【数学】2020届一轮复习人教B版极坐标与直角坐标的关系作业 7页

一、选择题 ‎1．下列直角坐标表示的点在极轴所在直线上的是 (　C　)‎ A．(1,2)　　　　　　　　 B．(0，π)‎ C．(π，0) D．(π，2π)‎ ‎2．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．若点P的直角坐标与其极坐标在数值上相同，则点P在 (　C　)‎ A．x轴上 B．y轴上 C．射线Ox上 D．射线Oy上 ‎3．若点P的直角坐标为(，－)，则它的极坐标可表示为 (　D　)‎ A．(2，) B．(2，)‎ C．(2，) D．(2，)‎ ‎【解析】　∵ρ＝＝2，tanθ＝＝－1，且点P在第四象限，∴θ＝.‎ 故点P的极坐标为(2，)．‎ ‎4．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为 (　A　)‎ A．(π，0) B．(π，2π)‎ C．(－π，0) D．(－2π，0)‎ ‎5．把点的直角坐标(3，－4)化为极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<π)，则 (　D　)‎ A．ρ＝3，θ＝4 B．ρ＝5，θ＝4‎ C．ρ＝5，tanθ＝ D．ρ＝5，tanθ＝－ ‎【解析】　由公式得ρ＝＝＝5，‎ tanθ＝＝－，θ∈[0,2π)．‎ ‎6．在极坐标系中，点A(2，)与B(2，－)之间的距离为 (　B　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【解析】　方法一：点A(2，)与B(2，－)的直角坐标分别为(，1)与(，－1)，‎ 于是|AB|＝＝2.‎ 方法二：由点A(2，)与B(2，－)知，‎ ‎|OA|＝|OB|＝2，∠AOB＝，于是△AOB为等边三角形，所以|AB|＝2.‎ 二、填空题 ‎7．已知两点的极坐标分别为A(3，)，B(3，)，则|AB|＝__3__，直线AB的倾斜角为　　. ‎【解析】　根据极坐标的定义可得|AO|＝|BO|＝3，∠AOB＝，即△AOB为等边三角形，所以|AB|＝|AO|＝|BO|＝3，∠ACx＝(O为极点，C为直线AB与极轴的交点)．‎ ‎8．极坐标系中，直角坐标为(1，－)的点的极角为　2kπ－，k∈Z　. ‎【解析】　直角坐标为(1，－)的点在第四象限，‎ tanθ＝－，所以θ＝2kπ－，k∈Z.‎ ‎9．极坐标系中，点(6，)的直角坐标为　(3,3)　. ‎【解析】　∵x＝ρcosθ＝6cos＝3，‎ y＝ρsinθ＝6sin＝3，‎ ‎∴点的极坐标(6，)化为直坐标为(3,3)．‎ ‎10．将点的直角坐标(－，)化为极坐标(ρ>0，θ∈[0,2π))为　(，)　. ‎【解析】　∵ρ＝ ‎＝＝ tanθ＝＝－1，θ∈[0,2π)．‎ 由于点(－，)在第二象限，‎ 所以θ＝.‎ ‎∴点的直角坐标(－，)化为极坐标为(，)．‎ 三、解答题 ‎11．(1)将下列各点的极坐标化为直角坐标： ‎①(，)；②(6，－)；③(5，π)．‎ ‎(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)：‎ ‎①(，3)；②(－3,0)．‎ ‎【解析】　(1)①x＝cos＝1，y＝sin＝1，‎ 所以点(，)的直角坐标为(1,1)．‎ ‎②x＝6cos(－)＝3，‎ y＝6sin(－)＝－3.‎ 所以点(，－)的直角坐标为(3，－3)．‎ ‎③x＝5cosπ＝－5，‎ y＝5sinπ＝0，‎ 所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．‎ ‎(2)①ρ＝＝2，tanθ＝＝.‎ 又因为点在第一象限，所以θ＝.‎ 所以点(，3)的极坐标为(2，)．‎ ‎②ρ＝＝3，极角为π，所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．