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- 2021-04-15 发布
2019年上学期高二期中考试(数学理)试卷
命题人 龙伟华 审题人 詹洪波 时量：120分钟 总分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，且每小题只有一项是符合题目要求的。)
1.已知复数 ，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2.已知随机变量服从二项分布，则（ ）
3．（ ）
A． B． C． D．
4.有6个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，不同的排法种数为（ ）
A．24 B．72 C. 144 D．288
5.函数的部分图象大致为（ ）
6.有下列说法，正确的个数是______
①回归直线过样本点的中心;
②相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好；
③在正态分布的密度曲线中，越大曲线越廋高；
④对于分类变量X与Y,随机变量的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小。
A．1 B．2 C.3 D．4
7．若，则P，Q的大小关系是（ ）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．由a的取值确定
8.已知曲线C:直线为曲线C在点A(1,1)处的切线，直线与曲线C以及轴所围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．1
9. 设,则的值为( )
A. B. C. D.
10.已知定义域为的奇函数的导函数，当时，，若，，，则下列关于的大小关系正确的是（ ）
A. B. b
c
a
>
>
C. D.
11.在二项式的展开式中，二项式系数的和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )
A． B． C． D．
12．已知函数，对任意，存在，使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）
13．若随机变量 且 则 =______________
14.函数f(x)＝2的单调递减区间是_____________
15一口袋里有大小形状完全相同的10个小球，其中红球与白球各2个，黑球与黄球各3个，从中随机取3次，每次取3个小球，且每次取完后就放回，则这3次取球中，恰有2次所取的3个小球颜色各不相同的概率为_________
16.如图，在平面直角坐标系中，将直线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积据此类比：将曲线
与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积.
第16题图
y=
x=1
y
x
x
O
y
y=2
y=
O
三．解答题（本大题共六个小题，共70分）
17.(本题满分10分)设为坐标原点，已知复数分别对应向量，为复数的共轭复数，，其中，且为纯虚数．
（Ⅰ）判断复数在复平面上对应的点在第几象限；
（Ⅱ）求.
18. （本题满分12分）已知的展开式中所有系数之和比 的展开式中所有二项式系数之和大240.
(1)求的展开式中的常数项(用数字作答)；
(2)求的展开式中系数最大的项．
19. （本题满分12分）数列满足前n项和
（1）求的值；
（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明
20.（本题满分12分）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排（结果用数字作答）：
（1）每人都安排一项工作，有多少种不同的方法？
（2）如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排有多少种不同的方法？
（3）每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则这5名同学全部被安排有多少种不同的方法？
21. （本小题满分12分）2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购。为拓展市场，某调研组对甲、乙两个品牌的共享单车在5个城市的用户人数进行统计，得到如下数据：
城市
品牌
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
甲品牌（百万）
4
3
8
6
12
乙品牌（百万）
5
7
9
4
3
（Ⅰ）如果共享单车用户人数超过5百万的城市称为“优质潜力城市”，否则“非优”，请据此判断是否有85%的把握认为“优质潜力城市”与共享单车品牌有关？
（Ⅱ）如果不考虑其它因素，为拓展市场，甲品牌要从这5个城市中选出3个城市进行大规模宣传．
①在城市Ⅰ被选中的条件下，求城市Ⅱ也被选中的概率；
②以表示选中的城市中用户人数超过5百万的个数，求随机变量的分布列及数学期望．
下面临界值表供参考：
错误！未找到引用源。
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3. 841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：错误！未找到引用源。
22.（本小题满分12分）已知函数 (为实常数) ．
（1）当时，求函数在上的最大值及相应的值；
（2）当时，讨论方程根的个数．
（3）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围．
2019年上学期高二期中考试(数学理)参答
一、BDCCA BCADA DC
二、13.0.6 14. 15. 16.
17.解：（Ⅰ）由题意，得，
则.........................1分
因为为纯虚数，
所以， ..............................2分
解得或...............................3分
又因为，所以，.......................4分
所以 在复平面上对应的点在第四象限 ................5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
所以...........................6分
.........................8分
.....................10分
18．(1) 1120 (2) T4=1792x2
19．(1)
（2），证明略
20. （1）45=1024； （2）；
（3）=126（种）
21.【解析】（Ⅰ）根据题意列出列联表如下：
优质城市
单车品牌
优质城市
非优质城市
合计
甲品牌（个）
3
2
5
乙品牌（个）
2
3
5
合计
5
5
10
， …………3分
所以没有85%的理由认为“优质潜力城市”与“共享单车”品牌有关．……4分
（Ⅱ）①令事件为“城市I被选中”；事件为“城市II被选中”，
则,
所以． …………7分
②随机变量的所有可能取值为, ；；
．故的分布列为
1
2
3
………………10分
………………12分
22.（1），当时，．当时，又，故，当时，取等号……3分
（2）易知，故，方程根的个数等价于时，
方程根的个数。 设=，
当时，，函数递减，当时，，函数递增。又，，作出与直线的图像，由图像知：
当时，即时，方程有2个相异的根；
当 或时，方程有1个根；
当时，方程有0个根；……………8分
（3）当时，在时是增函数，又函数是减函数，不妨设，则等价于
即，故原题等价于函数在时是减函数, 恒成立，即在时恒成立。
在时是减函数 ……………11分
又a>0 所以a不存在……12分