2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练16 平面向量的数量积 24页

考点16 平面向量的数量积 ‎【考点分类】‎ 热点一 平面向量的数量积 ‎1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】已知点、、、，则向量在方向上的投影为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】设为单位向量.且的夹角为 ，若则向量在方向上的射影为________.‎ ‎3.【2013年全国高考新课标（I）理科】已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____.‎ ‎4.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 =_______.‎ ‎5.(2012年高考天津卷理科7)已知△ABC为等边三角形，，设点P，Q满足，，，若，则( )‎ ‎（A） 　（Ｂ）　　　（Ｃ）　　　（Ｄ）‎ ‎6. (2012年高考湖南卷理科7)在△ABC中，AB=2，AC=3，= 1则BC=( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(2012年高考陕西卷文科7)设向量=（1.）与=（-1， 2）垂直，则等于 （ ）‎ A B C .0 D.-1‎ ‎【答案】C ‎8．(2012年高考北京卷理科13)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为______.‎ ‎9. (2012年高考浙江卷文科15)在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.‎ ‎.‎ ‎10.（2012年高考江苏卷9）如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是 ．‎ A B C E F D ‎11.(2012年高考浙江卷理科15)在ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝______________．‎ ‎12．(2012年高考上海卷理科12)在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 .‎ ‎13. (2012年高考湖南卷文科15)如图4，在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P，且= .‎ ‎14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】‎ 设向量 ‎（I）若 ‎（II）设函数 ‎【方法总结】‎ ‎1.当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识．‎ ‎2.求向量的数量积的公式有两个：一是定义式＝；二是坐标式 ‎.定义式的特点是具有强烈的几何含义，需要明确两个向量的模及夹角，夹角的求解方法灵活多样，一般通过具体的图形可确定，因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点具有明显的代数特征，解题时需要引入直角坐标系，明确向量的坐标进行求解.即向量问题“坐标化”，使得问题操作起来容易、方便.‎ 热点二 平面向量的模 ‎15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理】 已知是单位向量，.若向量满足（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎17.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于________.‎ ‎ ，设的最大值为4，所以答案是2.‎ ‎18.(2012年高考重庆卷理科6)设R，向量，且，则 ( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）10‎ ‎19.(2012年高考安徽卷理科14)若平面向量满足：；则的最小值.‎ ‎20.(2012年高考新课标全国卷理科13)已知向量夹角为 ，且；则.‎ ‎【方法总结】‎ 高考对平面向量的模的考查，常以小题形式出现，属中档题，常考查类型：‎ ‎①把向量放在适当的坐标系中，给有关向量赋予具体坐标求向量的模，如向量a＝(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|＝即可求解．‎ ‎②不把向量放在坐标系中研究，求解此类问题的通常做法是利用向量运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a的模进行如下转化：|a|＝.‎ 热点三 平面向量的夹角 ‎21.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】若非零向量满足，则夹角的余弦值为_______.‎ ‎22.(2012年高考广东卷文科10) 对任意两个非零的平面向量和，定义. ‎ 若两个非零的平面向量，满足与的夹角，且和都在集合中，则( )‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎23.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】已知向量与的夹角为，且 ‎，若，，且，则实数的值为_____.‎ ‎24..(2012年高考湖北卷文科13)已知向量=（1,0），=（1,1），则 ‎ （Ⅰ）与同向的单位向量的坐标表示为____________；‎ ‎（Ⅱ）向量与向量夹角的余弦值为____________.‎ ‎【方法总结】‎ 高考对平面向量夹角的考查，常以小题形式出现，属中档题．有时也在大题中出现，属中档题．两向量夹角公式其实是平面向量数量积公式的变形和应用、有关两向量夹角问题的考查，常见类型：‎ ① 依条件等式，运算求夹角，此类问题求解过程中应关注夹角取值范围；‎ ‎②依已知图形求两向量夹角，此类题求解过程应抓住“两向量共起点”，便可避开陷阱，顺利求解．‎ ‎【考点剖析】‎ 一．明确要求 ‎1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．‎ ‎2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．‎ ‎3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎4.能运用数量积表示两个向量的夹角，‎ 二．命题方向 ‎1.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直关系是难点．‎ ‎2.以向量为载体考查三角函数及解析几何问题是高考考查的重点．‎ ‎3.多以选择题、填空题的形式出现，难度适中，但灵活多变.‎ 三．规律总结 一个条件 两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ 两个探究 ‎(1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？