江苏省常州市教育学会2021届高三上学期学业水平监测（11月）数学试题 Word版含答案 7页

1 2021 届江苏省常州市教育学会学业水平监测 高三数学 2020.11 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合 A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝ 2y y x ，则 A  ( Rð B)＝ A．{﹣2，﹣1} B．{﹣2，﹣1，0} C．{0，1，2} D．{1，2} 2．i 是虚数单位，复数1 3i i   ＝ A．﹣ 3 ﹣i B．﹣ 3 ＋i C． 3 ﹣i D． 3 ＋i 3．tan15°＝ A． 3 1  B． 2 3 C． 3 1 D． 2 3 4．函数 y＝sin2x 的图象可由函数 y＝cos(2x＋ 6  )的图像 A．向左平移 12  个单位得到 B．向右平移 6  个单位得到 C．向左平移 4  个单位得到 D．向右平移 3  个单位得到 5．已知函数 2( ) lnf x x a x  ，a＞0，若曲线 ( )y f x 在点(1，1)处的切线是曲线 ( )y f x 的所有切线中斜率最小的，则 a＝ A． 1 2 B．1 C． 2 D．2 6．某校全体学生参加物理实验、化学实验两项操作比赛，所有学生都成功完成了至少一项 实验，其中成功完成物理实验的学生占 62%，成功完成化学实验的学生占 56%，则既成 功完成物理实验又成功完成化学实验的学生占该校学生的比例是 A．44% B．38% C．18% D．6% 7．声强是表示声波强度的物理量，记作 I．由于声强 I 的变化范围非常大，为方便起见，引 入声强级的概念，规定声强级 L＝ 0 Ilg I ，其中 20 0I 10 W/m2，声强级的单位是贝尔， 1 10 贝尔又称为 1 分贝．生活在 30 分贝左右的安静环境有利于人的睡眠，而长期生活在 90 分贝以上的噪音环境中会严重影响人的健康．根据所给信息，可得 90 分贝声强级的 声强是 30 分贝声强级的声强的 A．3 倍 B．103 倍 C．106 倍 D．109 倍 8．已知奇函数 ( )f x 在(  ， )上单调递减，且 (1) 1f   ，则“x＞﹣1”是“ ( )xf x ＜ 1”的 2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知 a＞b＞0，cR，则下列不等式中正确的有 A． 2 2a b B． 2 2ac bc C． 1 1 a b  D． 1 1 a b a b   10．i 是虚数单位，下列说法中正确的有 A．若复数 z 满足 0z z  ，则 z＝0 B．若复数 1z ， 2z 满足 1 2 1 2z z z z   ，则 1 2 0z z  C．若复数 z＝a＋ai(aR)，则 z 可能是纯虚数 D．若复数 z 满足 z2＝3＋4i，则 z 对应的点在第一象限或第三象限 11．已知等差数列 na 的公差 d≠0，前 n 项和为 nS ，若 6 12S S ，则下列结论中正确的有 A． 1a ：d＝﹣17：2 B． 18 0S  C．当 d＞0 时， 6 14 0a a  D．当 d＜0 时， 6 14a a 12．对于定义域为 D 的函数 ( )f x ，若存在区间[m，n]  D 满足：① ( )f x 在[m，n]上是单 调函数，②当 x[m，n]时，函数 ( )f x 的值域也是[m，n]，则称[m，n]为函数 ( )f x 的 “不动区间”．则下列函数中存在“不动区间”的有 A． ( ) 2f x x  B． 2( ) 1f x x   C． 2( ) 2f x x x  D． ( ) 3 2xf x   三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13．平面内，不共线的向量 a  ，b  满足 2a b a b      ，且 2a a b    ，则 a  ，b  的夹角 的余弦值为 ． 14．函数 y＝x＋b 的图象与函数 1 22y x 的图象有且仅有一个公共点，则实数 b 的取值范围 为 ． 15．欧几里得在《几何原本》中，以基本定义、公设和公理作为 全书推理的出发点．其中第 I 卷命题 47 是著名的毕达哥拉 斯定理（勾股定理），书中给出了一种证明思路：如图，Rt △ABC 中，∠BAC＝90°，四边形 ABHL、ACFG、BCDE 都是正方形，AN⊥DE 于点 N，交 BC 于点 M．先证△ABE 与△HBC 全等，继而得到矩形 BENM 与正方形 ABHL 面积 相等；同理可得到矩形 CDNM 与正方形 ACFG 面积相等； 进一步定理可得证．在该图中，若 tan∠BAE＝ 1 3 ，则 sin∠BEA＝ ． 3 16．已知数列 na 中， 1 1 2a  ，且对任意正整数 m，n，m＞n 都有等式 2 m n m n m na a a a   成立，那么 2020a ＝ ． 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 在①bc＝4，②acosB＝1，③sinA＝2sinB 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中， 若问题中的三角形存在，求 C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bcosC＝1，csinA ＝2sinC， ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分 12 分） 已知平面向量 a  是单位向量，向量 b  ＝(1， 3 )． （1）若 a  ∥ b  ，求 a  的坐标； （2）若( a  ﹣b  )⊥ a  ，求 a  的坐标． 19．（本小题满分 12 分） 已知公差为整数的等差数列 na 满足 2 3 15a a  ，且 4 7a  ． （1）求数列 na 的通项公式 na ； （2）求数列 3n na  的前 n 项和 nS ． 4 20．（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) ex af x x  ，其中 aR，e 是自然对数的底数． （1）当 a＝1 时，求函数 ( )f x 在区间[0，  )的零点个数； （2）若 e( ) 2 x f x  对任意 x[﹣1，  )恒成立，求实数 a 的取值范围． 21．（本小题满分 12 分） 已知集合 A＝ 2 1, Nx x n n    ，B＝ 2 , Nnx x n   ，将 A  B 中的所有元 素按从小到大的顺序排列构成数列 na ，设数列 na 的前 n 项和为 nS ． （1）求 7S 的值； （2）若 2k ma  （其中 k N ），试用 k 表示 m 和 mS ； （3）求使得 nS ≤2020 成立的最大的 n 的值，并求此时的 nS 的值． 22．（本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) (4 1) 9 2lnf x ax a x a x     ，其中 a＞0． （1）若 a＝ 1 2 ，求函数 ( )f x 的单调区间； （2）e 是自然对数的底数，若对任意的 b＞4，当 x( 1 e ，b]时， ( ) ( )f x f b 恒成立， 求实数 a 的取值范围． 5 参考答案 1．A 2．B 3．B 4．D 5．D 6．C 7．C 8．B 9．ABD 10．AD 11．ABC 12．CD 13． 2 2 14．(  ，0)  {1} 15． 2 10 16． 1 2  17． 18． 19． 20． 6 21． 22． 7