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- 2021-04-15 发布
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广东省揭阳市惠来县第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（文)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．不等式x2+2x﹣3≥0的解集为（ ）
A．{x|x≥3或x≤﹣1} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|x≥1或x≤﹣3} D．{x|﹣3≤x≤1}
【答案】C
【解析】
【分析】
把原不等式的左边利用十字相乘的方法分解因式后，根据两数相乘同号得正的取符号法则得到x﹣1与x+3同号，可化为两个不等式组，求出两不等式解集的并集即可得到原不等式的解集．
【详解】
不等式x2+2x﹣3≥0，
因式分解得：（x﹣1）（x+3）≥0，
可化为：或： ，
解得：x≥1或x≤﹣3，
则原不等式的解集为{x|x≥1或x≤﹣3}．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，这种转化的理论依据为两数相乘（除），同号得正，异号得负的法则．
2．甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为、，则下列判断正确的是（ ）
A．，甲比乙成绩稳定 B．，乙比甲成绩稳定
C．，甲比乙成绩稳定 D．，乙比甲成绩稳定
【答案】B
【解析】
【分析】
根据茎叶图的数据，利用平均值和数值分布情况进行判断即可．
【详解】
由茎叶图知，甲的得分情况为17，16，28，30，34；
乙的得分情况为15，28，26，28，33，
因此可知甲的平均分为，
乙的平均分为=86，
故可知＜，排除C、D，
同时根据茎叶图数据的分布情况可知，乙的数据主要集中在8左右，甲的数据比较分散，
乙比甲更为集中，故乙比甲成绩稳定，选B．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查茎叶图的应用，以及平均数的求法要求熟练掌握相应的概念和公式，考查学生的计算能力．
3．若是等差数列，与的等差中项为1，与的等差中项为2，则公差（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意和等差中项可得a1+a2＝2，a2+a3＝4，两式相减可得答案．
【详解】
∵{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，
∴a1+a2＝2，a2+a3＝4，两式相减可得a3﹣a1＝2d＝4﹣2，
解得d＝1
故选：A．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，涉及等差中项的定义，属基础题．
4．满足以下条件的三角形无解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：A项，，所以角有两个解，故A项不符合题意；B项，，与A项同理，角也有两个解，故B项不符合题意；C项，，所以角是直角，仅有一个解，故C项不符合题意；D项，，所以无解，故D项符合题意.故本题正确答案为D.
考点：利用正弦定理解三角形.
5．下列命题中，正确的是（ ）
A． B．常数数列一定是等比数列
C．若，则 D．
【答案】C
【解析】
试题分析：对于A,,A错误；对于B,常数数列不一定是等比数列,如,B错误；对于C,若，C正确；对于D,时,时,,D错误.所以C选项是正确的.
考点：命题的判断.
6．设实数满足不等式组，则的最大值为（ ）
A.13 B.10.5
C.10 D.0
【答案】A
【解析】
试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.
考点：线性规划.
7．要得到函数的图象，只要将函数的图象
A．向右平移单位 B．向左平移单位
C．向左平移单位 D．向右平移单位
【答案】B
【解析】
【分析】
由于函数y＝sin（2x）＝sin2（x），故只要将函数y＝sin2x的图象相左平移个单位即可．
【详解】
由于函数y＝sin（2x）＝sin2（x），
故只要将函数y＝sin2x的图象相左平移个单位，即可得到函数y＝sin（2x）的图象，故选：B．
【点睛】
本题主要考查函数y＝Asin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．
8．已知公差不为0的等差数列满足，成等比数列，为数列的前项和，则的值为（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得：a3＝a1+2d，a4＝a1+3d．结合a1、a3、a4成等比数列，得到a1＝﹣4d，进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案．
【详解】
设等差数列的公差为d，首项为a1，
所以a3＝a1+2d，a4＝a1+3d．
因为a1、a3、a4成等比数列，
所以（a1+2d）2＝a1（a1+3d），解得：a1＝﹣4d．
所以2，
故选：C．
【点睛】
解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质，利用性质解决问题．
9．中，点在上，平分．若，，，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，得到，又，将各向量用，表示，即可得到答案．
【详解】
∵CD为角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC＝BD：CD,属于基础题.
