高考数学复习 17-18版 附加题部分 第2章 第63课 空间向量及其运算 16页

第二章　空间向量与立体几何 第63课 空间向量及其运算 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 空间向量的概念 ‎√‎ 空间向量共线、共面的充分必要条件 ‎√‎ 空间向量的加法、减法及数乘运算 ‎√‎ 空间向量的坐标表示 ‎√‎ 空间向量的数量积 ‎√‎ 空间向量的共线与垂直 ‎√‎ ‎1．空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 ‎0‎ 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行(或重合)的向量 a∥b 共面向量 平行于同一个平面的向量 ‎2．空间向量中的有关定理 ‎(1)共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa.‎ 推论　如图631所示，点P在l上的充要条件是＝＋ta①‎ 其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝＋t或＝(1－t)＋t.‎ 图631‎ ‎(2)共面向量定理 如果两个量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb.推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝x＋y＋(1－x－y)或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1.‎ ‎(3)空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．‎ ‎3．空间向量的数量积及运算律 ‎(1)数量积及相关概念 ‎①两向量的夹角 a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b垂直，记作a⊥b.‎ ‎②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 .‎ ‎(2)空间向量数量积的运算律 ‎①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)；‎ ‎②交换律：a·b＝b·a；‎ ‎③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.‎ ‎4．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).‎ 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3‎ 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R)‎ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3‎ 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)‎ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0‎ 模 ‎|a|‎ 夹角 cos〈a，b〉(a≠0，b≠0)‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　)‎ ‎(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(　　)‎ ‎(3)若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角．(　　)‎ ‎(4)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)如图632所示，在平行六面体ABCDA1B‎1C1D1中，M为A‎1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则＝________.(用a，b，c表示)‎ 图632‎ ‎－a＋b＋c　[＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.]‎ ‎3．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为________．‎ ‎－13　[(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝42＋(－2)2＋(－4)2－[62＋(－3)2＋22]＝－13.]‎ ‎4．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为________．‎ ‎2　[由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.]‎ ‎5．向量a＝(1,0，－1)，b＝(1，－1,0)，则〈a，b〉＝________.‎ 　[∵|a|＝＝，|b|＝＝，a·b＝1＋0＋0＝1‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝＝.‎ 又〈a，b〉∈[0，π]，‎ ‎∴〈a，b〉＝.]‎ 空间向量的线性运算 ‎　如图633所示，在空间几何体ABCDA1B‎1C1D1中，各面为平行四边形，‎ 设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：‎ ‎(1)；‎ ‎(2)＋. 【导学号：62172338】‎ 图633‎ ‎[解]　(1)因为P是C1D1的中点，‎ 所以＝＋＋＝a＋＋ ‎＝a＋c＋＝a＋c＋b.‎ ‎(2)因为M是AA1的中点，‎ 所以＝＋＝＋ ‎＝－a＋＝a＋b＋c.‎ 因为N是BC的中点，‎ 则＝＋＝＋ ‎＝＋＝c＋a，‎ 所以＋＝＋ ‎＝a＋b＋c.‎ ‎[规律方法]　1.(1)选择不共面的三个向量作为基向量，这是利用空间向量基本定理求解立体几何问题的前提．‎ ‎(2)用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算．‎ ‎2．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则．‎ ‎[变式训练1]　如图634所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，‎ AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.‎ 图634‎ 　[连结ON，设＝a，＝b，＝c，‎ 则＝－＝(＋)－ ‎＝b＋c－a，‎ ＝＋＝＋ ‎＝a＋＝a＋b＋c.‎ 又＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝，‎ 因此x＋y＋z＝＋＋＝.]‎ 共线向量与共面向量定理的应用 ‎　(1)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，且a与b反向，则λ＋μ＝________.‎ ‎(2)如图635所示，已知斜三棱柱ABCA1B‎1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．‎ ‎①向量是否与向量，共面？‎ ‎②直线MN是否与平面ABB1A1平行？‎ 图635‎ ‎(1)－　[∵a∥b，且a与b反向，‎ ‎∴(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，k<0.‎ ‎∴解得或 当λ＝2，μ＝时，k＝2不合题意，舍去．‎ 当λ＝－3，μ＝时，a与b反向．‎ ‎∴λ＋μ＝－3＋＝－.]‎ ‎(2)①∵＝k，＝k.‎ ‎∴＝＋＋＝k＋＋k ‎＝k(＋)＋＝k(＋)＋ ‎＝k＋＝－k＝－k(＋)＝(1－k)－k，‎ ‎∴由共面向量定理知向量与向量，共面．‎ ‎②当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内；‎ 当0