‎ ‎12．在极坐标系中，两点P(2，)和Q(2，)，求PQ的中点的极坐标. ‎【解析】　先化直角坐标，再化为极坐标．‎ ‎∵P(2，)，∴ ‎∴P(1，)．∵Q(2，)，‎ ‎∴ ‎∴Q＝(－3，)．‎ ‎∴中点M的直角坐标为(－1，)．‎ ‎∴ρ2＝(－1)2＋()2＝4，∴ρ＝2.‎ ‎∴tanθ＝＝－，∴θ＝.‎ ‎∴中点M的极坐标为(2，)．‎ B级　素养提升 一、选择题 ‎1．把点M的直角坐标(1,1)化成极坐标形式为(ρ≥0，－2π≤θ<0) (　D　)‎ A． B． C． D． ‎【解析】　由坐标互化公式得 ρ＝＝ tanθ＝＝1(θ为第一象限角)．‎ 又－2π≤θ<0，∴θ＝－，故选D．‎ ‎2．已知点M的极坐标为(5，θ)，且tanθ＝－，<θ<π，则点M的直角坐标为 (　C　)‎ A．(－5,4) B．(－5,3)‎ C．(－3,4) D．(－4,3)‎ ‎【解析】　∵tanθ＝－，<θ<π，‎ ‎∴cosθ＝－，sinθ＝，‎ ‎∴x＝5cosθ＝－3，y＝5sinθ＝4，‎ 故点M的直角坐标为(－3,4)．‎ ‎3．在极坐标系中，若等边三角形ABC的两个顶点是A(2，)，B(2，)，则顶点C的坐标可能是 (　B　)‎ A．(4，) B．(2，)‎ C．(2，π) D．(3，π)‎ ‎【解析】　如图所示，由题设可知A，B两点关于极点O对称，即O是AB的中点．‎ 设点C的极坐标为(ρ，θ)，‎ 又|AB|＝4，△ABC为等边三角形，‎ 所以ρ＝|OC|＝2.‎ 因为∠AOC＝，所以在[0,2π)内点C的极角θ＝＋＝或θ＝＋＝，即点C的极坐标为(2，)或(2，)．‎ ‎4．两点A，B的极坐标分别为(2，)，(3，)，则A、B两点间的距离为 (　D　)‎ A． B． C． D． ‎【解析】　点A，B的直角坐标分别为(1，)，(0,3)，则 ‎|AB|＝＝.‎ ‎5．若A，B两点的极坐标分别为A(4,0)，B(4，)，则线段AB的中点的极坐标为 (　A　)‎ A．(2，) B．(，)‎ C．(4，) D．(2，)‎ ‎【解析】　由题意知点A，B的直角坐标分别为(4,0)，(0,4)，则线段AB的中点的直角坐标为(2,2)．‎ 由ρ2＝x2＋y2，得ρ＝2.‎ 因为tanθ＝＝1，且点(2,2)在第一象限，所以θ＝.故线段AB的中点的极坐标为(2，)．‎ 二、填空题 ‎6．在极坐标系中，与点P(6，－)关于极轴所在直线对称的点的极坐标　(6，)　. ‎【解析】　极坐标系中的点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点的极坐标为(ρ，2kπ－θ)(k∈Z)，∴与点(6，－)关于极轴所在直线对称的点的极坐标可表示为(6,2kπ＋)(k∈Z)．‎ ‎7．已知M1，M2，则|M1M2|＝__2__. ‎【解析】　|M1M2|‎ ‎＝ ‎＝＝2.‎ ‎8．原点与极点重合，x轴的正半轴与极轴重合，则(2,2)关于x＋y＝0对称的点的极坐标为　(2，)　. ‎【解析】　点(2,2)关于x＋y＝0对称的点的直角坐标为(－2，－2)，‎ 根据互化公式得ρ＝＝2，‎ tanθ＝＝1(θ为第三象限角)，∴θ＝，‎ ‎∴点(2,2)关于x＋y＝0对称的点的极坐标为(2，)．‎ 三、解答题 ‎9．在极坐标系中，已知三点M(2，)，N(2,0)，P(2，)，将M，N，P三点的极坐标化为直角坐标，并判断M，N，P三点是否在同一条直线上. ‎【解析】　∵点M的极坐标为(2，)，‎ ‎∴点M的直角坐标为(2cos，2sin)，‎ 即为M(1，－)．‎ 同理可得点N的直角坐标为(2,0)，点P的直角坐标为(3，)．‎ ‎∵kMN＝＝，kPN＝＝.‎ ‎∴kMN＝kPN.‎ ‎∴M，N，P三点在同一条直线上．‎ ‎10．在极坐标系中若△ABC的三个顶点为A、B、C，判定△ABC的形状. ‎【解析】　|AB|＝ ‎＝＝7，‎ ‎|AC|＝ ‎＝＝7，‎ ‎|BC|＝＝＝7，‎ ‎∴△ABC是等边三角形．‎