10．已知三角形的三边长是公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（ ）
A．18 B．15 C．21 D．24
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形ABC三边构成公差为2的等差数列，设三边分别为a，a+2，a+4，根据最大角的正弦值求出余弦值，利用余弦定理求出a的值，即可确定出三角形的周长．
【详解】
根据题意设△ABC的三边长分别为a，a+2，a+4，且a+4所对的角为最大角α，
∵sinα，∴cosα或，
当cosα时，α＝60°，不合题意，舍去；
当cosα时，α＝120°，由余弦定理得：cosα＝cos120°，
解得：a＝3或a＝﹣2（不合题意，舍去），
则这个三角形周长为a+a+2+a+4＝3a+6＝9+6＝15．
故选：B．
【点睛】
此题考查了余弦定理，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于综合题．
11．已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A、C两地的距离为 （ ）
A．10 km B． km C． km D． km
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用余弦定理求出A，C两地的距离即可．
【详解】
因为A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，
则A，C两地的距离为：AC2＝AB2+CB2﹣2AB•BCcos∠ABC＝102+202﹣2700．
所以AC＝10km．
故选：D．
【点睛】
本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．
12．记不等式组所表示的平面区域为，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据平面区域，易知当时，由题设得，所以，故选D.
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．等比数列中，，，则数列的公比为__________。
【答案】
【解析】
试题分析：由题设可得，解之得或，又因，故，所以应填。
考点：等比数列的有关知识及运用。
14．在中,，那么__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由b，c及sinC的值，利用正弦定理求出sinB的值，进而确定出B的度数，利用内角和定理即可A的度数．
【详解】
∵b，c＝2，C＝60°，
∴由正弦定理得：sinB，
∵b＜c，∴B＜C，
∴B＝45°，
则C＝180°﹣（B+C）＝180°﹣105°＝75°．
故答案为：75°
【点睛】
此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
15．已知直线l经过点和点，若点（）在直线l上移动且在第一象限内，则的最大值为_________
【答案】
【解析】由斜率公式可得斜率为
故直线的方程为
则
当时，
故答案为
点睛：本题求的最大值，可以考虑降元，由二元转化为一元，由题意可知点（）在直线l上移动且在第一象限内，这样就建立了、的数量关系，利用一元二次函数求得最值。
16．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】试题分析：是开口向上的二次函数,且对称轴为,由二次函数的图象可知函数在区间上是减函数,所以当时,，所以.
考点：不等式恒成立，二次函数求最值.
【方法点晴】本题考查的不等式恒成立问题，恒成立,即所以问题转化为二次函数在区间上的最小值问题，
是开口向上的二次函数,且对称轴为,由二次函数的图象可知函数在区间上是减函数,所以当时,，所以.
评卷人
得分
三、解答题
17．(1)等差数列中，已知， 求n的值.
(2)在等比数列中，，公比，前项和，求首项 和项数．
【答案】（1）50（2）5
【解析】
【分析】
（1）由已知条件利用等差数列的通项公式求出公差，由此能求出结果．
（2）由已知条件利用等比数列的通项公式能求出首项和项数n．
【详解】
解：（1）因为，
所以，
由得：，解得n=50
（2）因为，公比
所以由得：，解得
所以
因为，所以解得．
【点睛】
求数列的通项公式是常考题，此类题目较容易．对于等差数列，只要找到首项和公差就可；而等比数列则需首项和公比．
18．已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）由不等式的解集为，再由和是一元二次方程的两根，利用韦达定理，列出方程组，即可求解的值；（2）因不等式的解集为，分和讨论，即可求解实数的取值范围.
试题解析：（1）由不等式的解集为，
可知，-3和-1是一元二次方程的两根，（2分）
所以，解得. （4分）
（2）因不等式的解集为，
若，则不等式，此时，不合题意； （6分）
若，则，解得 （9分）
综上实数的取值范围为. （10分）
考点：一元二次不等式的应用.
19．已知数列的前项和为，且数列中，，点在直线上.