‎ ‎(2)若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？‎ 三个防范 ‎(1)若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．‎ ‎(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等．‎ ‎(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，与的夹角应为120°，而不是60°.‎ ‎【考点模拟】‎ 一．扎实基础 ‎1. 【河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试】是两个向量，，，且，则与的夹角为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2. 【2013安徽省省级示范性高中名校高三联考】已知，是单位向量，向量与的夹角是，则在的方向上的投影为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 【2013安徽省省级示范性高中名校高三联考】已知，是单位向量，向量与的夹角是，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试】在平行四边形中，‎ 点在边上， 则（ ）‎ A． B． ‎1 C． D．‎ ‎5. ‎ ‎【北京市房山区2013届高三上学期期末考试】已知平面向量夹角为，且，，则等于 （ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 【山东省威海市2013届高三上学期期末考试】已知，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7. 【天津市新华中学2013届高三上学期第三次月考数学试卷】已知向量夹角为 ，且 ；则___ ___.‎ ‎8. 【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】已知向量夹角为，若，，则 .‎ ‎9. 【江苏省南通市2013届高三第三次调研测试】在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB，，CD．若，则的值为 ．‎ ‎10. 【江西省2013年四月高中毕业班新课程教学质量监测卷】在中，若,则.‎ 二．能力拔高 ‎11. 【内蒙古赤峰市2013届高三最后一次仿真统考】已知向量，，则向量与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第10题图 ‎12. 【安徽省马鞍山市2013届高三第三次教学质量检测】如图，在中，，，，‎ 则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎13. 【河北省保定市2013年高三第一次模拟考试】若平面向量两两所成的角相等，且，则等于（ ）‎ ‎ A. 2 　 B. ‎5 ‎　 C、2或5　 D、‎ ‎14. .【河北省唐山一中、衡水一中2013届高三4月联考】在中，,,点P在AM上且满足，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎15. 【上海市闸北2013届高三一模】已知向量，满足：，且()．则 向量与向量的夹角的最大值为 ( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎16. 【2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】在矩形中，. 若 分别在边上运动（包括端点）,且满足,则的取值范围是_________. ‎ ‎[来源:学_科_网]‎ ‎17. 【2013年浙江省高考测试卷】如图，在四边形ABCD中，，若，，则( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎18. 【山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试】如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB=I， ，则______.‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎，所以.‎ ‎19. 【上海市2013届高考闵行二模卷】已知△ABC的外接圆的圆心为O，AC=6，BC=7，AB=8，则= .‎ ‎20. 【2013年“江南十校”高三学生第二次联考（二模）测试】设a，b，c是非零向量，有下列几个命题：‎ ‎①若，，则 ‎②若，则 ‎③若都是单位向量，且它们的夹角为，则 ‎④若，且，则的夹角为，且的夹角为 ‎⑤若，，则在方向上的投影是-1‎ 其中正确的有 .（写出所有正确命题的编号）‎ 正确；在方向上的投影，所以⑤正确.[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ 三．提升自我 ‎21. 【浙江省宁波市2013年高考模拟押题试卷】已知空间向量满足，且的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足，，则△OAB的面积为（ ）‎ ‎（A） （B） 　（C） 　 （D）‎ ‎22. 【2013安徽省省级示范性高中名校高三联考】‎ 若函数的图像与x轴交于点A，过点A的直线l与f(x)的图像交于B、C两点，O为坐标原点，则= .‎ ‎23. 【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】已知是两个互相垂直的单位向量，且，，，则对任意的正实数t,的最小值是（ ）‎ ‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎24. 【上海市静安2013届高三一模】已知向量和满足条件：且.若对于任意实数，恒有，则在、、、这四个向量中，一定具有垂直关系的两个向量是( )[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎(A) 与 (B) 与 (C) 与 (D)与 ÞÞ，故选(B).‎ ‎25. 【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试】‎ ‎（本题满分12分）设角是的三个内角,已知向量，‎ ‎,且.‎ ‎(Ⅰ)求角的大小； ‎ ‎(Ⅱ)若向量,试求的取值范围.‎ ‎【考点预测】‎ ‎1. 已知点P是曲线C：上的点，Q是点P关于直线的对称点，R为直线与曲线C的交点，则的最小值为（ ）‎ A． B．‎1 C． D． 2‎ ‎2.中，若，则的值为( )‎ A.2 B.4 C. D.‎ ‎3.已知是△外接圆的圆心，、、为△的内角，若，则的值为 ( ) ‎ ‎(A)1 (B)sinA (C)cosA (D)tanA ‎4. 平面上三个向量,满足,,则的最大值是 .‎ ‎5. 在四边形中，，，则四边形的面积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，可知四边形为平行四边形，且，因为，所以可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC,四边