的面积为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
答案 C
解析 如图，作出正三棱锥V－ABC的直观图，取BC边的中点D，连接VD，AD，作VO⊥AD于O.
结合题意，可知正视图实际上就是△VAD，于是三棱锥的棱长VA＝4，从俯视图中可以得到底面边长为2，侧视图是一个等腰三角形，此三角形的底边长为2
，高为棱锥的高VO.
由于VO＝ ＝2.
于是侧视图的面积为×2×2＝6，故选C.
2．右图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为( )
A．2 B.
C. D.
答案 D
解析 多面体ABCDE为四棱锥，利用割补法可得其体积V＝4－＝，选D.
3．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为( )
A．15＋3 B．9
C．30＋6 D．18
答案 B
解析 由三视图知几何体是一个底面为3的正方形，高为的斜四棱柱，所以V＝Sh＝3×3×＝9.
4．已知正四棱锥的底面边长为2a，其侧(左)视图如图所示．当正(主)视图的面积最大时，该正四棱锥的表面积为( )
A．8 B．8＋8
C．8 D．4＋8
答案 B
解析 由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示，其主视图与左视图相同，设棱锥的高为h，则a2＋h2＝4.故其主视图的面积为S＝·2a·h＝ah≤＝2，即当a＝h＝时，S最大，此时该正四棱锥的表面积
S表＝(2a)2＋4××2a×2
＝8＋8，故选B.
5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，该几何体的体积为( )
A.π B.π C.π D.π
答案 A
解析 三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，底面相对接的图形，圆锥的底面半径为1，母线长为2，故圆锥的高为h＝＝.易知该几何体的体积就是整个圆锥的体积，即V圆锥＝πr2h＝π×12×＝π.故选A.
6．(2014·大纲全国)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A. B．16π C．9π D.
答案 A
解析 如图，设球心为O，半径为r，
则Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，
解得r＝，
∴该球的表面积为4πr2＝4π×()2＝π.
二、填空题
7．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．
答案 2＋
解析 如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝.
而四边形AECD为矩形，AD＝1，
∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1.
由此可还原原图形如图．
在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，
∴这块菜地的面积为S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′
＝×(1＋1＋)×2＝2＋.
8．如图，侧棱长为2的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面△AEF，则截面△AEF的周长的最小值为____________．
答案 6
解析 沿着侧棱VA把正三棱锥V－ABC展开在一个平面内，如图．
则AA′即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA′＝3×40°＝120°.
在△VAA′中，由余弦定理可得AA′＝6，故答案为6.
9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为______．
答案
解析
＝××1×1×1＝.
10．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球的表面积等于________．
答案 16π
解析 设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab＝8，此时2a＋2b≥4＝8，当且仅当a＝b＝2时等号成立，此时四边形ABCD为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是4π×22＝16π.
三、解答题
11．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
解 由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥E－ABCD.
(1)V＝×(8×6)×4＝64.
(2)四棱锥E－ABCD的两个侧面EAD，EBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高h1＝ ＝4；
另两个侧面EAB，ECD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h2＝ ＝5.
因此S＝2×(×6×4＋×8×5)＝40＋24.
12．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB＝30°.
(1)求证：EF⊥PB；
(2)试问：当点E在何处时，四棱锥P—EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P—EFCB的体积．
(1)证明 ∵EF∥BC且BC⊥AB，
∴EF⊥AB，即EF⊥BE，EF⊥PE.又BE∩PE＝E，
∴EF⊥平面PBE，又PB⊂平面PBE，
∴EF⊥PB.
(2)解 设BE＝x，PE＝y，则x＋y＝4.
∴S△PEB＝BE·PE·sin∠PEB
＝xy≤2＝1.
当且仅当x＝y＝2时，S△PEB的面积最大．
此时，BE＝PE＝2.
由(1)知EF⊥平面PBE，
∴平面PBE⊥平面EFCB，
在平面PBE中，作PO⊥BE于O，则PO⊥平面EFCB.
即PO为四棱锥P—EFCB的高．
又PO＝PE·sin 30°＝2×＝1.
SEFCB＝×(2＋4)×2＝6.
∴VP—BCFE＝×6×1＝2.