（Ⅰ）求数列,的通项和；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和，
【答案】（1），；（2）
【解析】
试题分析：（1）先由第n项与前n项关系，求出数列{}的递推关系，再由等比数列的定义判定数列{}是等比数列，用等比数列的通项公式，求出数列{
}的通项公式，由点在直线上得，=2，根据等差数列定义知数列{}是等差数列，所以再根据等比数列的通项公式，求出的通项公式；（2）由（1）知是等差数列与等比数列对应项乘积构成的新数列，其求和用错位相减法.
试题解析：（1）
2分
.
3分
7分
（2）
9分
因此：10分
即：
考点：数列第n项与前n项和的关系；等差数列定义与通项公式；等比数列定义与通项公式；错位相减法；转化思想；运算求解能力.
20．已知函数．
(Ⅰ) 求函数的最小值和最小正周期；
(Ⅱ) 已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值．
【答案】(Ⅰ) 的最小值为，最小正周期为.
（Ⅱ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）首先根据三角恒等变换化简，可得函数 ，根据三角函数的性质即可求出最值；然后利用周期公式即可求出周期；（Ⅱ）利用向量共线的坐标运算公式，可得,再与正余弦定理联立，即可求解．
试题解析：解：（Ⅰ）
3分
∴的最小值为，最小正周期为． 5分
（Ⅱ）∵， 即
∵， ，∴，∴． 7分
∵共线，∴．
由正弦定理， 得① 9分
∵，由余弦定理，得， ② 10分
解方程组①②，得． 12分．
考点：1．三角函数的图像与性质；2．解三角形；3．正余弦定理．
21．如图，已知三棱锥中， 为中点， 为中点,且为正三角形.
(I)求证： 平面；
(II)求证：平面平面；
(III)若,求三棱锥的体积.
【答案】(Ⅰ) 见解析(Ⅱ) 见解析（Ⅲ）
【解析】试题分析; (I)要证面，只需证明MD∥AP（因为AP⊂面APC）即可．
(II)在平面ABC内直线AP⊥BC，BC⊥AC，即可证明BC⊥面APC，从而证得平面ABC⊥平面APC；
(III)因为BC=4，AB=20，求出三棱锥的高，即可求三棱锥D-BCM的体积．
试题解析：
(I)∵为中点， 为中点， ,
又面 面
(II)∵为正三角形，且为中点， .
又由(I)∴知, .
又已知 ∴面,∴又∵
面，∴面面，
(III)∵
又
∴.
又.
∴
22．某科研机构研发了某种高新科技产品，现已进入实验阶段.已知实验的启动资金为10万元，从实验的第一天起连续实验，第天的实验需投入实验费用为元，实验30天共投入实验费用17700元.
（1）求的值及平均每天耗资最少时实验的天数；
（2）现有某知名企业对该项实验进行赞助，实验天共赞助元.为了保证产品质量，至少需进行50天实验，若要求在平均每天实际耗资最小时结束实验，求的取值范围.（实际耗资=启动资金+试验费用-赞助费）
【答案】（1），；（2）.
【解析】
试题分析：（1）实验开始后，每天的试验费用构成公差为，首项为的等差数列，通过等差数列的求和公式计算出这天所投入的试验费用，然后便可求出的值，再利用等差数列的求和公式求出天内总计的试验费用，然后再求出每天的平均试验费用，利用基本不等式便可求出平均每天耗资最少时试验的天数；（2）先求出实际耗资的连续函数，，讨论和的大小关系即可解得的取值范围为．
试题解析：（1）依题意得，试验开始后，每天的试验费用构成等差数列，公差为，首项为，
∴试验30天共花费试验费用为，
解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
设试验天，平均每天耗资为元，则
．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
，
当且仅当，即时取等号，
综上得，，试验天数为100天．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）设平均每天实际耗资为元，则
．．．．．．．．．．．8分
当，即时，
，因为，
所以，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
当，即时，当时，取最小值，
且，
综上得，的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：函数的实际应用；均值不等式.
【方法点晴】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．形如形式的问题突破口在利用均值不等式找到等号成立的条件，进而和定义域比较即可.